2022-2023学年山东省青岛市崂山区九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市崂山区九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（）A． B． C． D．2．如图，路灯离地面距离OC＝8m，若身高AB＝1.6m的小明站在点A处，小明的影子AM的长为5米，则点A离点O的距离是（）A．15m B．20m C．24m D．25m3．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）＝196 B．50+50（1+x2）＝196 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝1964．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（﹣3，2） B．图象位于第二、四象限 C．若x＜2，则y＜﹣3 D．当x＜0时，y随x值的增大而增大5．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线y＝2x2（）A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度6．下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF8．已知抛物线y＝ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．将只有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里随机摸出一个球记录下颜色后放回袋子，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有个．10．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝×+×＝1．类似地，可以求得sin15°的值是．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点B出发，沿BC方向向点C移动，连结PA，PD，记PA＝x（3＜x＜5），设点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数关系式是．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投针，则针尖落在图中阴影部分的概率为．13．如图，在平面直角坐标系中，点C，D分别是AB，OB的中点，点A的坐标为（6，0），点D的坐标为（1，2），则点C的坐标为．14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．如图，已知锐角△ABC，请在△ABC的内部作出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（1）解方程：x（3+x）＝2（3+x）；（2）抛物线y＝ax2﹣2ax+2与x轴只有1个交点，求a的值．17．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin23，tan23）．18．山东省高考实行“3+3”的高考选考方案，其中第一个“3”是指语文、数学、外语三科必考；另一个“3”是指从物理、化学、政治、历史、地理、生物六科中任选三科参加考试，若小明和小亮将参加高考，他们都酷爱物理和地理，因此两人都选物理和地理．他们两人都将从化学、生物、政治三科中任选一科．若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中生物的概率．19．图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，点P到水面OA的距离为m，从O，A两处观测P处，仰角分别为α，β，且tanα＝，tanβ＝，以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，已知抛物线满足y＝ax2+bx，求抛物线表达式，并求抛物线上的最高点到水面的距离．20．某商店销售一种商品，每件的进价为7.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件，请你分析，销售单价多少时，可以获利最大，并求最大利润．21．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象交于点C，E，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若△CDE的面积为140，求点E的坐标；（3）当x＝π时，kx+b（填＞，＝，＜）．22．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E、F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：EC＝HG；（2）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由；（3）AD＝AC+（无需证明）．23．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP＝AD时（如图②）：∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：；（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：．24．如图1，已知二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标；（4）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标．

参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．2．如图，路灯离地面距离OC＝8m，若身高AB＝1.6m的小明站在点A处，小明的影子AM的长为5米，则点A离点O的距离是（）A．15m B．20m C．24m D．25m【分析】根据题意得出：△COM∽△BAM，进而利用相似三角形的性质得出OM的长度，继而求得OA的长度．解：由题意可得：△COM∽△BAM，则＝，即＝，解得：OM＝25．所以OA＝OM﹣AM＝20m．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用；在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解决问题的关键．3．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）＝196 B．50+50（1+x2）＝196 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．4．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（﹣3，2） B．图象位于第二、四象限 C．若x＜2，则y＜﹣3 D．当x＜0时，y随x值的增大而增大【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．解：∵反比例函数y＝﹣，∴图象必经过点（﹣3，2），故选项A正确，不符合题意；图象位于第二、四象限，故选项B正确，不符合题意；若x＜2，则y＜﹣3或y＞0，故选项C不正确，符合题意；在每一个象限内．y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．5．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线y＝2x2（）A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．解：∵y＝2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（4，﹣1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．6．下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．解：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关定理是解题关键．8．已知抛物线y＝ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（）A． B． C． D．【分析】根据抛物线对称轴位置和a，b的关系以及利用图象开口方向与a的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x轴正半轴，利用图象与y轴交点和c的符号，进而得出答案．解：∵抛物线y＝ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，∴图象开口向下，a﹣2＜0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a＜0，b＝3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握图象对称轴位置与a，b的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．将只有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里随机摸出一个球记录下颜色后放回袋子，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有10个．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解：设袋中白球有x个，根据题意得：，解得：x＝10，经检验：x＝10是分式方程的解，故袋中白球有10个．故答案为：10．【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．10．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝×+×＝1．类似地，可以求得sin15°的值是．【分析】把15°化为60°﹣45°，则可利用sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ和特殊角的三角函数值计算出sin15°的值．解：sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°＝•﹣•＝．故答案为．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．也考查了阅读理解能力．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点B出发，沿BC方向向点C移动，连结PA，PD，记PA＝x（3＜x＜5），设点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数关系式是y＝（3＜x＜5）．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得，然后整理即可得到y与x的关系式．解：矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABP∽△DEA，∴，∴，∴y＝（3＜x＜5）．故答案为：y＝（3＜x＜5）．【点评】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投针，则针尖落在图中阴影部分的概率为．【分析】利用平行四边形的性质得到BC＝AD，BC∥AD，再证明△BOE∽△DOE，利用相似比得到＝＝＝，则S△AOB＝2S△BOE，S△AOD＝4S△BOE，然后根据针尖落在图中阴影部分的概率＝进行计算．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，∵E为BC的中点，∴BE＝AD，∵BE∥AD，∴△BOE∽△DOE，∴＝＝＝，∴S△AOB＝2S△BOE，S△AOD＝4S△BOE，∴S△ADB＝6S△BOE，S四边形ABCD＝12S△BOE，∴针尖落在图中阴影部分的概率＝＝．故答案为．【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝某事件对应的面积与总面积之比．也考查了平行四边形的面积．13．如图，在平面直角坐标系中，点C，D分别是AB，OB的中点，点A的坐标为（6，0），点D的坐标为（1，2），则点C的坐标为（4，2）．【分析】根据三角形中位线定理可得DC∥OA，DC＝OA，根据点A坐标和点D坐标进一步可得点C坐标．解：∵点C，D分别是AB，OB的中点，∴DC为△OAB的中位线，∴DC∥OA，DC＝OA，∵点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，∴DC＝3，∵点D的坐标为（1，2），即点C坐标为（4，2），故答案为：（4，2）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．【分析】根据已知得当AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，从而不难根据相似比求得其值．解：连接AP，∵四边形AFPE是矩形，∴AM＝AP，AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB，∴AP：AC＝AB：BC，∴AP：12＝5：13，∴AP最短时，AP＝∴当AM最短时，AM＝AP÷2＝．故答案为：．【点评】解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似求解．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．如图，已知锐角△ABC，请在△ABC的内部作出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角．【分析】作∠BAC的角平分线AM与BC交于点M，作AM的垂直平分线交AB，AC于点P，N，连接MP，MN，则四边形APMN即为所求．解：如图所示：四边形APMN即为所求．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，菱形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（1）解方程：x（3+x）＝2（3+x）；（2）抛物线y＝ax2﹣2ax+2与x轴只有1个交点，求a的值．【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（2）利用抛物线与一元二次方程的关系以及根的判别式解答．解：（1）方程x（3+x）＝2（3+x），移项得：x（3+x）﹣2（3+x）＝0，分解因式得：（3+x）（x﹣2）＝0，所以3+x＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2；（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+2与x轴有且只有一个交点，∴Δ＝（﹣2a）2﹣8a＝0，且a≠0．解得a＝2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，因式分解法解一元二次方程，难度不大．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．17．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin23，tan23）．【分析】根据平行线的性质可知∠DBA＝∠BAC＝67°，推出∠ABC＝90°，再根据正切的定义求出BC的长．解：如图：∵BD∥AC，∴∠DBA＝∠BAC＝67°，∴∠ABC＝90°，∴BC＝BA•tan67°≈4×＝10（千米）．答：B，C两地的距离约是10千米．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．18．山东省高考实行“3+3”的高考选考方案，其中第一个“3”是指语文、数学、外语三科必考；另一个“3”是指从物理、化学、政治、历史、地理、生物六科中任选三科参加考试，若小明和小亮将参加高考，他们都酷爱物理和地理，因此两人都选物理和地理．他们两人都将从化学、生物、政治三科中任选一科．若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中生物的概率．【分析】画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中生物的只有1种结果，所以他们恰好都选中生物的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．19．图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，点P到水面OA的距离为m，从O，A两处观测P处，仰角分别为α，β，且tanα＝，tanβ＝，以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，已知抛物线满足y＝ax2+bx，求抛物线表达式，并求抛物线上的最高点到水面的距离．【分析】过点P作PH⊥OA于H，根据三角函数可求OH，AH，可得OA，再利用待定系数法求解可得．解：过点P作PH⊥OA于H，如图．在Rt△OHP中，∵tanα＝，PH＝m，∴OH＝3m，在Rt△AHP中，∵tanβ＝，PH＝m，∴AH＝1m，∴OA＝4m，∴点P的坐标为（3，）．若水面上升1m后到达BC位置，如图，过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y＝ax（x﹣4），∵P（3，）在抛物线y＝ax（x﹣4）上，∴3a（3﹣4）＝，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣4）＝﹣（x﹣2）2+2，∴抛物线上的最高点到水面的距离是2m．【点评】本题主要考查了三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识，出现角的度数（30°、45°或60°）或角的三角函数值，通常放到直角三角形中通过解直角三角形来解决问题．20．某商店销售一种商品，每件的进价为7.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件，请你分析，销售单价多少时，可以获利最大，并求最大利润．【分析】通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润＝单个商品的利润×销售量．要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大．因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x元，商品的售价就是（13.5﹣x）元了．单个的商品的利润是（13.5﹣x﹣2.5），这时商品的销售量是（500+200x），总利润可设为y元．利用上面的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润．解：设每件商品降价x元，商品的售价就是（13.5﹣x）元，单个的商品的利润是（13.5﹣x﹣7.5）元，这时商品的销售量是（500+200x）件．设总利润为y元，则y＝（13.5﹣x﹣7.5）（500+200x）＝﹣200x2+700x+3000，∵﹣200＜0，∴y有最大值；∴当x＝＝1.75时，y最大值＝＝3500，即当每件商品降价1.75元，即售价为13.5﹣1.75＝11.75时，可取得最大利润3500元．【点评】此题运用了数学建模思想把实际问题转化为数学问题．运用函数性质求最值常用公式法或配方法．21．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象交于点C，E，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若△CDE的面积为140，求点E的坐标；（3）当x＝π时，kx+b＞（填＞，＝，＜）．【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4，∵CD⊥x轴，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴，∴，∴CD＝20，∴点C坐标为（﹣4，20），∴n＝xy＝﹣80，∴反比例函数解析式为：y＝﹣，把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12，（2）过点E作EM⊥CD，交CD的延长线于M，∵CD＝20，△CDE的面积140，∴CD•EM＝140，×20•EM＝140，EM＝14，∵C（﹣4，20），∴E点横坐标是10，把x＝10代入y＝﹣2x+12，得y＝﹣8，∴点E坐标为（10，﹣8）（3）由图象得，当10＞x＞0．不等式kx+b＞，∴当x＝π时，kx+b＞．故答案为：＞．【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．22．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E、F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：EC＝HG；（2）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由；（3）AD＝AC+EC（无需证明）．【分析】（1）依据条件得出∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE＝GD，∠CGE＝∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（注：本小题也可以通过证明四边形ECGH为矩形得出结论）；（2）依据∠B＝30°，可得∠ADE＝30°，进而得到AE＝AD，故AE＝AF＝FG，再根据四边形AEGF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形；（3）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC＝AP，由（1）可得EG＝DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，依据EC＝PD，即可得出AD＝AP+PD＝AC+EC．【解答】（1）证明：∵AF＝FG，∴∠FAG＝∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG，∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，∵DE∥BC，∴∠CGE＝∠GED＝∠GDE，∴△ECG≌△GHD（AAS），∴EC＝HG；（2）解：四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD，∴AE＝AF＝FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AEGF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．（3）解：过点G作GP⊥AB于P，∴GC＝GP，而AG＝AG，∴Rt△CAG≌Rt△PAG（HL），∴AC＝AP，由（1）可得EG＝DG，∴Rt△ECG≌Rt△DPG（HL），∴EC＝PD，∴AD＝AP+PD＝AC+EC，故答案为：EC．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．23．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP＝AD时（如图②）：∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S△ABC；（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．．【分析】（2）仿照（1）的方法，只需把换为；（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；（5）利用（4），得到更普遍的规律．解：（2）∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC（3）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；（4）S△PB