优选教案：高中数学人教A版 选择性必修 第二册 基本初等函数的导数

5.2.1基本初等函数的导数本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习基本初等函数的导数本节内容通对基本初等函数导数公式的介绍，进一步帮助学生理解导数的含义，同时提升学生对函数导数的求解运算能力，为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，B．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．1.数学抽象：导数的概念2.逻辑推理：导数及导数的几何意义3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率4.直观想象：导数的几何意义重点：基本初等函数的导数公式的简单应用难点：根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，y=多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标温故知新由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。二、新知探究1.求函数在x0处的导数的方法．(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)求极限的y′|eq\s\do10(x＝x0)＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).2.怎样求导函数？(1)求改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．(2)求比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).(3)求极限的y′＝f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).思考：导数与导函数有什么区别和联系？那么如何求几种常见函数的导数？问题1.

函数

y=f解：因为∆y∆x=所以y'=∆x→0lim若y=c表示路程关于时间的函数，则y'问题2.

函数

y=f解：因为∆y∆x=fx+∆x-f(x)所以y'=∆x→0lim若y=x表示路程关于时间的函数，则y'问题3.

函数

y=f解：因为∆y∆x=fx+∆x=x2+2x∆x+(∆x)2所以y'=∆x→0lim

y'=2x表示函数y=x2的图像，上点x,y处切线的斜率为2x,说明随着x变化，切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y当x<0时，随着x增加，y'越来越小，y=当x>0时，随着x增加，y'越来越大，y=若y=x2表示路程关于时间的函数，则y'=2x可解释为某物体做变速运动，它在时刻原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝___0；αxα－1；cosx；－sinx；axlna；ex；eq\f(1,xlna)；eq\f(1,x)1.函数y＝eq\f(4,x2)在x＝2处的导数为________．解析：法一(导数定义法)：∵Δy＝eq\f(4,Δx＋22)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,Δx＋22)－1＝－eq\f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,Δx＋22)，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝2))＝eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δx＋4,Δx＋22)＝－1.法二(导函数的函数值法)：∵Δy＝eq\f(4,x＋Δx2)－eq\f(4,x2)＝－eq\f(4Δx2x＋Δx,x2x＋Δx2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)，∴y′＝eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)＝－eq\f(8,x3).∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝2))＝－eq\f(8,23)＝－1.答案：－12．常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．3．对于公式“若f(x)＝xα(α∈Q)，则f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？提示：当α∈R时，f′(x)＝αxα－1仍然成立．4．下列说法正确的个数为()①若y＝eq\r(2)，则y′＝eq\f(1,2)×2＝1；②若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx；③f(x)＝eq\f(1,x3)，则f′(x)＝－eq\f(3,x4).A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有③正确．答案：B5．(多选)下列结论正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y=x12，则y′＝eq\f(1,2)x1答案：ABC6．若y＝coseq\f(2π,3)，则y′＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C．0D.eq\f(1,2)答案：C7．函数y＝eq\r(x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))处切线的倾斜角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(3π,4)答案：B典例解析例1.求下列函数的导数．(1)y＝eq\f(1,x5)；(2)y＝eq\f(x2,\r(x))；(3)y＝lgx；(4)y＝5x；(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).[解](1)∵y＝eq\f(1,x5)＝x－5，∴y′＝－5x－6.2y=x(3)∵y＝lgx，∴y′＝eq\f(1,xln10).(4)∵y＝5x，∴y′＝5xln5.(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，∴y′＝cosx.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“eq\f(1,x)与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．跟踪训练1．求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(x,\r(x))(x＞0)；(2)y＝sin(π－x)；(3)y＝logx.[解](1)∵y＝eq\f(x,\r(x))＝eq\r(x)(x＞0)，∴y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)).(2)y＝sin(π－x)＝sinx，∴y′＝cosx.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,3)x))′＝eq\f(1,xln\f(1,3))＝－eq\f(1,xln3).例2假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价P（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p其中p0为t=0时的物价，假定某种商品的p解：根据基本初等函数的导数公式表有，p'所以；p'10所以，在第10个年头这种商品的价格约以0.08元/年跟踪训练2质点的运动方程是S(t)＝sint，则质点在t＝时的速度为______；质点运动的加速度为_____；解析：v(t)＝S′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).即质点在t＝eq\f(π,3)时的速度为eq\f(1,2).∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.[答案]eq\f(1,2)－sint例3已知曲线y＝eq\f(1,x).(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求过点Q(1,0)的曲线的切线方程．[解]∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝eq\f(1,x)在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为x＋y－2＝0.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝eq\f(1,x)上，则可设过该点的切线的切点为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－eq\f(1,a2).则切线方程为y－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(x－a)．①将Q(1,0)代入方程：0－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(1－a)．得a＝eq\f(1,2)，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．跟踪训练3当常数k为何值时，直线y1＝x与曲线y2＝x2＋k相切？请求出切点．解：设切点为A(x0，xeq\o\al(2,0)＋k)．∵y′2＝2x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0＝1，,x\o\al(2,0)＋k＝x0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,2)，,k＝\f(1,4)，))故当k＝eq\f(1,4)时，直线y1＝x与曲线y2＝x2＋k相切，且切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))).通过对上节导数定义及求导步骤的回顾，引导学生对5个基本函数运用定义求导。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过对5个基本函数导数的求解，及其导函数的解释。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过基本问题解决，帮助学生熟悉基本函数导数公式。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握8个基本初等函数的导数公式，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1．设函数f(x)＝cosx，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))′＝()A．0B．1C．－1D．以上均不正确解析：注意此题中是先求函数值再求导所以导数是0答案：A2．下列各式中正确的是()A．(logax)′＝eq\f(1,x)B．(logax)′＝eq\f(ln10,x)C．(3x)′＝3xD．(3x)′＝3xln3解析：由(logax)′＝eq\f(1,xlna)，可知A，B均错；由(3x)′＝3xln3可知D正确．答案：D3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3).答案：1或－eq\f(1,3)4．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴lna＝－1，即a＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)5．求与曲线y＝f(x)＝eq\r(3,x2)在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．解：因为y＝eq\r(3,x2)