专题四 探索性问题

n2223334专题四n2223334知链探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论要经过推断并加以证明的题型。探索性问题一般有三种类型：（）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题。条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。基热1.2014潍坊图知正方形ABCD点A(1定“把正方形ABCD先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为()A．(—2012,2)B．（一2012，一2）C.(—2013,—2)D.(—2013,2)2.

（2014年川巴中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称“杨三角它发现比西方要早五百年左此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！杨三角中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了）（n为负整数）的展开式中a次数从大到小排列的项的系数如（）=a展式中的系数1恰对应图中第三行的数字；再如，a+b）=a+3a+b展开式中的系数1、、恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出）的展开式，）4

=

．中链类型一条件索型题【例】2014年四川巴中）如图，在四边形中，点H是的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，BH与EH满足什么关系时，四边形矩形，请说明理由．【分析（1）根据全等三角形的判定方法，可得出EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE矩形．1

类型二结论索型题【例如图，已知抛物线y=x

2

+bx+c的顶点坐标为M(0，-1)，与x轴交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线不与y轴重合)交抛物线于CD两点，连接MC，MD，试判断MCMD是否垂直，并说明理由．【分析1）待定系数法即可解得．（2）由抛物线的解析式可知，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°从而得出△是等腰直角三角形．（3）分别过C点D点作轴的平行线，交x轴于E、F，M点作x轴的平行线交EC于G，交DF于H，（m，m

2

-1）（n，n

2

ECOE-1），通EG∥DH，得出，从而求得n的关系，DFOF根据m、n的关系，得出CGM∽△MHD，利用对应角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得结论．2

【例(2014年湖北咸宁如图方形OABC的边OA在坐标轴上的坐标﹣4P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点O时，点Q也停止运动．连接，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为（s）．（1PBD的度数为D的坐标为（用t表示）；（2）当t为何值时，△为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．【分析（1易证△BAP≌△PQD从而得到DQ=AP=t从而可以求出∠的度数和点D的坐标．（2）由于∠EBP=45°，故1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的值．（3）由（2）已证的结论很容易得到△POE周长等于，从而解决问题．3

类型三探索在型题1【例】2014•兰州）如图，抛物线yx2

mxx轴交于A、B两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在直接写出P点的坐标如果不存在，请说明理由；（3点E时线段上的一个动点过点Ex轴的垂线与抛物线相交于点F，当点运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标．【分析1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、的值即可；（2）由1）解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以C为圆心CD为半径作弧交对称轴于PD为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P垂直于对称轴与点E，3由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；1（3）先求出的解析式，设E点的坐标为（a，﹣a+2），就可以表示F的坐标，由四边2形CDBF的面积=

BCD

CEF

BEF

求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．4

课训1.按下列规律排列的一列数对1,2),(4,5)(7,8),„个数对是___________。2.如下数表是由1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中8行的最后一个数是______________它是自然_____________的平方，8行共有____________个数；（2）用含n的代数式表示：第行的第一个数是___________________最后一个数是________________，第行共有_______________个数；（3）求第n行各数之和．3.（2013•威海）如图，在面直角坐标系，Rt△OAC，Rt11△OAC，eq\o\ac(△,Rt)OAC，Rt△OA„边都在坐标轴上，∠AOC=∠22334411AOC=∠AOC=∠AOC=„°若点A的坐标3OA=OC，223344112OA=OC，OA=OC„依此律，点A的纵坐标为（）23342014A.0

33322

4.（2013•贵阳）在ABC中，BC=a，AC=bAB=c，c为最长边，当a

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+b

2

=c

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时，△ABC是直角三角形；a

2

+b

2

≠c

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时，利用代数式a

2

+b

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和c

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的大小关系，探究△ABC的形（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为、8、9时，△ABC为______三角形；当△三边分别为6、8、11时，△ABC为______三角形．（2）猜想，当2+b2_____c2，ABC为锐角三角形；a2+b2______c2时，ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．5

52014•河南线－x

2

+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,03两点，直线y与y轴交于点C，，与x轴交于点D.P4是x轴上方的抛物线上一动点，过点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为。（1）求抛物线的解析式；（）若PE=5EF,求m的值；（3）若点E

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是点E关于直线PC的对称点、是否存在点，使点E

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落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点的坐标；若不存在，请说明理由。（2013•长沙）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋与x轴y轴分别交于点A，B，动点，b)在第一象限内，由点P向x，所作的垂线，垂足