已知数列是数列的()A 教学设计

PAGE1-1．已知数列eq\r(3)，eq\r(7)，eq\r(11)，eq\r(15)，…，则5eq\r(3)是数列的()A．第18项B．第19项C．第17项D．第20项解析：选B.∵7－3＝11－7＝15－11＝4，即an2－an－12＝4，∴an2＝3＋(n－1)×4＝4n－1，令4n－1＝75，则n＝19.故选B.2．已知数列的通项an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1(n为奇数),2n－1(n为偶数)))，则a2009－a2010等于()A．2007B．2008C．2009D．2010解析：选C.a2009＝3×2009＋1＝6028；a2010＝2×2010－1＝4019.故a2009－a2010＝6028－4019＝2009.故应选C.3．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…的通项公式是an＝eq\f(n,n＋1)；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选A.①错误，如an＋2＝an＋an＋1，a1＝1就无法写出a2；②错误，an＝eq\f(n＋1,n＋2)；③正确；④两数列是不同的有序数列．故应选A.4．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则eq\f(a3,a5)的值是()A.eq\f(15,16)B.eq\f(15,8)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,8)解析：选C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)a4＝eq\f(1,2)＋(－1)4，∴a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝eq\f(2,3)，∴eq\f(a3,a5)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,4).5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于()A．9B．8C．7D．6解析：选B.an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1(n＝1)，,Sn－Sn－1(n≥2)，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8(n＝1)，,－10＋2n(n≥2).))∵n＝1时适合an＝2n－10，∴an＝2n－10.∵5<ak<8，∴5<2k－10<8，∴eq\f(15,2)<k<9，又∵k∈N＋，∴k＝8，故选B.6．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝eq\f(an－1,an－2)(n≥3且n∈N*)，则a17＝()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．2－987解析：选C.由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝eq\f(1,2)，a6＝eq\f(1,2)，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝eq\f(1,2)，a12＝eq\f(1,2)，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝eq\f(1,2).7.已知数列{an}的通项an＝eq\f(na,nb＋c)(a，b，c均为正实数)，则an与an＋1的大小关系是________．解析：∵an＝eq\f(na,nb＋c)＝eq\f(a,b＋\f(c,n))，eq\f(c,n)是减函数，∴an＝eq\f(a,b＋\f(c,n))是增函数，∴an<an＋1.答案：an<an＋18．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq\f(a1(3n－1),2)(对n≥1恒成立)且a4＝54，则a1＝________.解析：法一：由S4＝S3＋a4，得eq\f(a1(34－1),2)＝eq\f(a1(33－1),2)＋54，即eq\f(a1(34－33),2)＝54，解得a1＝2.法二：由Sn－Sn－1＝an(n≥2)可得an＝eq\f(a1(3n－1),2)－eq\f(a1(3n－1－1),2)＝eq\f(a1(3n－3n－1),2)＝a1·3n－1，∴a4＝a1·33，∴a1＝eq\f(54,27)＝2.答案：29．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝5n2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．解析：当n＝1时，a1＝T1＝512＝5；当n≥2时，an＝eq\f(Tn,Tn－1)＝eq\f(5n2,5(n－1)2)＝52n－1(n∈N*)．当n＝1时，也适合上式，所以当n∈N*时，an＝52n－1.答案：an＝52n－1(n∈N*)10．已知数列{an}中，an∈(0，eq\f(1,2))，an＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,2)a2n－1，其中n≥2，n∈N＋，求证：对一切正整数n都有an<an＋1成立．证明：an＋1－an＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,2)an2－an＝eq\f(1,2)(an－1)2－eq\f(1,8)，∵0<an<eq\f(1,2)，∴－1<an－1<－eq\f(1,2).∴eq\f(1,8)<eq\f(1,2)(an－1)2<eq\f(1,2).∴eq\f(1,2)(an－1)2－eq\f(1,8)>0.∴an＋1－an>0，即an<an＋1对一切正整数n都成立．11．(2010年邯郸模拟)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝eq\f(2,an＋1)，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．∴bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)(n≥2)，,\f(2,3)(n＝1).))(2)∴cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n＋1)，∴cn＋1－cn＝eq\f(1,2n＋2)＋eq\f(1,2n＋3)－eq\f(1,n＋1)<0，∴{cn}是递减数列．12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋pn，数列{bn}的前n项和为Tn＝3n2－2n.(1)若a10＝b10，求p的值．(2)取数列{bn}的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的通项公式．解：(1)由已知，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋pn)－[(n－1)2＋p(n－1)]＝2n－1＋p(n≥2)，bn＝Tn－Tn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1