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习题课1.定积分的应用几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.转动惯量.定积分的应用例1.

求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:

设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y

轴的交点分别为所指面积且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点例2.

设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)

a

为何值时,所围图形绕x

轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V

取最小值.例3.

证明曲边扇形绕极轴证:

先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元故旋转而成的体积为故所求旋转体体积为例4.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解:

曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则例5.

半径为R,密度为的球沉入深为H(H>2R)的水池底,

水的密度多少功?解:建立坐标系如图.则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零”例6.

设有半径为R

的半球形容器如图.(1)以每秒a

升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0<h<R)时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?

解:

过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过t

秒容器内水深为h,(1)求由题设,经过t

秒后容器内的水量为而高为

h

的球缺的体积为半球可看作半圆绕y

轴旋转而成体积元素:故有两边对t

求导,得at

(升)

,(2)将满池水全部抽出所做的最少

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