结构力学中的位移法演示

（优选）结构力学中的位移法当前1页，总共55页。§8-1位移法的基本概念ABCPθAθA荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：θAABCPθAθA附加刚臂Step1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。ABC实现位移状态可分两步完成当前2页，总共55页。Step3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。ABCPθAθAStep1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性，产生相应的附加约束反力。ABC当前3页，总共55页。P12345BBAB选择基本未知量物理条件几何条件平衡条件变形条件当前4页，总共55页。位移法基本作法小结:（1）基本未知量是结点位移；（2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；（3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;（4）由杆件的单元刚度方程求出杆件内力，画内力图。ABABCPCPA关于刚架的结点未知量当前5页，总共55页。1MABMBA§8-2等截面杆件的计算一、由杆端位移求杆端弯矩（1）由杆端弯矩MABMBAlMABMBA利用单位荷载法可求得设同理可得1

杆端力和杆端位移的正负规定①杆端转角θA、θB，弦转角

β＝Δ/l都以顺时针为正。②杆端弯矩以顺时针为正

EI当前6页，总共55页。EIMABMBAlMABMBA（2）由于相对线位移引起的A和B以上两过程的叠加我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：当前7页，总共55页。可以将上式写成矩阵形式1234结构中可能存在不同支座情况。当前8页，总共55页。AMAB几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得（2）远端为固定铰支座因MBA=0，代入(1)式可得AMABMBA（3）远端为定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI当前9页，总共55页。由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i0当前10页，总共55页。二、由荷载求固端反力称为载参数单跨超静定梁简图ABqPabbABqABqabABPABPab当前11页，总共55页。»

在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：当前12页，总共55页。§8-3无侧移刚架的计算如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMBAMABMBC1、基本未知量B2、固端弯矩(确定载常数)3、列单元刚度方程(包含形常数与载常数)4、位移法基本方程（平衡条件）13当前13页，总共55页。16.7215.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列杆端转角位移方程4、位移法基本方程（平衡条件）5、各杆端弯矩及弯矩图M图(1)变形连续条件:在确定基本未知量时得到满足；(2)物理条件:即刚度方程；(3)平衡条件:即位移法基本方程。超静定结构必须满足的三个条件:14当前14页，总共55页。例1、试用位移法分析图示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量B、C（2）固端弯矩(载常数)MF计算线刚度i，设EI0=1，则梁15当前15页，总共55页。柱(3)位移法方程梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4Io5I。4I。3I。3I。16当前16页，总共55页。(4)解方程(相对值)(5)杆端弯矩及弯矩图梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图17当前17页，总共55页。无侧移刚架位移法分析小结1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC18当前18页，总共55页。AEIlQABQBA复习角变位移方程中的杆端剪力：ABCDiiqqQBAQDC其中绘制弯矩图的方法：（1）直接由外荷载及剪力计算；（2）由转角位移方程计算。ABCD§8-5有侧移刚架的计算19当前19页，总共55页。Ph1h2h3I1I2I3例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。解：1）基本未知量：ΔΔΔ2）各柱的杆端剪力侧移刚度J=3i/h2，则：Q1=J1Δ，Q2=J2Δ，Q3=J3ΔQ1+Q2+Q3=PJ1Δ+J2Δ+J3Δ=PPQ1Q2Q3iihJPJM=Qihiå=iiJPJQå=P柱顶剪力：柱底弯矩：åJhPJ11åJhPJ33åJhPJ223）位移法方程∑X=0M结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。20当前20页，总共55页。EIlQABQBAAB其中lABCDiii1=qq复习角变位移方程中的杆端剪力：绘制弯矩图……………..M（ql2）QDCQBA21当前21页，总共55页。MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDC例1.用位移法分析图示刚架。[解]（1）基本未知量B、（2）单元分析

BC8m4mii2iABCD3kN/m22当前22页，总共55页。MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程QBA+QCD=0…………...(2a)QBAQCD23当前23页，总共55页。（4）解位移法方程（5）弯矩图MAB=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mQBA=-1.42kNQCD=-1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M图（kN·m）24当前24页，总共55页。ABCDEFmq例2.用位移法分析图示刚架思路MBAMBCMCBMBEMEBMCDmMCFMFCQBEQCF基本未知量为：25当前25页，总共55页。PABCDEFPQCEQCAQDB基本未知量为：MCEMCAMCDQCAQCEMCAMCDMCE26当前26页，总共55页。第一种基本思路位移法思路(直接平衡方程法)以某些结点的位移为基本未知量将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移)关系的单跨梁集合分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力将单跨梁拼装成整体用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立和位移个数相等的方程求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可得原结构受力27当前27页，总共55页。§8-4位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。

力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）

位移法的特点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁当前28页，总共55页。二、基本未知量的选取2、结构独立线位移：（1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。

CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：1、结点角位移数：结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。当前29页，总共55页。线位移数也可以用几何方法确定。140将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。当前30页，总共55页。8m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)三、选择基本体系四、建立基本方程当前31页，总共55页。1.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0………..(1)=0………..(2)k111+k122+F1Pk211+k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21=-1.5ik12=-1.5iM1M2当前32页，总共55页。MPF1PABCDF2P4kN`·m4kN·mF2P040F1P6F1P=4kN·mF2P=-6kN位移法方程：六、绘制弯矩图4.4213.625.691.4M(kN·m)ABCD五、计算结点位移当前33页，总共55页。k111+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222+··········+k2nn+F2P=0

··································kn11+kn22+

··········+knnn+FnP=0

121=1k11k21k12k222=1k11×0+k21

×1

k21=k12=k12

×1+k22

×0kij=kji

具有n个独立结点位移的超静定结构：位移反力互等定理当前34页，总共55页。第二种基本思路位移法思路(典型方程法)

以位移为基本未知量,先“固定”（不产生任何位移）考虑外因作用，由“载常数”得各杆受力,作弯矩图。令结点产生单位位移（无其他外因），由“形常数”得各杆受力,作弯矩图。两者联合原结构无约束，应无附加约束反力（平衡）.列方程可求位移。当前35页，总共55页。基本思路两种解法对比：典型方程法和力法一样，直接对结构按统一格式处理。最终结果由叠加得到。直接平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体问题建平衡方程。其概念更加清楚，杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可得。最终方程都是平衡方程。整理后形式均为：当前36页，总共55页。例1、试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量（2）基本体系计算杆件线刚度i，设EI0=1，则4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0Δ1Δ2Δ3Δ

1、

Δ2、Δ3当前37页，总共55页。Δ1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程k111+k122+

k133+F1P=0

k211+k222+

k233+F2P=0

k311+k322+

k333+F3P=0

（4）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k333241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2Δ2=134221k22=4+3+2=9k23=k32=?当前38页，总共55页。(1/12)×20×52=41.7Δ3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13=–9/8k32=k23=–1/2（5）计算自由项：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8)×20×42=40F1P=40–41.7=–1.7F2P=41.7F3P=0当前39页，总共55页。（6）建立位移法基本方程：（7）解方程求结点位移：（8）绘制弯矩图ABCDFEM图（kN•m）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校核结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。当前40页，总共55页。§8-5对称结构的计算PPMMQN对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。NQ当前41页，总共55页。一、单数跨(1)对称荷载Δ1F1Pk11iBE2iAB4iABMPM1k11Δ1+F1P=0(2)反对称荷载PPABCDEΔ1Δ1Δ2ABEl/2P反弯点ABΔ2Δ1ABEl/2q当前42页，总共55页。二、偶数跨(1)对称荷载qqCCM=Q=0PPIN=0PP反弯点P无限短跨+PP(2)反对称荷载当前43页，总共55页。三、联合法PEI=C=+P/2P/2P/2P/2P/2P/2力法:6个未知量位移法:6个未知量部分力法,部分位移法:4个未知量当前44页，总共55页。↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓24kN/m4m4m4mEIEIEI2EIEI24242472724208208M反对称M对称921643252M图(kN.m)4845当前45页，总共55页。↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m96MP↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mEIEIEI4m4m24

2472M反对称↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m等代结构2472X1444M1=146当前46页，总共55页。↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/mEIEI4m4m等代结构ACBMMMACABA0=+=åiA2-=qiA0168=+qiMACA2=qiMAAC4=qiMAAB164+=qiMABA162-=q=－20kN.m=8kN.m=－8kN.m=－4kN.m2084208M对称47当前47页，总共55页。*§8-6支座移动和温度改变时的计算基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端力一项不同。lliiABCMMBCBA=+å0ΔlBD=2qliiB=D-036qliiMBBCD-=33qiMBBA=3qliD-5.1=liD5.1=liD5.1M图一、支座移动时的计算48当前48页，总共55页。lliiABCΔlliiABClliiABCΔ/2Δ/2Δ/2Δ/2liD5.1M反=049当前49页，总共55页。例:试作图示结构弯矩图.二、具有弹性支座时的计算50当前50页，总共55页。二、温度改变时的计算固端弯矩杆件内外温差产生的“固端弯矩”CC对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移,立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移ΔΔ=