比较大小练习高中数学

高考中常见比较大小问题的分类例析一、指数式或对数式背景下的大小比较案例1.（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3））已知a=23,b=33,c=253，则（）A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<bTOC\o"1-5"\h\z案例2.（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3））已知a=2:，b=42，c=25：，则（ ）A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b案例3.（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设a=log32,b=log52,c=log234U（ ）A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b案例4.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标口））已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b案例5.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标口））设a=log32，2b=log3，c=工，则（ ）5 3A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b案例6.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标口））已知a=log0.2,b=2o.2,c=O.2o.3，则（ ）A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a案例7.（2018年全国卷口理数高考试题）设a=10go203，b=log20.3，则（ ）a+b<ab<a+b<ab<0C.a+b<0<abab<a+b<0D.ab<0<a+b【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幕函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幕函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决.二、等式背景下的大小比较案例8.（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设小歹、z为正数，且2x=3y=5「则（ ）B.5z<2x<3yD.3y<2x<5zAB.5z<2x<3yD.3y<2x<5zC.3y<5z<2x案例9.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标口））若2a+loga=4b+2logb，则( )D.a<b2A.a>2b B.a<2b C.aD.a<b2（2017山东）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A.1ba+-<—<

b2A.1ba+-<—<

b2alog(a+b)B.b—<2alog(a+b)Ca+—<log(a+b)<—b2 2aD．log(a+b)1b<a+—<—b2a三、不等背景下的大小比较案例10.（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）若a>b>0,0<c<1,则()A.logac<l0gbe B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb案例11.(2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学)若a>b>1,0<c<1，则ac<ac<bcabc<bacalogc<blogcd.logc<logc案例12.(2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标II))若a>b，则( )A.In(a—b)>0B.3a<3b C.a3—b3>0D.Ial>lbI案例13.(2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标口))若2x-2y<3T—3-y，则()A.ln(y-x+1)>0b,ln(y-x+1)<0c.lnIx-yl>0 d.lnIx-yl<0四、抽象函数背景下的大小比较

案例14.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标口））设fG）是定义域为R的偶函数，且在（0,〜）单调递减，则（r1、A.flog->fr1、A.flog->f2-

k34c、27r21>f2-3k7B.r11fr10g347>f2一3>f2r31C.f2-2k7r1>f2-3>flog-k34D.r1f2-3>f2-2>flog-k34c的大小关系为（案例15.（2017天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（c的大小关系为（a=g(-log25.1)，b=g(20.8，c=g(3)，则a，b，A.aA.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a案例16.（2015陕西）设f(x案例16.（2015陕西）设f(x)=Inx，0<a<ba+bq=f(—^-)，i ，r=-(f(a)+f(b))则下列关系式中正确的是（A.q=r<pB.q=r〉pC.p=r<qD.五、基本不等式背景下的大小比较案例17.(2020山东案例17.(2020山东11)已知a>0A.a2+b2>—2B.C.loga+logb>-2案例18.案例18.(2020上海13)下列不等式恒成立的是A.a2A.a2+b2<2ab b.a2+b2>-2ab c.a+b>-2r-ra/abD.a+b<2案例19.案例19.（2011陕西）设0<a<b，则下列不等式中正确的是（a<a<b<abb<a+"2a<-Jab<a+"<b2a a— a+bCa a— a+bC.a<abb<b< 2—:~r a+b,D.abb<a<<b2案例20案例20.（2011上海）若a,b€R且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（）一一一 ,_ 11 2ba_A.a2+b2>2ab B.a+b>2%：ab C.—+—>■D.—+—>2ababb ab六、数列背景下大小比较案例21.（2015浙江）已知｛a｝是等差数列，公差d不为零，前n项和是S.成等比数列，则（）A.A.ad>0,dS>0B.ad<0,dS<0C.C.ad>0,dS<0D.ad<0,dS>0案例案例22.（2015北京）设｛a｝是等差数列.下列结论中正确的是（）人.若a+a>0人.若a+a>0，B.C.若0<a<a，D.若a<0，则贝Ua+a<0(a-a)(a-a)>0反馈演练:反馈演练:1.(2020天津6)(1A-0.8=30.7,b=-V37,c=10g070.8，则a,b1.(2020天津6)(1A-0.8=30.7,b=-V37,c=10g070.8，则a,b,c的大小关系为（A.2.a<b<c(2016•新课标IC.b<c<aD.c<a<b理8)A.ac<bcB.abc<bac3.C.alogc<blog

(2016•新课标I,文8)D.logc<log4.5.A.logc<logcB.logca<logcb C.ac<bcD.ca>cb（2016年北京）已知%,y€R，且%>y>0，则（A.1-->0B.sin%-siny>0%y(2014山东)C.(-)%-D.In%+Iny>0则一定有（abAabA.—>一cdabD. <—dc6.（2014四川）已知实数％,6.（2014四川）已知实数％,y满足a%<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是（）1>%2+1 y2+1ln(%2+1)>ln(y2+1)sin%>siny%3>y3高考中常见比较大小问题的分类例析一、指数式或对数式背景下的大小比较案例1.（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3））已知a=23,b=33,c=253，贝"A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【答案】A【详解】因为a=2；=4；b=33,c=53，且幕函数y=X3在（0,+8）上单调递增，所以b<a<c.故选A.案例2.（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3））已知a=2:，b=45，c=253，贝"A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【答案】A【详解】因为a=2：=16：，b=45=165,c=253，因为幕函数y=X3在R上单调递增，所以a<c，因为指数函数y=16X在R上单调递增，所以b<a，即b<a<c.案例3.（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设a=log32,b=log52,c=log23，则A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【详解】：由题意可知：a=log32口（0，1），b=log52口（0，1），c=log23>1，

案例4.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标口））已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=1。8138,则（ ）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b【答案】A［里金］、［0f<1I21g5J（1g25J【分析】由题意可知［里金］、［0f<1I21g5J（1g25Ja二F二监幽<厂二.（止蹩］2b10g85lg5lg5（lg5>I2）7 4得8b=5，由55<84，得85b<84,，5b<4，可得b<5；4由c=log8，得13c=8，由134<85，得134<135c, 5c>4，可得c>-.13 5综上所述，a<b<c.故选：A.案例5.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标口））设a=10g32,2TOC\o"1-5"\h\zb=1og3,c=工，则（ ）5 3A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【答案】A7 1 1 2b=—1og337 1 1 2b=—1og33>310g25=3【分析】因为a=-1og23<-1og9=］=C,3 3 3 3 3故选：A.案例6.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标口））已知a=1og0.2,b=20.2,c=0.2o.3,则a<b<ca<a<b<ca<c<bc<a<bb<c<a【答案】B【分析】a=10g20.2<10gJ=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,a<c<b.故选B.案例7.（2018年全国卷口理数高考试题）设a=10go20.3,b=1og20.3，则A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b【答案】B【详解】求出a二log0，30-2,1二初。.32,得到>1的范围,进而可得结果.解答：...a=log0.3,b=log0.3・・.a=iog030.2,1:iog032,11 11 a+b,,,—I——log0.4，.二0< H—<1即0< <1,ab 0.3 ab ab又.a>0,b<0,,ab<a+b<0,故选B.【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幕函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幕函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决.二、等式背景下的大小比较案例8.(2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标1卷))设小歹、z为正数，且2x―3y―5「贝UA.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【答案】D【解析】令2x—3y—5z—k(k>1)，则x—10g2k,y—log3k，z—log5k口2x=组k.里=吧>1，则2x>3y,3ylg23lgklg8'人」)'2x2lg2x2lgklg5lg25 =

5zlg25lgklg32<1，则2x<5z，故选D.案例9.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标口））若2a+loga=4b+2logb，则( )a>2ba>2ba<2ba>b2a<b2【答案】B【分析】设f（x）=2x+logx，则f（x）为增函数，因为22a+loga=4b+2logb=22b+logb所以f(a)一f(2b)=2a+loga一(22b+log2b)=22b+logb一(22b+log2b)=log21=-1<0,所以f(a)<f(2b)，所以a<2b.f(a)-f(b2)=2a+loga-(2b2+logb2)=22b+logb-(2b2+logb2)=当b=1时，f(a)-f(b2)=2>0，此时f(a)>f(b2)，有当b=1时，所以C、D错误.f(a)-f(b2)=-1<0，此时f(a)<f(b2)所以C、D错误.故选：B.4.（2017山东）若a>b>0，且ab=1,则下列不等式成立的是A.a+—<—<log(a+b)

b2a 2CaCa+—<log(a+b)<—b2 2aDlog(a+b)<a+—<—2 b2a【答案】B【解析】解法一：取a【解析】解法一：取a=2,b=11-8

=1一2一2log(a+b)=log4=2，所以b-<TOC\o"1-5"\h\zlog(a+b)<a+log(a+b)=log4=2，所以b-<b- 1解法二：由题意a>1,0<b<1,所以一<1,a+-=a+a=2a>2，又a+b>1,2a b所以(a+b)2>(a+b)，所以2>log(a+b)2>log(a+b)>log2X:ab=1,故2 2 2—<log(a+b)<a+-,选B.2a 2 b三、不等背景下的大小比较案例10.（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）若a>b>0,0<c<1,则A.logac<l0gbe B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb【答案】B11gc11gc【详解】对于选项A,10gc= Jog—= ,Y0<C<1,，1gc<0，而algablgba>b>0，所以1ga>1gb，但不能确定1ga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定;对于lgalgb 1,、一,，一、选项B，logca=嬴Jogb=嬴Jga>lgb，两边同乘以一个负数嬴改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C,利用J=xc在第一象限内是增函数即可得到ac>bc,所以C错误;对于选项D,利用J=cx在R上为减函数易得ca<cb，所以D错误.所以本题选B.案例11.(2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学)若a>b>1,0<c<1,则A. ac <bcB. abc< bac C. alogbe <bloga。 d. 10ga。<logbe【答案】C【详解】ab lgaa—lgbb、alogc—blogc=lgc•( - )=lgc-( ),,.<a>b>1「.1<bb<ab<aab a- lgblga 〜 lgblgalgaa—lgbb・ …I>0,--0<c<1，1gc<0alogc<blogc选项C正确，故选C.lgblga ba

案例12.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II））若。〉匕，贝1（ ）A.ln（a-/?）>0 B.3a<3。 C.g—~3>0D.\a\>\b\【答案】C【分析】取。=2力=1,满足。>人ln（a—0）=O,知A错,排除A；因为9=3。〉3b=3,知B错，排除B；取。=1力二一2,满足1=同<例=2,知D错，排除D,因为幕函数>=贫是增函数，a>b,所以。3>加，故选C・案例13.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标口））若2x-2y<3r-3-y,则（）A.ln（y—x+l）〉0b.ln（y—x+l）<0c,lnlx-yl>0D.lnlx-jl<0【答案】A【分析】由2x-2y<3-x-3-y得：2x—3-x<2y—3-y,令/Q）=2—3工•「y=2工为R上的增函数，y=3-x为尺上的减函数，/./O）为H上的增函数，•••x<y,\-y-x>0,:.y-x+l>l,/.ln（j-x+l）>0,则A正确,B错误;与i的大小不确定，故cd无法确定.故选：A.四、抽象函数背景下的大小比较案例14.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标口））设/G）是定义域为火的偶函数，且在（°，+°°）单调递减，则(2、>/2-3I)(1B./log3-(1B./log3-(2、>f2-3I)(Q>f2-2I)22>f2-3kJ(3)>f2-2(3)>f2-2kJD.f2-3kJ【答案】C【分析】♦:f(x)是R的偶函数，・・・f(10g34J=f(1og34).2 3 2 3・・・1044>10g33=1,1=20>2-3>2—2,1og34>2-3>2-2，又f(x)在(0,+8)单调递减，fG0gfG0g34)<f(2)2-3k<f2-2(3(31：,f2-2

kJ>f2-3/ 11>f10g7，故选C.k34J案例15.(2017天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-10g25.1),b=g(20.8,c=g⑶，则a,b，c的大小关系为a<b<cc<b<ab<a<cb<c<a解析：由题意g(x)为偶函数，且在(0,+s)上单调递增，所以a=g(-10g25.1)=g(10g25.1)又2=10g24<10g25.1<10g28=3,1<20.8<2,所以20.8<10g25.1<3,故b<a<c,选c.案例16.(2015陕西)设f(x)=1nx,0<a<b，若p=f(\，ab),q=f(a^b),r=：(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q【答案】B【解析】0<a<b,a^-b>abb,又f(x)=1nx在(0,+oo)上单调递增，故J(7oF)</(^-^),即♦・•〃=：(/(〃)+/("))=J(ln〃+ln。)=lnV^=乙 乙 乙f(^ab)=p,:・p=丫<q.五、基本不等式背景下的大小比较案例17.(2020山东11)已知〃〉0，8>0,且。+8=1，贝U()A.^2+Z?2>— B.2a-b>—C.loga+logb>-2D.yfa<22 2 2 2【答案】ABD【思路〃导引】「根据"+b=l,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【解析】对于A,“2+拉=12+(1—=2〃2—2〃+1=2a-- 当且仅当I2J22=J时，等号成立，故A正确；对于B,a-b=2a-l>-l,所以TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"(a+b\2 1故B正确；对于C,log2a+log2b=log2ab<log^II=log^=-2J当且仅当\o"CurrentDocument"7 1〃时，等号成立，故c不正确；乙对于D,因为(石+而>=1+2，而41+〃+6=2,所以&+扬《冷，当且仅当7 1〃=/?=时，等号成立，故D正确，故选：A「BD.案例18.(2020上海13)下列不等式恒成立的是 ()A,a2+b2<2abb,+b^>-2abc,a+b>-2^ab\ D.a+b<2^\ab\【答案】B【解析】由基本不等式可知。22 ，故A不正确；Q2+/?22-2〃。=>〃2+/?2+2。/?20,即(〃+/?)2»。恒成立，故B正确；当〃=—1/=—1时，不等式不成立，故C不正确；当”=0力=-1时，不等式不成立，故D不正确，故选B.案例19.(2011陕西)设。<。<氏则下列不等式中正确的是A.a<b<-fab<a+ b,a<y[ab<a+2 2

C.a<C.a<7ab<b<a+b

"T"_ 一,a+b一7D.abb<a< <b2【答案】B【解析】(方法一)已知a<b和Jab<色芋，比较a与\；ab,因为.a2-(%a)2=a(a-b)<0，所以a<、Jab，同理由b2一(.Jab)2=b(b-a)>0得Cab<b；作差法：b-a^L=t_a>0,2 2所以a~b~<b，综上可得a<aab<—b<b；故选B.(方法二)取a=2,b=8,贝Uabb=4,a+>=5，所以a<abb<a十"<b.2 2案例20.(2011上海)若a,beR，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是A.a2+b2>2ab B.a+b>2\abC.—+->^=D.—+a>2ab.Jabab【答案】D【解析】对于A取a=b=1,此时a2+b2=2ab=2，因此A不正确；对于B取a=b二一1,此时a+b=-2<2ab=2，因止匕B不正确；对于C取a=b=-1,…11「2此时一+不一一2<.——2，因此C不正确；对于D,・ab>0,ababbb 丁b 丁b a、〜；b a ~—>0,—>0,；・—+—n21—=2,D正确.aa a b\a b六、数列背景下大小比较案例21.(2015浙江)已知｛aj是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3M4,a8成等比数列，则()A成等比数列，则()A,a1d>0,dS4>0C.ad>0,dS<0B.ad<0,dS<0D,a1d<0,dS4>0【答案】B【解析】由a3,a4,a8成等比数列可得：(aj3d”=(4+2d).([+72),即3彳+5d=0,所以a=--d，所以ad<0,又dS=("1+"4",d=2(2a+3d)d=--d2<0.1 3 1 4 2 1 3案例22.(2015北京)设3〃｝是等差数列.下列结论中正确的是A.若a案例22.(2015北京)设3〃｝是等差数列.下列结论中正确的是A.若a+a>0，则a+a>0则a2>yaaB.若a1+a<0，则a+a<0D.若a<0，则（a-a）（a一a）>0【答案】C【解析】若｛a〃｝是递减的等差数列，则选项A,B都不一定正确.若｛a〃｝为公差为0的等差数列，则选项D不正确.对于C选项，由条件可知｛a〃｝为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得a之二a+a a+a.二，由基本不等式得—aaa，所以C正确.2 2 '13反馈演练:（1、-0.81.（2020天津6）设a=30.7,b=— ,c=log0.8，则a,b,c的大小关系为（）13） 0.7A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b【答案】D【解析】由题知c=10g0P8<1,（1A-0.8b=- =30.8，易知函数y=3x在R上单3j j调递增，所以b=30.8>30.7=a>1,所以c<a<b，故选D.（2016•新课标I,理8）若a>b>1,0<c<1,则（ ）acac<bcC.alogc<blogcabc<bacD.logc<logc【答案】C【解析】•：a>b>1,0<c<1, 函数f(x)