专题训练-圆的切线中常见的辅助线

专题训练(一)圆的切线中常见的辅助线►类型之一遇到切线时，连半径，得垂直1．如图1－ZT－1，PA，PB切⊙O于点A，B，C是⊙O上一点，且∠P＝48°，则∠ACB等于()图1－ZT－1A．54°B．66°C．114°D．132°2．2018·德州如图1－ZT－2，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，C是eq\o(BF,\s\up8(︵))的中点．(1)求证：AD⊥CD；(2)若∠CAD＝30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE－EC－eq\o(CB,\s\up8(︵))爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，eq\r(3)≈1.73，结果保留一位小数)．图1－ZT－23．如图1－ZT－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F.(1)求证：BD＝BF；(2)若CF＝1，cosB＝eq\f(3,5)，求⊙O的半径．图1－ZT－3►类型之二证明某一直线是圆的切线一、有共点，连半径，证垂直4．2018·金华如图1－ZT－4，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD.已知∠CAD＝∠B.(1)求证：AD是⊙O的切线．(2)若BC＝8，tanB＝eq\f(1,2)，求⊙O的半径．图1－ZT－45．2017·济宁如图1－ZT－5，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求AE的长．图1－ZT－56．如图1－ZT－6，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图1－ZT－6二、无共点，作垂直，证半径7．2018·安顺如图1－ZT－7，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；(2)若cos∠ABC＝eq\f(2,3)，AB＝12，求半圆O所在圆的半径．图1－ZT－78.如图1－ZT－8，已知O是正方形ABCD对角线AC上的一点，以点O为圆心、OA长为半径的圆与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD是⊙O的切线．图1－ZT－89．如图1－ZT－9，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD分别交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.图1－ZT－9

教师详解详析1．B2．解：(1)证明：连接OC.∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.∵C是eq\o(BF,\s\up8(︵))的中点，∴∠DAC＝∠EAC.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.∵OC⊥CD，∴AD⊥CD.(2)∵∠CAD＝30°，∴∠CAE＝∠CAD＝30°.由圆周角定理，得∠COE＝60°，∴OE＝2OC＝6，EC＝eq\r(3)OC＝3eq\r(3)，eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\f(60π×3,180)＝π，∴BE＝3，∴蚂蚁爬过的路程＝3＋3eq\r(3)＋π≈11.3.3．解：(1)证明：连接OE.∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝∠ACB，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F.∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠F＝∠ODE，∴BD＝BF.(2)∵cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5)，设BC＝3x，则AB＝5x.又CF＝1，∴BF＝3x＋1.由(1)知BD＝BF，∴BD＝3x＋1.∵OE∥BF，O是BD的中点，∴OB＝OE＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(3x＋1,2)，OA＝AB－OB＝5x－eq\f(3x＋1,2)＝eq\f(7x－1,2).∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B，∴cos∠AOE＝eq\f(OE,OA)＝eq\f(3,5)，即eq\f(\f(3x＋1,2),\f(7x－1,2))＝eq\f(3,5)，解得x＝eq\f(4,3)，∴⊙O的半径为eq\f(3x＋1,2)＝eq\f(5,2).4．解：(1)证明：如图，连接OD.∵OB＝OD，∴∠3＝∠B.∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3.在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°，∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，∴OD⊥AD.∵点D在⊙O上，∴AD为⊙O的切线．(2)设⊙O的半径为r.在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝4.根据勾股定理，得AB＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)，∴OA＝4eq\r(5)－r.在Rt△ACD中，tan∠1＝tanB＝eq\f(1,2)，∴CD＝AC·tan∠1＝2.根据勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即(4eq\r(5)－r)2＝r2＋20，解得r＝eq\f(3\r(5),2).5．解：(1)证明：如图，连接OD，OC.∵D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BOD＝eq\f(1,2)∠BOC＝∠BAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE.∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．(2)如图，过点O作OF⊥AC于点F.∵AC＝8，∴AF＝CF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×8＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴FE＝OD＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝10，∴FE＝5，∴AE＝AF＋FE＝4＋5＝9.6．解：(1)如图，连接BD.∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝∠DBA＝90°.∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝eq\f(1,2)AD＝1，∴AD＝2.(2)BC是⊙O的切线．证明：如图，连接OB.由(1)得BC∥OE，且BC＝OE.∵OE＝OD，∴BC＝OD，∴四边形BCDO是平行四边形．又∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO是矩形，∴OB⊥BC.∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线．7．解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OD，OA.∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠CAO＝∠BAO.∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC.∵OE⊥AB，∴OD＝OE.∵AB过半圆O的半径的外端点，∴AB是半圆O所在圆的切线．(2)如(1)题图，∵AB＝AC，O是BC的中点，∴AO⊥BC.在Rt△AOB中，OB＝AB·cos∠ABC＝12×eq\f(2,3)＝8.根据勾股定理，得OA＝eq\r(AB2－OB2)＝4eq\r(5).S△AOB＝eq\f(1,2)AB·OE＝eq\f(1,2)OB·OA，∴OE＝eq\f(OB·OA,AB)＝eq\f(8\r(5),3)，即半圆O所在圆的半径为eq\f(8\r(5),3).8．[解析]此例未给出直线和圆的公共点，在这种情况下，应连接OM，并过点O作ON⊥CD于点N，然后证明ON＝OM即可．为此只需证明△OMC≌△ONC即可．证明：如图，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.∵BC与⊙O相切于点M，∴OM⊥BC，即∠OMC＝90°.∵ON⊥CD，∴∠ONC＝∠OMC＝90°.∵四边形ABCD是正方形，AC为正方形ABCD的对角线，∴∠OCM＝∠OCN＝45°.在△OMC和△ONC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OMC＝∠ONC，,∠OCM＝∠OCN，,OC＝OC，))∴△OMC≌△ONC(AAS)，∴OM＝ON.∵ON⊥CD，∴CD是⊙O的切线．9．解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD.又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA.∴CD是⊙O的切线．(2)如图，过点D作DF⊥BC于点F.∵AM，BN分别切⊙O