2015高考数学考前10天必看

目录

一、考嗡颜侧篇

【高考命题猜想1】与圆相关的最值...........................................

【高考命题猜想2】几何体与球切、接的问题....................................

【高考命题猜想3】数列中的最值问题.........................................

二'力夸翡等篇

【高考指导篇11数学高考临场解题策略...........................................

【高考指导篇2】高考心态调整及应试策略.........................................

【高考指导篇3】数学答题的“偷分”技巧.........................................

【高考指导篇4】高考数学应试答题技巧...........................................

【高考指导篇5】高考数学答题策略与答题技巧......................................

【高考指导篇6］高考数学的阅卷流程和填图答题卡注意事项...........................

三、0由攵句闵读篇

【高考自由复习阅读1】活用构造法巧解最值题....................................

【高考自由复习阅读2】聚焦3的取值范围问题......................................

【高考自由复习阅读3】柯西不等式“多”证及高考中的应用...........................

【高考自由复习阅读4】2015年广东高考概率统计考前复习建议........................

【高考自由复习阅读5】2015年江苏高考数学试题特征、应试心态及解题策略之总结.........

与圆相关的最值问题

纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上，主要考查与圆相关的参

数范围问题和圆相关的长度或面枳的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化

归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模

糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形

成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问

题加以类型的总结和方法的探讨.

1.已知含参数直线与圆位置关系，求直线方程中参数取值范围问题

画出圆图像，利用直线过定点，结合图像即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆

的位置关系和点到直线的距离公司，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围.

【例1】若直线y=x+b与曲线y=3—有公共点,则b的取值范围是（）

A.[1-272,3]B.[1-V2,3]

C.[—1）1+2^2]D.[1--2-^2,1+2^2]

【分析】由题知曲线丁=3—保二且表示圆心在（2,3）,半径为2的圆的下半部分，y=x+b

表示斜率为1的平行线，其中b是直线在y轴上的截距，做出图形，结合图像即可确定

b满足的条件.

【解析】由题可知，y=3—"7二P"得（X—2）2+3—3）2=4（14^43）,它表示圆心在

（2,3）,半径为2的圆的下半部分，y=x+b表示斜率为1的平行线，其中b是直线在y

轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，由点到直线的距离公式可知，

【点评】对己知直线。圆或可化为圆的曲线的位置关系求参数范围问题，数形结合是寻找解

题思路的关键，要熟悉直线与圆的位置关系的判定，正确运用点到直线的距离公式.

2.已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题

作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆

的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关

方法求出参数的范围.

例2设点若在圆0:1+/=1上存在点N，使得NOMN=45。，则X。的取

值范围是（）

(A)[-1,-1](B)——(C)^—\/2,5/2J(D)V2也

【分析】作出图像，由图知，圆心0到直线ON的距离小于等于1,从而得出|。河区0,

列出关于看的不等式，即可解出与的范围.

【解析】依题意，M线MN与圆。有公共点即可，即圆心。到直线MN的距离小于等于1

即可，过。作CMJ.MN,垂足为A,在RtAOMA中，因为NOMA=45°,故

匹____

2

=|。叫sin45°=^-\OM\<1,所以\OM\<O,则Jx0+l<^2,解得

—14X。41.

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系及数形结合思想，解决本问题的关键是通过数

形结合找出点M满足的条件.

3.与距离有关的最值问题

在运动变化中，动点到直线、圆的.距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最

值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、

圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常

常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值

问题，利用函数求最值的方法求解，与圆有关的长度最值问题有以下题型：

①圆外一点4到圆上距离最近为-人最远为H(?|+r；

②过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；

③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d+r,最近为d-r；

④过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.

⑤圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利

用两点间距离公式转化二元函数的最值问题,利用消元法转化•元函数在某个区间上的最值

问题求解.

例3设P,0分别为f+（尸6）2=2和椭圆Q/=1上的点，则p,。两点间的最大距离

是（）

A.5V2B.V46+V2C.7+V20.672

【分析】依题意尸,0两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆

的半径0,再利用两点间距离公式和消元法转化为函数最值问题，即可求出最值.

【解析】依题意P,0两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上；

圆的半径V2.设Q（x/）.圆心到椭圆的最大距离

d=+（k6）2=J-9、2-i2y+46=J—9（X+|）2+50K50.所以P,0两点间的

最大距离是6J5.故选D.

【点评】对于与圆有关的长度最值问题，要掌握相关题型与转化方法，利用几何法或函数法

求出最值.

4.与面积相关的最值问题

与圆的面积的最值问题，•般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者儿何图形的关系,

借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用

数形结合思想求解

例4动圆C经过点尸（1,0）,并且与直线x=-l相切，若动圆C与直线y=x+2亚+1总有

公共点，则圆C的面积（）

A.有最大值8乃B.有最小值2万C.有最小值3乃D.有最小值4乃

【分析】设出动圆圆心坐标与半径，根据条件找出半径与圆心满足的关系式，利用动圆C

与直线y=x+2&+l总有公共点，列出某个量的不等式，求出其取值范围，从而求出圆

的半径的取值范围,作出正确选择..

【解析】设圆心为（。,6）,半径为r,r=|CF|=|a+l|,即（a-lf+/=g+ip,即

...圆心为（!〃力），尸=工〃+i,圆心到直线丁=》+26+1的距离为

444

|——b+2V2+1112

d=-^----尸------4幺+1,.•.64一2（2血+3）或622,当6=2时，

V24

1,

^in=-x4+l=2.：.Smin=7rr=4不，

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、转化与化归思想及运算求解能力，转化与化归

思想是解题的关键.

5.圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题

本类问题有三种解题思路，思路1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解

题；思路2：设所给式子等于z,代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参

数的范围；思路3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最

值，注意留下变量的范围.

例5实数x、y满足3/+2/=6》，则GT齐的最大值为

【分析】ylx2+y2表示曲线3x2+2/=6x上点到坐标原点距离，故可用消元法化为关

于y的函数，再求最值.

【解析】由题：/=3X--X2>0,.-.0<X<2,因此

2

x2+y2-3x-—x2=（x-3）2+—,

222

所以当x=2时，V+y2取得最大值4,故&+/=2.

【点评】本题考查了消元法及函数的最值的求法，要掌握本类试题中一些式子的儿何意义，

如（X—4）2+07—6）2发小|11|线匕点（XJ）与点（0/,）之间距离的平方；匕表小曲线I-.,',

x-a

（xj）V点（。力）连线的斜率；z=4x+劭注意将白线z=小+为在坐标轴上的截距与

z联系起来解题.

综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最

值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值求解.

几何体与球切、接的问题

纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.

高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才

能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼

的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和

套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.下面结合近几年高考题对球与几何体的切接

问题作深入的探究，以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容

不失分.从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见.

首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的

内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多

面体，这个球是这个多面体的内切球.

1球与柱体的切接

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形

态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关

问题.

1.1球与正方体

如图所示，正方体设正方体的棱长为a,E,F,H,G为棱的中点、,O

为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFG”和

其内切圆，则二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFG"和其外

接圆，则|GO|=R=半。；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形/C4c和其外接

巧

圆，则|4。|=*=三。.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工

具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确

定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

（1）正方体的内切球，如图1.位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中

心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为“，球的半径为厂，这时有2r=a.

（2）正方体的外接球，如图2.位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中

心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为。，球的半径为r,这时有2r=扃.

密2

(3)正方体的棱切球，如图3.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与

球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a,球的半径为厂，这时有=

例1棱长为1的正方体N8CD-4AGA的8个顶点都在球。的表面上，E,尸分别是

棱。。的中点，则直线所被球。截得的线段长为()

A.—B.1C.1+—D.V2

22

思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径

R=吧=~,得知直线EF被球0截得的线段就是球的截面圆的直径.

22

【解析】由题意可知，球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径

R=亨=¥，：EFu面.,・直线比'被球。截得的线段为球的截面圆的直径

27?=V2.

点评：本题考查球与正方体“接”的问题，利用球的截面性质，转化成为求球的截面圆直径.

1.2球与长方体

例2自半径为火的球面上一点四，引球的三条两两垂直的弦M3,MC,求

M42+MB2+同。2的值.

思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导

学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联.

【解析】以朋4M5,MC为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成••个长方

体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的

直径.

MA2+MB2+MC2=（2R）2=4R2.

点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体儿何中体积计算..

例3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.

A.16兀B.20乃C.24%D.32乃

思路分析:正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,

可得长方体的长、宽、高分别为2,2,4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.

【解析】正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,

因此，长方体的长、宽、高分别为2,2,4,因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好

为球的直径.长方体体对角线长为2瓜,故球的表面积为247r.故选C.

点评：本题考查球与长方体“接”的问题，利用长方体的性质，转化成为求其体对角线.

2球与锥体的切接

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些极锥等能够和球进行充分的组合，以外接和

内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或

者表面积等相关问题.

2.1正四面体与球的切接问题

（1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面

体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a,高为〃；球的半径为R,这时有4火="=1。；（可

3

以利用体积桥证明）

（2）正四面体的外接球，如图5.位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四

面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为。，高为〃：球的半径为及，这

时有4R=36=6；（可用正四面体高h减去内切球的半径得到）

（3）正四面体的棱切球，如图6.位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的

中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为。，高为〃；球的半径为R,这时有

47?=A/3/Z=\[2a,h=a.

3

A

F>

I

•D

B/E

C

图6

例4设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面

积之比及体积之比.

思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两

个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的.

【解析】如图，正四面体Z8CD的中心为。，ABC。的中心为J,则第一个球半径为正

四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离.

设=正四面体的一个面的面积为S.

依题意得匕一BO=g义氏+尸），又匕-BCD=4%一88=4x.S

/.R+尸=4尸即R=3尸.

43

g,内切球的表面积4"21内切球的体积3m,1

所以----------------=------=----------------=-.....=---

外接球的表面积4成29■外接球的体积427-

—71K3

3

点评：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合

的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径〃=｝力（人为正四面体的高），且外接

球的半径火=3r.

2.2其它棱锥与球的切接问题

球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球

面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如

正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径火.这

样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥

的体积和为正三棱锥的体积.

球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等

进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，

巧定球心位置.

例5正三棱锥的高为1,底面边长为2J&,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的

表面积与体积.

思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法

可得：VP_ABC=V0_PAB+VO_PAC+VO_PBC+VO_ABC,得到R==C—2・

【解析】如图，球O是正三棱锥P-ABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的

是正三棱锥的高，即P〃=l.是8c边中点，H在AE上,

MBC的边长为2痛，：.HE=±-x2R=垃.:.PE=6

6

可以得到S,PAB=S&PAC=S"BC=；BC-PE=3叵.SMBC=*2府=6百

由等体积法，^P-ABC=^O-PAB+—O-PAC+^O-PBC+^O-ABC

iiio/a

.•.-X6GX1=_X3近xHx3+-x6百xE得：R==屉一2,

3332V3+3

...S球=4成2=4^（76-2）2=8（5-2峋4.二%=g成3=g兀函-2）3.

点评：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径

R来求出H,以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法.

例6若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为V3,则其外接球的表面积是.

思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球

的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想

到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.

【解析】此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的

半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快

联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图

1,则AC=BC=CD=JJ,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表

面积是9万.（如图1）

点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这

是解决儿何体与球切接问题常用的方法.

例7已知三棱锥S-Z8C的所有顶点都在球。的球面上，A/BC是边长为1的正三角形,

SC是球。的直径，且SC=2；则此棱铢的体积为（）

V2V3V2V2

A.-----B.----C.-----D.-----

6632

思路分析：△/BC的外接圆是球面的•个小圆，由已知可得其半径，从而得到点。到面

ABC的距离.由SC为球0的直径n点S到面ABC的距离即可求得棱锥的体积.

【解析】ZU8C的外接圆半径为r=』3,点。到面/8C的距离d=J火2一产=在SC

33

为球。的直径=＞点S到面Z8C的距离2d=此棱锥的体积为

3

_l,_1V3276_V2

r%z=Qx20d=^x7x-y-=不，选ZA.

点评：本题难度不大，主要是利用转化与化归思想，将棱锥高应用球的几何性质计算得到.

3球与球相切问题

对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个

小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.

例8已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都

相外切，则此球的半径为.

思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4.

设AB中点为E、CD中点为F,连结EF.在aABF中可得BE=而,在aEBF中可得EF=273.

由于对称性可得第五个球的球心。在EF匕连结0A,01).设第五个球的半径为r,根据OE+OF=EF

建立厂的方程.

【解析】如图:设四个球的球心分别为球B、C、D,则AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4.设AB

中点为E、CD中点为F,连结EF.在AABF中求得BF=0I,在AEBF中求得EF=21i.

由于对称性可得第五个球的球心0在EF上，连结OA、0D.设第五个球的半径为r,贝ij0A=r+3,

0D=r+2,于是OE=J(r+3)2-32=J)+6/,0F=^(r+2)2-22=Vr2+4r,：OE+OF=EF

Vr2+6r+Vr2+4r=2V3nJ/+6F=2JJ-J/+4》平方整理再平方得

11r+60尸一36=0解得r=9或—6(舍掉)，故答案为9.

1111

D

点评：本题通过分析球心的位置，根据它们构成的几何体特征，转化成平面几何中三角形边

角关系，利用方程思想得解.

例9把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四

个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离.

思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定

组成正四面体的四个顶点且正四面体的楂长为两球半径之和2.

【解析】四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高

人"Q母)考.

而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1,且三个球心到桌面的距离都为1,

2

故第四个球的最高点与桌面的距离为2+上.

3

点评：本题难度不大，主要是利用转化与化归思想，将棱锥高应用球的几何性质计算得到.

4球与几何体的各条棱相切问题

球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为

H的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相

5

对棱的一半：r'=—a.

4

例10把一个皮球放入如图10所示的山8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使

皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为()

A.10V3cmB.10cm

D.30cm

思路分析：根据题意球心O在图中AP上，过O作BP的垂线ON垂足为N,ON=R,OM=R,

由各个棱都为20,得到AM=10,BP=20,BM=10,AB=10JI,设N8PZ=a,在用ABPM

中，由BP?=8加2+0加2,得尸加=10百在R/APAM中，由PM?=z〃2+/p2,得

=.在R/AABP中得，sma=—=^^=—,在R/AONP中得，

BP202

sina="=①，从而△="，。。=7^?.在7?/40人乂中，由。河？=力。2十人”2

OPOPOP2

建立方程火2=（10行一及R）2+100即可得解.

【解析】如图所示，由题意球心在AP上，球心为O,过O作BP的

垂线ON垂足为N,ON=R,OM=R,因为各个棱都为20,所以

AM=10,BP=20,BM=10,AB=10VIZBPA=a,

在R/ABPM中，6P2=8v2+pM2,所以pA/=]oG.在R/△PAM中,

PA/?+/尸2,所以&=iog'.在RJAABP中，sina==12—?.=—,在

BP202

R/AONP中，$由。="=2-,所以£="，所以OP=JI/?.在R/AOAM中,

OPOPOP2

。/2=4。2+4河2,所以，夫2=（1。底一后R）2+IO0,解得，R=］（）或30（舍），所以,

R=Wcm,故选B.

点评：本题难度较大，主要是利用转化与化归思想，将问题转化成平面儿何问题，应用三角

形中的边角关系，建立R的方程.

5球与旋转体切接问题

首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与儿何体几何元素之间的关系.

例11求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.

思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与

几何体之间元素的关系.

【解析】如图，等边AS/8为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形GCQQi，截球面得球

的大圆圆

设球的半径OQ=R,则它的外切圆柱的高为27?,底面半径为H；

OB=O。cot30。=6R，SO=08.tan60。=cR忑=3R,

...喂=：成3,嗫=成2.2火=2成3,%=；万.(ViR)2.3R=3成3,

•••匕求：％：/「=4：6：9・

点评：本题充分利用轴截面，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立

与球半径尺的联系.

例12在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和;

(2)球的半径为多少时，两球体积之和最小.

思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生•般知道作对角面，而两个球

的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在

图中，观察火与厂和棱长间的关系即可.

【解析】如图，球心Q和4在4c上，过分别作的垂线交于E,尸.

则由ZB=1,AC=K得NO】=岛,CO]=y/3R.

百

f+H+V3(r+R)—V3<:.R+r=

73+1

(1)设两球体积之和为厂,

44

则JZ=§乃+/)=§](/+R)(R2_Rr+/)

_43V3r、2.143V3P.373,2.,3A/3/

=[(火D+r)-3r7D?]=(—：-)一3HD(-^RD)

J乙J乙乙乙

&耳心生旦+(匕跖

3222

当火=三回时，P有最小值..•.当7?=尸=三8时，体积之和有最小值.

44

点评：本题充分利用轴截面，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立

与球半径尸,R的联系，将球的体积之和用厂或R表示，应用：次函数的图象和性质确定其

最小值.本题综合性较强，是函数与立体几何相结合的典例.

综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要

找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多血体，则作截面时主要抓住多面体过球心的

对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键

是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助

于数形结合进行转化，问题即可得解.如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可

以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不

一，在复习中切忌好高鹫远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实

题目的类型，升华解题的境界.

数列中的最值问题

纵观近几年高考对于数列的的考查，重点放在数列中的最值问题上，主要考查等差数列

前n项和的最值问题、数列的最值问题、数列前n项和的最值问题及与之相关的不等式证明

和取值范围问题.要求学生有较强的转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实

际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题

目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便

产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.

1.等差数列中的最值问题

求等差数列前n项和的最值问题的方法：

①二次函数法：将S“看成关于n的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合

思想，使问题得到解决，注意项数n是正整数这一条件.

②通项公式法：求使。“与0（a“WO）成立的最大n值，即可求出S“的最大值（或最小值）.

③不等式法：借助邑取最大值时，有《"一解此不等式组确定n的范

围，进而确定n的值和对应的值（即为的最值）.

例1已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，%+%+《0=9,凡一S3=77，则使S”取得最小

值时〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】先由题中条件求出首项与公差，写出通项公式，求出为负值的项数，即可求出使S.

取得最小值时〃的值.

(q+3d)+(q+6d)+(q+9d)=9

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,由题意得：,14x13(3x2、一

]4q~\---——d-13(7)4—-—dI—77

a——911

解方程组得：1-,所以勺令q,40得：n<—

d-22

即当"45时，为<0,即当〃26时，%>0,所以使S,取得最小值时〃的值为5.故选B.

【点评】等差数列前n项和的最值问题是高考考查的重点与热点，这类问题求法有：二次函

数法、通项公式法、不等式法，要掌握之.

2.数列｛%｝的最值问题

求数列｛2｝的最值，主要有两种方法：①从函数角度考虑，利用函数y=/(x)的性质，求

数列4=/(〃)的最值；②利用数列离散的特点，考察为”“小或[《"4句，然后判断

ak»ak-\

数列｛%｝的最值情况.

ssS

例2已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”且满足517>0尚8<0,则」,二「一,上中最大

GIacit

的项为()

SS]ss

A.-6B.—.C.—8D.—v

«6tt148«9

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质及已知条件判断出该数列正负项转换点，判断出前n项和正负

变化情况，从而的出一•，…,一工中最大的项.

【解析】•••等差数列｛小｝中,517>0,518<0即S『17a9>0,Slg=9(a10+a9)<0

，aio+a9<O,a9>0,...aioVO,.•.等差数列｛am为递减数列，

故可知a”a?，…，刖为正,3]o>a”…为负；SpS2，…,Sq为正,S®S19，…为负，

&<0,&<0,…之<0,

乂S]<S2<­••<S9,a]>a2>•••>a9,-―^,…,一区中最大的项为——

a}a247

故选D.

【点评】对数列的最值问题，因其是特殊函数，故可以用函数法求最值，要特别别注意定义

域为整数，也可以用不等式法求最值.

3.数列｛%｝的前n项和的最值问题

求数列｛%｝的前〃项和S”的最值，主要是两种思路：①研究数列明=/（〃）的项的情

况，判断S,,的最值；②直接研究5“的通项公式，利用函数求最值的方法求S“的最值.

例3已知数列｛%｝是公比不为1的等比数列，a,=1,且％,外,%成等差数列.

（I）求数列｛*｝的通项；

（H）若数列｛。“｝的前〃项和为s“,试求s„的最大值.

【答案】（I）4=（一］）”';（II）1.

【分析】（I）先由条件求出数列｛%｝的公比，即可写出其通项公式；（II）写出数列｛%｝的

前n项和公式再利用函数法求最大值.

【解析】（I）设｛q｝的公比为q,因为外,%，%成等差数列，所以2%=4+生，

因为4=1,所以2/=l+q,因为qHl,所以

1八

q=---,...............................3分

2

当〃奇数时，5“=[(1+*)<1,当且仅当“=1时等号成立。.........................13

分

综上所述，S”的最大值为1.......................14分

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、函数与方程思想，对数列的最值

问题可以因为数列可以看成关于n的函数，故可以用函数法求最值.

4.数列与不等式结合

数列与不等式的结合问题，有两类问题，•类是，对数列不等式恒成立问题，另一类是，

不等式成立问题，这两类问题的求解方法主要有两种方法：①通过参变分离法转化为数列的

最值问题求解；②通过分类讨论，解决恒成立.

例4已知等比数列｛/｝满足：4+%+%=28,且%+2是。2，%的等差中项.

(I)求数列｛/｝的通项公式；

(II)若数列｛aj是单调递增的，令“=*log】an,S“=b\+b2++b„,求使

2

S“+〃-2*>50成立的正整数〃的最小值.

【答案】(I)勺=2"或。“=止；(II)5»

【分析】(I)用基本量法，即用外均表示12知条件，列出方程，解之即可；

(II)先根据数列单调性确定数列为%=2”,从而求出数列｛%｝的通项公式，用错位相减

法求5„,列出不等式可求n的最小值.

【解析】(I)设等比数列｛%｝的首项为％,公比为/

依题意，有2(%+2)=%+4，代入。2+/+。4=28,可得生=8，2分

2

a}q=8,解之得：q=2,

/.%+。4=20,或，"2'4分

%q+%q320,

=32.

ct—2,n——

当「时，4=2"；当"2时,1

4=2”一2"-6

11［弓=32.

二数列｛q｝的通项公式为%=2"或%=，二.6分

(II)♦.•等比数列｛a,,)是单调递增的，；.%=2",bn=2"log,T=-n-T,

2

5„=-(lx2+2x22+---+tt-2n)(3)8^

25„=-[lx22+2x23+---+(/7-l)-2n+»-2n+,]©由③一④，得

5,,=2+22+23+―+2"-小2"+|=2'川一2-〃-2用.10分

n+l

Sn+n-2>50即2"M-2>50,即2向>52.

易知：当〃W4时，2""W25=32<52,当〃25时，2旬?2$=64>52

故使S"+”-2"M>50成立的正整数〃的最小值为5.12分

【点评】本题考查「等比数列数列通项公式、等差中项的概念、错位相减法等数列知识，考

查不等式成立问题的解法，是中档试题.

数学高考临场解题策略

高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重

要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考数学的重要内容之一，

正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误

及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成

绩。

一、调理大脑思绪，提前进入数学情境

考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于''空白”状态，创设数学情境，进而酝酿

数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和

自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强

信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

二、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场

集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极

思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面,

形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神

良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，

不要急于求成、立即下手解题，而应通览遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟

题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很

快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正

激励，稳拿中低，见机攀高。

四、“六先六后”，因人因卷制宜

在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一大脑趋于亢

奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了。这时，考生可依自己的解题

习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。就是先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题

目，从易到难，也要注意认真对待每•道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解

题情绪。

2.先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后

者，不要惊慌失措。应想到试题偏难对所有考生也难。通过这种暗示，确保情绪稳定。对全

卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较

熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，

达到拿下中高档题目的目的。

3.先同后异，就是说，先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较

容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先

同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。

4.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大

题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础。

5.先点后面，近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一

气审到底,应走一步解决一步,而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件,

所以要步步为营，由点到面。

6.先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高

分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。

五、一“慢”一“快”，相得益彰

有些考生只知道考场匕一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲

速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题

是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，

综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思

路一旦形成，则可尽量快速完成。

六、确保运算准确，立足一次成功

数学高考题的容量在120分钟时间内完成大小22个题，时间很紧张，不允许做大量细

致的解后检验，所以要尽量准确运算（关键步骤，力求准确，宁慢勿快），立足一次成功。解

题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且

从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，

步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可

兼得的说，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。

七、讲求规范书写，力争既对又全

考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对、对且全，全而规范。

会而不对，令人惋惜;对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷

非智力因素失分的一大方面。因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老

师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光

环效应”。“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。

八、面对难题，讲究策略，争取得分

会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如

何分段得分。下面有两种常用方法。

1.缺步解答。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一

个个子问题或•系列的步骤，先解决问题的•部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度,

能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号

语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正

确画出图形等，都能得分。还有象完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证法的简单情形

等，都能得分。而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产

生顿悟，形成思路，获得解题成功。

2.跳步解答。解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到

正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对,

立即改变方向，寻找它途;如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因

时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底;另

外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。

也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了

中间难点，可在相应题尾补上。

九、以退求进，立足特殊，发散一般

对于一个较..般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊（如用特殊

法解选择题），化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等

等。总之，退到一个你能够解决的程度上，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到

对“一般”的解决。

十、执果索因，逆向思考，正难则反

对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能

得到突破性的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。如用分析法，从肯定结论

或中间步骤入手，找充分条件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。

十一、回避结论的肯定与否定，解决探索性问题

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合

所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

十二、应用性问题思路：面一点一线

解决应