试验五连续系统频域分析

实验五 连续系统频域分析实验目的掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义。掌握利用MATLAB计算系统频率响应特性及曲线绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用。掌握利用MATLAB进行系统频响特性分析的方法。实验原理及方法2.1连续时间LTI系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应，是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。图5-1LTI系统的时域及频域分析图图5-1中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：y(t)x(t)*h(t)，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：Y(j)X(j)H(j)3.1或者：Y(j)5-1H(j))X(jH(j)为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即：H(j)h(t)ejtdt5-2由于H(j)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积的话，那么H(j)一定存在，而且H(j)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：H(j)H(j)ej()5-3上式中，H(j)称为幅度频率响应，反映信号经过系统后，信号各频率分量的幅度发1生变化的情况； ( )称为相位频率响应，反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变化的情况。 H(j )和 ( )都是频率 的函数。对于一个系统，其频率响应为H(j)，其幅度响应和相位响应分别为H(j)和()，如果作用于系统的信号为x(t)ej0t，则其响应信号为：y(t)H(j0)ej0tH(j0)ej(0)ej0tH(j0)ej(0t(0))5-4若输入信号为正弦信号，即 x(t)=sin( 0t)，则系统响应为：y(t)H(j0)sin(0t)5-5|H(j0)|sin(0t(0))可见系统对某一频率分量的影响表现为两个方面， 一是信号幅度要被 H(j )加权，二是信号相位要被 ( )移相。由于H(j )和 ( )都是频率 的函数，所以系统对不同的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。2.2用MATLAB计算系统频率响应MATLAB 提供了专门对连续系统频率响应 H(j )进行分析的函数 freqs()。该函数可以求出系统频率响应的数值解，并可绘出系统的幅频及相频响应曲线。 freqs()函数有如下三种调用格式：(1)[H,w]=freqs(b,a)：b，a分别为连续时间 LTI系统的微分方程右边的和左边的系数向量，返回的频率响应在各频率点的样点值 (复数)存放在H中，系统默认的 200个频率点存放在w中。H=freqs(b,a,w)在指定的频率范围内计算系统的频率响应特性。 在使用这种形式的函数时， 要在前面先指定频率变量 w的范围。例如在语句 H=freqs(b,a,w)之前加上语句：w=0:2*pi/256:2*pi;(3) [H,w] =freqs(b,a,n)调用该格式将计算默认频率范围内 n个频率点上系统频率响应的样值， 并赋给返回变量H，n个频率点存放在 w中。下面举例说明调用 freqs()函数求系统频率响应的方法。例5-1：理想低通滤波器在物理上是不可实现的，但传输特性近似于理想特性的电路却能找到。图5-2是常见的用RLC元件构成的二阶低通滤波器(一般说来，阶数越高，实际滤波器的特性越接近于理想特性)。该电路的频率响应为：2H(j)UR(j)1US(j)2L(jLC)(j)1R设RL2C,L0.8H,R2，绘出该电路频率响应。图5-2 RLC二阶低通滤波器电路解：令截止频率 c

13.54。LC将RL、C值代入H(j)的表达式，得：、H(j)0.08(j10.4jH(j)ej())21其中：H(j)110.0824()arctan20.08210.08当c3.54时，H(j)1。c2实现该系统响应的 MATLAB 程序如下：%Program5_1b=[1];a=[0.080.41];[H,w]=freqs(b,a,100);Hm=abs(H);phi=angle(H);subplot(211),plot(w,Hm),gridontitle('幅度响应'),xlabel('w'),ylabel('幅度')subplot(212),plot(w,phi),gridontitle('相位响应'),xlabel('w'),ylabel('相位(弧度)')运行结果如图 5-3所示：3图5-3 RLC二阶低通滤波器的幅度及相位响应从图5-3可见，当 从0增大时，该低通滤波器的幅度从 1降到0，c约为3.5，而 ( )从0o降到-180o，与理论分析的结果一致。例5-2：全通网络是指其系统函数H(j)的极点位于左半平面，零点位于右半平面，且零点与极点对于j轴与互为镜像对称网络。它可保证不影响传输信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。一全通网络的系统函数为：H(j2j10)102j试画出H(j)和()曲线图。Program5_2b=[-210];a=[210];w=0:0.01:100;H=freqs(b,a,w);subplot(211)plot(w,abs(H))gridon,boxofftitle('幅度响应')xlabel('w')ylabel('幅度')axis([010001.5])subplot(212),plot(w,angle(H))gridon,boxofftitle('相位响应')xlabel('w')ylabel('相位(弧度)')运行结果如图 5-4所示：4图5-4全通网络的幅度响应及相位响应从图5-4可见，当从0增大时，H(j)的幅度响应是一条数值为1的水平线。即对输入信号的各频率分量都进行等值传输；而oo()从0开始下降，最终趋于-180，这种网络称为全通网络，在传输系统中常用来进行相位校正，如作为相位均衡器或移相器。例5-3：已知一LTI系统的频率响应为：H(j )

1 j1 j(1)求系统的幅度响应 H(j )和相位响应 ( )，并判断系统是否为无失真传输系统。(2)当输入为f(t)=sint+sin3t(-<t<)时，求系统的稳态响应。解：(1)因为：H(j)ej2tan1()所以系统的幅度响应和相位响应分别为：H(j)1,()2tan1221系统的幅度响应H(j)为常数，但相位响应()不是的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。系统的稳态响应为：y(t)H(j1)sin(t(1))H(j3)sin(3t(3))sin(t/2)sin(3t0.7952)利用MATLAB 计算程序如下：Program5_3w=0:0.01:4*pi;t=0:0.01:4*pi;b=[-11];a=[11];5H=freqs(b,a,w); %H=(1-j*w)./(1+j*w);Hm=abs(H);phi=angle(H);x=sin(t)+sin(3*t);y=abs((1-j*1)/(1+j*1))*sin(t+angle((1-j*1)/(1+j*1)))+...abs((1-j*3)/(1+j*3))*sin(3*t+angle((1-j*3)/(1+j*3)));subplot(311),plot(w,Hm)title('幅度响应')axis([04*pi02])subplot(312),plot(w,phi)title('相位响应')subplot(313),plot(t,x,'r',t,y)legend('x(t)','y(t)')title('输入和输出波形 ')程序运行结果如图 5-5所示。图5-5 系统频率响应及输入、输出波形从图5-5可以看出，输出信号相对输入信号产生了失真， 输出信号的失真是由于系统的非线性相位引起的。实验内容Q5-1：给定三个连续LTI系统，它们的微分方程分别为：系统1：d2y(t)dy(t)25y(t)dx(t)(1)dt2dtdt系统2：dy(t)y(t)dx(t)(2)dtx(t)dt系统3：d6y(t)10d5y(t)48d4y(t)148d3y(t)dt6dt5dt4dt3306d2y(t)401dy(t)(3)262y(t)262x(t)dt2dt编写程序Q5-1，计算并绘制由微分方程 (1)、(2)和(3)描述的系统的幅度响应、