【名师导学】数学(江苏理,提高版)大一轮复习练习：14.1常见平面变换(含答案解析)

第74课常有的平面变换【自主学习】第74课常有的平面变换(本课时对应学生用书第189~192页)自主学习回归教材1.(选修4-2P34习题1改编)求直角坐标平面内的正方形ABCD四个极点对应的矩阵02200022

10在矩阵M=01对应的变换作用下获得的几何图形(用矩阵表示).0220【解答】这是一个恒等变换，故正方形不变，仍为0022.1a2.(选修4-2P84复习题10改编)已知二阶矩阵A=34对应的变换将点(-2，1)变换成点(0，b)，务实数a，b的值.1a20-2a，a，02【解答】341=b-64bb-2.103.(选修4-2P36习题6改编)在平面直角坐标系xOy中，设圆x2+y2=1在矩阵A=02对应的变换作用下获得曲线F，求曲线F的方程.【解答】设P(x0，y0)是圆上随意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P'(x'0，y'0)，x'010x0则有y'0=02y0，x'0x0，x0x'0，y01y'0.即y'02y0，2所以又由于点P在圆x2+y2=1上，故x02+y02=1，12y'0进而(x'0)2+2=1，y2所以曲线F的方程是x2+4=1.4.(选修4-2P24例4改编)若△ABC在矩阵M对应的旋转变换作用下获得△A'B'C'，此中A(0，0)，B(1，3)，C(0，2)，A'(0，0)，C'(-3，1)，试求矩阵M并求点B'的坐标.【解答】由题意知旋转中心为原点，设逆时针旋转角为α(0≤α≤，2π)则旋转变换矩阵cos-sinM=sincos，cos-sin0-3所以sincos2=1，-2sin-，3所以2cos，11-322π31322.所以α=，所以M=设B'(x，y)，1-3122-1x313则y=22=3，所以B'(-1，3).1.常有的平面变换有恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换.由1010矩阵M=01确立的变换叫作恒等变换，这时称矩阵M=01为恒等变换矩阵.k010k02.由矩阵M=01或M=0k(k>0)确立的变换叫作伸压变换，这时矩阵M=01或10M=0k(k>0)为伸压变换矩阵.将一个平面图形变为对于一条定直线或一个定点对称的平面图形的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换.将一个平面图形绕一个定点旋转角α获得另一个平面图形的变换矩阵称为旋转变换矩阵，对应的变换称为旋转变换.将一个平面图形投影到某条直线(或某个点)的变换矩阵称为投影变换矩阵，对应的变换称为投影变换.1k106.由矩阵M=01或M=k1确立的变换叫作切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵.【重点导学】重点导学各个击破恒等变换10例1矩阵01

将直线y=2x+2变为了什么图形?并指出该变换是什么变换.【思想指引】易知该矩阵变换是恒等变换.【解答】设A(x，y)为直线上的随意一点，经过变换后的点为A'(x1，y1).由于10xxx'01y=y=y'，所以x=x'，y=y'，所以变换后的方程仍为y=2x+2，所以该变换是恒等变换.伸压变换1022x-π01例2已知函数f(x)的图象经过矩阵C=对应的变换获得函数y=cos6的图象，试求函数f(x)的分析式.【思想指引】设点P(x，y)在矩阵C对应的变换下变为点P'(x'，y')，找出其对应的关系式2x-π代入y=cos6，即可求出函数f(x)的分析式.【解答】设P(x，y)为函数f(x)上随意一点，点P(x，y)在矩阵C对应的变换下变为点P'(x'，y')，10xxx'x，x'222则有y'=01y=y，所以y'y.2x'π又由于y'=cos6，x-π所以f(x)=cos6.10012对应的变式(2015·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，设曲线C在矩阵A=1x2变换作用下获得曲线C2：4+y2=1，求曲线C1的方程.【解答】设P(x，y)是曲线C1上随意一点，点P(x，y)在矩阵A对应的变换下变为点P'(x'，y')，10x'，xxx'11y.0yy'y'则有=2，即2x2又由于点P'(x'，y')在曲线C2：4+y2=1上，(x')2所以4+(y')2=1，x2y2进而4+2=1，所以曲线C1的方程是x2+y2=4.反射变换例3在平面直角坐标系中，已知△ABC的极点坐标分别为A(1，0)，B(-1，2)，C(0，013).现有矩阵M=10，点A，B，C分别在M的作用下获得点A'，B'，C'.求直线A'C'的方程；求△A'B'C'的面积.【思想指引】本题可用变换的几何意义解，或用矩阵和向量的乘法解.01【解答】(1)矩阵10所对应的变换T为对称变换，A，C在T的作用下获得A'(0，1)，C'(3，0)，所以直线A'C'的方程为x+3y-3=0.(2)由于在矩阵对应变换T的作用下获得的图形△A'B'C'与△ABC对于直线y=x对称，所以S△A'B'C'=S△ABC.设直线AB与y轴交于点D，易得D(0，1)，1所以S△ABC=2×(3-1)(1+1)=2×，所以S△A'B'C'=2.【精重评论】本题还能够用矩阵与向量的乘法求出点A'，B'，C'.旋转变换222201122-2001例4求在矩阵M=2的变换作用下，三角形变为何样的三角形.【思想指引】第一察看出这是一个旋转变换，所以需要找出旋转角(注意是顺时针旋转还是逆时针旋转)，运用旋转变换矩阵即可求出变换后所得的三角形.2222cos(-450)-sin(-450)-22=sin(-450)cos(-450)，【解答】M=22所以这是一个顺时针旋转45°的旋转变换.011由三角形的矩阵表示001知三个极点分别为O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，则在旋转变换矩阵M的作用下，O(0，0)→O(0，0)，A(1，0)→A'0)，所以变换后的新三角形还是等腰直角三角形.

2，222，1)→B'(2，，B(1【精重评论】对于旋转变换矩阵，必定要把它化为标准形式负号的地点，必定要注意.一般地，逆时针旋转角为α时的旋转矩阵是时针旋转角为α时，则只需将上述矩阵中的α换为-α即可.

cos-sinsincos，特别是cos-sinsincos，而顺222-222变式(2015·南京、盐城一模)求直线x-y-1=0在矩阵M=22对应的变换下得到的曲线方程.【解答】设P(x，y)是所求曲线上的随意一点，它在已知直线上的对应点为Q(x'，y')，222-x'2x22y'则有22=y，2x'-2y'x，x'2(xy)，2222x'2y'y，y'2(y-x)，即22解得222代入x'-y'-1=0中，得2(x+y)-2

(y-x)-1=0，2化简可得所求曲线的方程为x=2.切变变换2例5已知直线l：ax+y=1在矩阵A=01对应的变换作用下变为直线l'：x+by=1.务实数a，b的值；x0x0，yy0y0，求点P的坐标.(2)若点P(x00)在直线l上，且A=【解答】(1)设直线l：ax+y=1上随意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的点为M'(x'，y')，x'12xx2y，x'x2y由y'=01y=y，得y'y.又点M'(x'，y')在直线l'上，所以x+2y+by=1，即x+(b+2)y=1.a，a，11依题意得b2，b-1.1解得x0x0(2)由Ay0=y0，x0x02y0，得y0y0，解得y0=0.又点P(x0，y0)在直线l上，由(1)知直线l：x+y=1，所以x0=1，故点P的坐标为(1，0).变换的复合-1a例6(2015·苏北四市期末)已知a，b∈R，矩阵A=b3所对应的变换TA将直线l：x-y-1=0变换为自己，求a，b的值.【解答】设直线x-y-1=0上随意一点P(x，y)在变换TA的作用下变为点P'(x'，y')，-1axx'由b3y=y'，x'-x，ay得y'bx3y.由于P'(x'，y')在直线x-y-1=0上，所以x'-y'-1=0，即(-x+ay)-(bx+3y)-1=0，整理得(-1-b)x+(a-3)y-1=0.又由于P(x，y)在直线x-y-1=0上，所以x-y-1=0，，a2，-1-b1所以，b-2.a-3-1解得-1a【精重评论】本题中矩阵A=b3能够当作以上各样变换的综合，是考试中常考的题型，考察矩阵变换问题极少单调地考察以上变换，而是更多地考察各样变换的综合.a11a用下变为直线l'：x-y+2a=0.

，直线l：x-y+4=0在矩阵A对应的变换作务实数a的值；求A2.【解答】(1)设直线l上随意一点M0(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下变为点M(x，y)，xa1x0ax0y0则y=1ay0=x0ay0，ax0y0，所以yx0ay0，代入直线l'，得(ax0+y0)-(x0+ay0)+2a=0，即(a-1)x0-(a-1)y0+2a=0.由于(x0，y0)知足x0-y0+4=0，2a所以a-1=4，解得a=2.1由(1)知A=12，212154所以A2=1212=45.1111.已知矩阵A=21，向量β=2，求向量α，使得A2α=β.111132x【解答】A2=2121=43.设α=y，由A2α=β，得3x2y，x，-11-14x3y，，解得y2.2所以α=

32x143y=2，即1-12.已知矩阵A=a1，此中a∈R，若点P(1，1)在矩阵A对应的变换下获得点P'(0，-3)，求实数a的值.1-110【解答】由a11=-3，即a+1=-3，得a=-4.3.(2014常·州一模)已知直线l：ax-y=0在矩阵A=线l'过点(1，1)，务实数a的值.

0112对应的变换作用下获得直线l'，若直【解答】设P(x，y)为直线l上随意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为直线l'上的点P'(x'，x'01xy')，则y'=12y，x-2x'，y'化简，得yx'，代入ax-y=0，整理得-(2a+1)x'+ay'=0.将点(1，1)代入上述方程，解得a=-1.104.(2015苏·州检查)已知曲线202对应的变换作用下获得曲线C，C1C：y=2x在矩阵M=10-1在矩阵N=10对应的变换作用下获得曲线C2，求曲线C2的方程.【解答】设A=NM，则0-1100-2A=1002=10，设P'(x'，y')是曲线C上任一点，在两次变换作用下，在曲线C2上的对应的点为P(x，y)，x0-2x'-2y'则y=10y'=x'，xx'y，，-2y'y'-1x.即y，x'所以2又点P'(x'，y')在曲线C：y2=2x上，2-1x所以2=2y，即曲线C2的方程为x2=8y.一鼓作气，事半功倍.请老师部署同学们达成《配套检测与评估》中的练习第147~148页.【检测与评估】第十四章矩阵与变换第74课常有的平面变换an1an，b，且知足bn1bn，试求二阶矩阵M.1．设数列{an}，{bn}知足an+1=2an+3bnn+1=2bn=M2．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.1a3．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x+y+2=0在矩阵M=b4对应的变换作用下获得直线m：x-y-4=0，务实数a，b的值.114．设M是把坐标平面上的点的横坐标压缩为本来的2，纵坐标压缩为本来的3的伸压变换；x2y2求矩阵M以及椭圆4+9=1在矩阵M对应的变换作用下获得的曲线方程.5．二阶矩阵M对应的变换将点(1，-1)与(-2，1)分别变换为点(-1，-1)与(0，-2)，若直线l在矩阵M对应的变换作用下获得了直线m：2x-y=4，求直线l的方程.110026．(2015镇·江期末)已知矩阵M=02，N=01

，试求曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下的曲线的函数分析式.-1a7．已知a，b∈R，若矩阵M=b3所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自己，求矩阵M.8．已知曲线C：xy=1．将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求获得的曲线C'的方程；求曲线C的焦点坐标和渐近线方程.【检测与评估答案】第十四章矩阵与变换第74课常有的平面变换an123an1．依题设有bn1=02bn，23所以M=02.2-2cos450-sin45022222．旋转矩阵sin450cos450=22.设直线2x+y-1=0上随意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0'，y0')，222-x02x0'22y0则22=y0'，x0'2x0-2y0，22y0'2x02y0，所以22x02x0'2y0'，22y0-2x0'2y0'，即2222代入直线2x+y-1=0中得2x0'+2y0'-2x0'+2y0'-1=0，即x0'+3y0'-2=0.故所求直线方程为x+3y-2=0.3．在直线l：x+y+2=0上取两点A(-2，0)，B(0，-2).设A，B在矩阵M对应的变换作用下分别变为点A'，B'.1a-2-2由于b40=-2b，所以点A'的坐标为(-2，-2b)；1a0-2a由于b4-2=-8，所以点B'的坐标为(-2a，-8).由题意知点A'，B'在直线m：x-y-4=0上，-2-(-2b)-4，，0a2所以-2a-(-8)-4，b3.0解得1021x2y204．由题意知M=3.设椭圆4+9=1上随意一点(x0，y0)在矩阵M对应的变换作用下获得(x'0，y'0)，10x02x'001y0y'03则=，x'01x0，2x02x'0，y'01y0，3y03y'0，22．即即代入椭圆方程中得所求曲线方程为x+y=1ab5．设矩阵M=cd，ab1-1则cd-1=-1，ab-20cd1=-2，a-b-1，c-d-1，-2ab0，所以-2cd-2，解得a=1，b=2，c=3，d=4，12所以M=34.设直线l上的点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点(x'，y')，x'12xx2y则y'=34y=3x4y.由于直线m：2x'-y'=4，所以2(x+2y)-(3x+4y)=4，即x+4=0，所以直线l的方程为x+4=0.101010220201026．MN==.曲线y=sinx上随意一点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x'，y')，x'10x1x2y2y'022y所以==，1，x，x'xy'2yy'，，所以2y即2y'代入曲线方程得2=sin2x'，