选修42矩阵与变换习题

42第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。二阶矩阵1.①

)，将P的坐标排成一列，并简记为2y3) —3 2—3

2 3

3O 2 x —②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初 复 80 90赛 赛 甲 80 乙 86 ③

86 882 3 m概念一：

3 － 42

简记为2 2 3 m象 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母 A、3

3 2 4B、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍： 2×12×2（）2×3行的个数在前。②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为 A＝B。[a11a

]（仅有一行）12④列矩阵：1（仅有一列）a 21⑤向量 ＝（y），平面上的点 P（y）都可以看成行矩阵 或列矩阵 ，在本书中所有的平面向量均写成列向量 的形式。 练习 1：已知 , ，若 ，试求设 ， ，若 B，求 n的值。概念二： 1/1842由 4个数 排成的正方形数表 称为二阶矩阵。称为矩阵的元素。矩阵元素为 0，即 为 0。二阶矩阵： 为 E.2二、二阶矩阵与平面向量的乘法a b

a b

x：二阶矩阵 A=c d量 的为 即 ＝c d

y＝ 练习 2：1.（1） ＝（2） ＝ 2. = x y 三、二阶矩阵与线性变换旋转变换1:P（x,y）180oP(x,y),PP在此旋转变换作用下的象。其x结果为 ，也可以表示为 ，即 ＝

y

＝ 怎么算出来？ 2.P（x,y）30oP(x,y),试完P旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.30o问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转 角，其结果又如何？反射变换定义：把平面上任意一点P对点P关于直线l的反射。研究：P（x,y）关于x反射变换下象P(x,y)坐标公式与伸缩变换定义：将每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的 倍，（k、k均不为 0），这样1 2的几何变换为伸缩变换。试分别研究以下问题：①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的 2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.2/1842②.将每个点的横坐标变为原来的k倍，纵坐标变为原来的k倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩1 2阵.投影变换定义：将平面上每个点P对应到它在直线l上的投影P’（即垂足），这个变换称为关于直线l的投影变换。研究：P（x,y）在x轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。切变变换定义：将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移 个单位，称为平行于x轴的切变变换。每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移 个单位，称为平行于y轴的切变变换。研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。练习：P 1.2.3.410四、简单应用1.设矩阵A= ，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。练习：P 1.2.3.4.513【第一讲.作业】x120o的旋转变换对应的二阶矩阵是如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是平面内的一种线性变换使抛物线 的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是平面上一点AxAA180o，得到点1 1A，若存在一种反射变换同样可以使A变为A，则该反射变换对应的二阶矩阵是2 26.P（1，2）经过平行于yP(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为1设 ， ，且A=B.则x＝在平面直角坐标系中，关于直线y=-x在矩阵 对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为已知点A（2，－1），B（－2，3），则向量 在矩阵 对应的线性变换下得到的向量坐标为平行的单位向量，则 向量a在矩阵 的作用下变为与向量 平行的单位向量，则 3/18已知 ，

42 a＝ ， ＝ ，设 ， ，①求 A ， ； 1 已知 ， a＝

， b＝ ，若 与 的夹角为 5o，求 x. 一种线性变换对应的矩阵为 。①若点 A在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电 A的坐标；②解释该线性变换的几何意义。 在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为 。求①点 A（1/5,）在该变换 作用下的像；②圆 上任意一点 在该变换作用下的像。 答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7－1 8.9（0，5） 10.（2，8） 11. ， 12. 、13ｘ＝2/314.(5,y)15. ,第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法一、 数乘平面向量与平面向量的加法运算 1数乘平面向量：设 x， 是任意一个实数， 2.平面向量的加法：设 ， ，则 性质 1：设 A是一个二阶矩阵， 是平面上的任意两个向量， 是任意一个实数，则①数乘结合律： ；②分配律：【探究 1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。 二、直线在线性变换下的图形研究 分别在以下变换下的像所形成的图形。 4/1842④特别地：直线x=a关于x轴的投影变换？性质 2：成 .（证明见课本P19）三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。1 00 ① 恒等变换： 0 【练习：P27】【应用】试研究函数 在旋转变换 作用下得到的新曲线的方程。四、复合变换与二阶矩阵的乘法5/18 x

42 3 12 2

1 2研究任意向量

y先在旋转变换 ：

作用，再经过切变变换 ：1 3

0 1作用的向 2 2量 y'二阶矩阵的乘积 定义：设矩阵 ＝ ，B＝ ，则 A与 B的乘积 a ba bB＝

1 1

2 2＝c d c d1 1 2 2【应用】计算

＝2＝ ，＝ ，求 AB0 求 在经过切变变换 ：A= ，及切变变换 ：B=1 2两次变换后0 设压缩变换 ：＝ ，旋转变换 ：B＝ ，将两个变换进行复合

R ，①求向 90o量 在复合变换下的像；②求x在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变 什么图形？

3 12 2

1 2试研究椭圆 ①伸缩变换： ②旋转变换： ；③切变变换： ；1 3 0 1 1 0

1 0

2 2④反射变换： 0 ；⑤投影变换： 0 0五种变换作用下的新曲线方程。 进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。 【练习：P35】【第二讲.作业】A.B.C.D.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ）A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换 在切变变换 ：

1 0作用下，直线 变为 2 1 6/1842在 ＝ 作用下，直线 l变为 ,则直线 l为在

1 0 1 0对应的线性边变换作用下，椭圆 变 已知平面内矩形区域为 （0≤x≤0≤x≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形 1 2区域，则该线性变换对应的矩阵为 y将椭圆 x2 1绕原点顺时针旋转 45后得到新的椭圆方程yｏ3 4在 对应的线性边变换作用下，圆 )2)21变为 计算： ① ＝② ＝1

2 1③ 1

1

1 1＝ 向量 经过 和 两次变换后得到的向量为 向量 先逆时针旋转 5o，再顺时针旋转 5o得到的向量为 函数 的图像经过 的伸缩变换，和 1 0的反射变换后的函数是 0 1 椭圆 先后经过反射变换 和伸缩变换 后得到的曲线方程为 1 已知Ｍ＝ 2 1，且ＭＮ＝ ，求矩阵1 分别求出在 、

0.5 0、

1 0对应的线性边变换作用下，椭圆 变换后的方 0 1 0 0程，并作出图形。

函数

1先后经过怎样的变换可以得到 ？写出相应的矩阵。 x答案：1Ａ 2.=-13.3-+3=04.=-x5. 6. 7.y=（－2≤0） 8. 、 、 9. 10. 11.7/1842. . (－2≤x≤)、(－2≤x≤)、

x2y21

15.＝第三讲 矩阵乘法的性质逆变换逆矩阵二、 矩阵乘法的性质设Ａ＝ ，Ｂ＝ ，Ｃ＝ 由 A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换 律；③消去律。 结论：由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。 单位矩阵的性质 【应用】0 1 1.设Ａ＝ ，求Ａ1 2.【练习：P41】二、逆变换与逆矩阵1.逆变换：设 是一个线性变换，如果存在一个线性变换 ，使得 ＝ ＝ ，（ I是恒等变换）则称变换 可逆，其中 是 的逆变换。 2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得 BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中 Ｂ为Ａ的逆矩阵。 符号、记法： ，读作Ａ的逆。 【应用】301.试寻找Ｒ o的逆变换。 30【应用】A＝ ，问 A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 1。＝ ，问 A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 1。由以上两题，总结一般矩阵 A＝ 可逆的必要条件。 三、逆矩阵的性质1.二阶矩阵可逆的唯一性。8/18422.阵A、B均可逆，则 也可逆，且【练习：P50】【第三讲.作业】已知非零二阶矩阵A、B、C，下列结论正确的是 （ ）A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC则A=B D.若CA=CB则下列变换不存在逆变换的是 （ ）A.沿x轴方向，向y轴作投影变换。 B. 变换。 的切变变换。 D.以y轴为反射变换下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ）0 11 1 C. D.设A,B可逆，下列式子不正确的是 （ ）A. B.C.

(AB)1

B1A15. 2＝1 01 6. 1

1 10 0 7. ＝设 ， 量 为 再Ax10（3，2）（1，0），－1－1（1，0）1 阵1 设： ＝ （－2，3）在－11 113.A＝0 1

，则A1= △ABC点过1 1和1 0△ABC’,求 △ABC’面积 。

0 1 0 1 9/18421 32已知 A＝2

2 ，B＝3 1

2 0

，求圆

1在 变换作用下的图形。 2 2 已知 ，试分别计算： , , ,答案：5. 6. 7. 8. 、 1 0 0 1

.（3，2） . .（1，3） . 、 、 、第四讲 二阶行列式与逆矩阵逆矩阵与二元一次方程组一.二阶行列式与逆矩阵【概念】如果矩阵 A＝

a bc 是可逆的，则 c a 其中 称为二阶行列式，记作 ，即 c d式。符号记为： 或【可逆矩阵的充要条件】a b

＝ ， 也称为行列式

a b的展开 c d定理：二阶矩阵 A＝

可逆，当且仅当 c c

0.此时 （请同学一起证明此定理） 【应用】计算二阶行列式： ① ②判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。 ①A＝②B＝10/1842【练习：P55】二、二元一次方程组的矩阵形式二元一次方程组的矩阵形式一般的，方程组 可写成矩阵形式为：二元一次方程组的线性变换意义：

a b ，向量

、 ，则方程组

e：

x e＝c d

y

y

f 三矩阵二元一次方程组1.：

a b【定理】如果关于x,y元一次方程组cx

阵A＝ c c x e：

y＝

f a b】于二组 为解 ＝0c d【应用】1.用逆矩阵解二元一次方程组60页思考e

a bcx

阵A＝ c c 【练习：P61】【应用】 1.为何值时，二元一次方程组a b c d

x＝y

xy有非零解？ 三、三阶矩阵与三阶行列式三阶矩阵的形式三阶行列式的运算11/1842【第四讲.作业】矩阵 ＝

3 4

，则|A|= 矩阵 ＝ ，若 A是不可逆的，则 A＝ ，B＝ ，则(B)1＝A＝ ， ，若 A不可逆，则 ＝若关于 y的二元一次方程组 有非零解，则 m＝设二元一次方程组

xy ＝y

xy 没有非零解，则 m所有值的集合为y 向量 在旋转变换 R 的作用下变为 ，则向量＝60o若

xy＝

12，则x+＝ ＝ ，B＝ ，向量满足 ＝ ，则向量＝用逆矩阵的方法解方程组：① ②求下列未知的二阶矩阵X：① ②当何时

x＝x有非零解？yy yy 设 A＝ ，矩阵B满足 ＝ ，求矩阵B.12/1842答案：2. 3. 4. 5. 6.-33/4 7.8. 9－3 10. 11. x=k,y=3k 12. 、13.1或 4 14.第五讲 变换的不变量与特征向量一.特征值与特征向量【探究】计算下列结果： 1 0 0 1 ＝ 1 0 0 1 ＝ 以上的计算结果与 ， 的关系是怎样的？ 计算下列结果： 1

a0

0＝ 1

00

b＝ 以上的计算结果与 a， 0的关系是怎样的？ 0 b【定义】设矩阵 ＝值。

c da b，如果存在实数 及非零向量 ，使得 ，则称 是矩阵 A的一个特c d 是矩阵 A的属于特征值的一个特征向量。（结合探究 1、2说明，特征值与特征向量） 【定理1】如果是矩阵 A的属于特征值 的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵 A的属特征值 的特征向量。其几何意义是什么？ 【定理2】属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。13/18【应用】

42 3 12 2从几何角度解释旋转变换 的特征值与特征向量。1 32 2二、特征值与特征向量的计算2 21 1.设A＝ ，求A的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。1 【总结规律】a bc 一般的，矩阵A＝ 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法c 【应用】求A＝ 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。【练习：P70】【第五讲.作业】设反射变换 对应的矩阵为A，则下列不是A的特征向量的是（）A. B. C. D.下列说法错误的是 （）A一个A一个B.每个阶矩阵均有C.属于A不同一定不共线DA属于一个，则对任意k，kA属于设，分别是恒等变换与零变换的特征值＝1 2投影变换 的所有特征值组成的集合为a bc 矩阵 的特征c A二A2＝0A的特征值为若0是矩阵A＝ 的一个特征值，则A的属于0的特征向量为已知1、2是矩阵A＝ 的特征值，则＝12若向量 是矩阵 的一个特征向量，则m＝2 14/1842求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：① ② ③已知向量 是矩阵 的一个特征向量，求 m的值。 设 A＝ ，分别求满足下列条件的所有矩阵 A：① 是 A的属于 2的一个特征向量。② 12是 A的一个特征向量。 对任意实数 x，矩阵 总存在特征向量，求 m的取值范围。 4设 A是可逆的二阶矩阵，求证：① A的特征值一定不是 0；②若 是 A的特征值，则 /是 A－1的特征值。 .Ｄ .Ｂ .１ .｛0，1｝ . . .１ .① 或 ；② 或③ 或 .ｍ＝0.① ② .－3≤ｍ≤2 .①有特征多项式证明；② ， 得征。 第六讲 特征向量的应用一. 的简单表示 【探究1】关于 x轴的反射变换 的坐标公式为： 相应的二阶矩阵为 矩阵 A的特征值为： 对应于每个特征值的特征向量为： 15/1842试研究对特征向量作了 n次变换后的结果：设矩阵 ＝（ ）2

a b， 是矩阵 A的属于特征值的任意一个特征向量，则c dc d设探究 1中的两个特征向量为 、 ，因为这两个向量不共线，所以平面上任意一个向量 可以用、1

为基底表示为：2试研究 An的值。【性质1】设、是二阶矩阵 A的两个不同特征值，、 是矩阵 A的分别属于特征值、的特征向1 2 1 2 1 2量，对于平面上任意一个非零向量，设 ，则An＝【应用】【P7612】人口迁移问题课本 P73【第五讲.作业】求矩阵 A＝ 的特征值及其对应的所有特征向量。①设是矩阵 A的一个特征值，求证： 为 0或 1。

A2的一个特征值。②若 A2＝ 。求证 A的特征值设是矩阵 A的属于特征值的一个特征向量，求证：是量。

An的属于特征值 的一个特征向【4－2综合作业】一、选择题设矩阵 A＝ ，B＝ ，若 A＝B，则 x的值为（ ）A.3 B.9 C.-3 D.±30 1矩阵1 0的逆矩阵为 （ ） 0 1

1 0

1 0

0 1A.1 0

0 1

1

D.1 0