ch02第二章导数与微分05第五节函数的

第五节数的微yf(xyf(xx)f(x)这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数f(x)f(xxf(x)却是一个更复杂的表达式，不易求出其值.一个想法是：我们设法将y表示成x的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题.微分就是实现这种线性化分布图★★★★★★★★★★★★★★★★例★例★★例★★★习 -内容要一、微分的定定义1 设函数yf(x)在某区间内有定义,量yf(x0x)f(x0)可表示为yAx

x0x0x在这区间内,A是与x无关的常数,yf(xx0可微,Axyf(x在x0处相应于自变量改变量x的微分,dy,即二、函数可微的条

dyAdyfdyf(x)

即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.因此，导数又称为“微商”.定义fxx0L(x)

f(x0)f(x0)(xx0fxx0处线性化.fxLxfxx0处标准线性近似点x0称为该近似的中心一些常用函数在x0处的标准线性近似n111xsinxx(x为弧度）tanxx(x为弧度）ex1xln(1xn1n六、误差计算：绝对误差；相对误差；百分比误差例题选微分的定1(E01)yx2x11.01的微分解因为dy2xdx由题设条件知x1,dxx1.011所以dy210.01例2 求函数yx3在x2处的微分解yx3x2

dy(x3)' dx例3(E03) 求函数yx3e2x的微分.解y'(x3e2x)'3x2e2x2x3e2xx2e2x(3所以dyy'dxx2e2x(3dye2xd(x3)x3d(e2x)e2x3x2dxx32e2xdxx2e2x(3例4 求函数ysinx的微分xsinx xcosxsin解因为y' x 所 dyy'dxxcosxsinx复合函数的微分例5 设ysin(2x解ysinu,u2x1

dydyd(sinu)cosuducos(2x1)d(2x1)cos(2x1)2dx2cos(2x注:与复合函数求导类似,求复合函数的微分也可不写出中间变量,便6yln(1ex2

求解dydln(1ex2)

d(1x2

2

ex2

2x2xdxx

1

e 21

d(x

1

1ex27(E06)yln(x2

x21),

xx21解dyxx21

x1)

d(x

x1)

1

x21xxxx2x2例8 已知y

e2x2

dy解dy

x2d(e2x)e2xd(x2)(x2)2

x2e2x2dxe2x2xdx

2e2x(x

9E08)d

)costdt的括号中填入适当的函数,使等式成立d

)cosdt

d(sinx2)

)d

x解(1)d(sint) costdt1d(sint)d(1 d1sintCdd(sinx2d(x

2xcosxx1x

xcosx22d(sinx2)

xcosx2)d

x例 求由方程exy2xy3所确定的隐函数yf(x)的微分解对方程两边求微分,

d(exy)d(2xy3exyd(xy)d(2x)d(y3 exy(ydxxdy)2dx2于 dyxexy3y2函数的线性11(E10)fx

1x0x1121 首先不难求得f(121 f(xx0L(x)

f(0)f(0)(x0)1xyyyy1y5 221y1O1 xx3 L(x)

f(3)f(3)(x3) x L(x)f(x)f(x)(xx 示意图见右,11111

x（x=0处25 x4

（x=3处412(E11)fxln(1xx0解f(x)

f(0)1f(0)0f(xx=01L(x)f(0f(0)(x0)例 半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了0.05厘米,问面积增大了少解Ar2r10厘米),r0.05厘米例 计算cos6030'的近似值解f(x)cosx

3fx)sinx,x为弧度),3

,xf()1

f'3

)

所以cos6030

cossin1

3

3 315计算下列各数的近似值

3998.5;

e003解

3310003331000310001 1.5100031

e00310.03

0.0015，例16(E14)最后我们来看一个线性近似在质能转换关系中的应用.我们知道的第Fm（为加速度）m是被假定为常数的，但严格说来这是不对的，因为物体的质量随其速度的增长而增长.在修正后的中，质量为，1v21v2/

,当v和cv2/c2 1v2

21m m0

m0v 1v2/1v2/

c2 m

1mv21

c2 1mv2K (mm)c21mv21mv21m02(K (m)c2(K). 换言之，物体从速度0到速度v的动能的变化(K)近似等于(m)c2.因为c3108米/秒，代入式（1）K)90000000000000000m焦耳由此可知，小的质量变化可以创造出大的能量变化．例如，1相当于一颗2万吨级的释放的能量例17 正方形边长为2.410.005米求出它的面积并估计绝对误差与相对误差解x,y,yx2.x2.41时

y(2.41)25.808