第二十三讲计数原理原卷版

第二十三讲：计数原理【考点梳理】1.排列与组合的概念名称定义排列从个不同元素中取出（）个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组排列问题的解题策略特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；正难则反、等价转化的策略；（4）相邻问题捆绑处理的策略；不相邻问题插空处理的策略；（6）定序问题除法处理的策略；3.二项式定理．4.二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．二项式系数的性质（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）二项式系数的和【典型题型讲解】考点一：排列、组合【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（

）A． B． C． D．例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种.【方法技巧与总结】排列、组合搞清楚区别【变式训练】1．（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有_______种．2．（2022·广东惠州·一模）现有名学生报名参加校园文化活动的个项目，每人须报项且只报项，则恰有名学生报同一项目的报名方法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种3．（2022·广东湛江·一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（

）A．18种 B．12种 C．72种 D．36种4．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（

）A．100 B．120 C．300 D．6005．（2022·广东茂名·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（

）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种6．（2022·广东·二模）某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（

）A．24 B．36 C．60 D．2407.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种8.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种9.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A． B． C． D．10.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________考点二：二项式定理【典例例题】例1．（2022·广东汕尾·高三期末）已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常数项为（

）A．-240 B．240 C．-60 D．60例2．（2022·广东深圳·高三期末）的各项系数和为（

）A． B．27 C．16 D．例3．（2022·广东揭阳·高三期末）（多选）已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（

）A．展开式中的常数项为1B．C．展开式中二项式系数最大的项是第四项D．展开式中的指数均为偶数【方法技巧与总结】1.在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．2.三项式的展开式：若令，便得到三项式展开式通项公式：，其中叫三项式系数．3.二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．【变式训练】1．（2022·广东潮州·高三期末）的展开式中常数项是_________．2．（2022·广东·一模）二项式展开式中的常数项为__________.3．（2022·广东·珠海市第三中学二模）的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．4．（2022·广东汕头·二模）二项式展开式中，有理项共有（

）项．A．3 B．4 C．5 D．75．（2022·广东汕头·高三期末）的展开式中的系数为________用数字填写答案6．（2022·广东东莞·高三期末）的展开式中项的系数是（

）A．9 B．10 C．11 D．127．（2022·广东佛山·高三期末）的展开式中，的系数为（

）A．80 B．40 C． D．8.（2022·广东惠州·一模）若，则（

） B．0 C．1 D．29．（2022·广东广州·一模）的展开式中的系数为（

）A．60 B．24 C． D．10．（2022·广东深圳·二模）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．11．（2022·广东茂名·二模）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项12.（2022·广东湛江·二模）的展开式中常数项为___________.13.（2022·广东·普宁市华侨中学二模）(2+)(2＋x)5的展开式中x2的系数是____．(用数字作答）14．（2022·广东潮州·二模）设，则______．【巩固练习】一、单选题1．6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（

）A．105种 B．144种 C．150种 D．210种2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒．某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（

）A．8 B．10 C．12 D．143．甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（

）种.A．24 B．96 C．174 D．1754．若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（

）A． B． C． D．5．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（

）A．50 B．80 C．140 D．1806．甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（

）A．240 B．192 C．96 D．487．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（

）A．48 B．54 C．60 D．728．的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．9．在的展开式中，含的项的系数为（

）A．-120 B．-40 C．-30 D．20010．的展开式中，的系数等于（

）A． B． C．10 D．4511．若，，则的值为（

）A． B． C． D．12．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（

）A．0 B． C．120 D．二、多选题13．已知，则（

）A．B．C．D．14．在二项式的展开式中，正确的说法是（

）A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大15．已知函数的定义域为．（

）A．B．C．D．被8整除余数为716．已知，下列结论正确的是（

）A．B．当时，设，则C．当时，中最大的是D．当时，17．已知的展开式中含的系数为60，则下列说法正确的是（

）A．的展开式的各项系数之和为1 B．的展开式中系数最大的项为C．的展开式中的常数项为 D．的展开式中所有二项式的系数和为32三、填空题18．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种．19．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远．他们共有多少种不同的安排方法____20．将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有_________