常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理

[][][] [] 12[][]§1 步。第二章介绍了一阶初等解法几类型但是大量一阶一般是不用初等法求其通。而问题中需要往往是要求满足某初始条件。因此初值问题显得十重要从前面我们也了到初值问题不一定是唯一。他必须满足一定条件才存性与唯一性而讨论初值问题存性与唯一性常占有很重要地位是近代常定性理论稳定性理论以及其他理论基础。例如过点(0,0)是不唯一y

是过(0,0)此证y

x2一般地是过点(0,0)而定

x

其中c是满足

c

一。存唯一性定理很地问题地定了一定条件存性唯一性。得到不近似法有重要而存唯一性是近前如不存而近求失去；如果存不唯一不定求是哪个。而存唯一性定理保证了求存性唯一性。存性与唯一性定理：（1）显式一阶dydx

f(x,y)（3.1）f(,)R|xxa,|yy

|b0 03.）。1

f(,)满足以下条件1R2Ry满足李普希兹Lipschit条件，即存常数L0，使对于R任何一对点(,y)(,y)1 2均有不等式f(,y)f(,y)Lyy 成立，则方程3.存唯一的解y()，在1 2 1 2区间|xxh，而且满足初始条件0(x)y0 03.）其中hmin(a,bM

x,

f(x,y)

L思路：(3.1)的解等价于积分方程的解。构造近似解函数列n

(}任取一个函数

(x，使得|(x

b，替代述积分方程右端的0 0 0y，得到(x)(x)(x)

(y，1 0 0 1

(x)2

(x1

4）

(x)n

y0 x0

f(x,n1

(x))dx{n

}.{

(x)}[xh

h](xn 0 0(3.4),(x

y0 x0

f(x,(x))dx.(x

y

f(x[x

h,

h.0 x 0 00逼近.定理假设条件下,五个命题来证明定理.为了讨论便,只考虑xxxh,xhxx

讨论完全类似.0 0 0 0命题1 设y(x)(3.1)定义xxx

h,满足初始条件0 0(x)y0 03.）,y(xyy

f(x,

x x

xh(3.5)x x

0 x 0 00xh0 0证明 因为y(x)(3.1)满足(x)y

,有0 0xx得到0即有(x)y

f(x,(x))dx

x x

xh0 x 0 00y(x

y

f(xx

x

h.0 x 0 00

y(x,则(x)y

f(x,(x))dx

x x

xh0 x 0 00（3.6）fyR

f(x,(x))连续,两边对x求导,可得且 (x)y,0 0故y(x)(3.1)间x x xh上,件(x)

.0 0 0 0n

(x)}.(x)y 0 0

(n)(x)y

f(,

))d

xxxh n

0 x n1 0 007）2 n3.()xxx

hn 0 03.）

|(x)yn

|bn1

(x)y

f(,y

)d

x

h、即成立.

1 0 x 00

1 0 0假设nk2也就是xx

h、0 0nk1由fyRf(x,(xxxx

h是得知

(x)在k 0 0xxxh

k10 02nk1n3 序列

(}xx

h是一致收敛.n 0 0记(x(xxxxhn n 0 0()

(x)

(x)]

xxxh0(3.9)

k1

k k0 0n

(x)}

一致收敛性与(3.9)此，对(3.9)的通进行估计.|()()x|f,)|dM(xx)(3.10)

1 0 x 0 00nxx

h时,有0 0k,有|(x)

(x)

MLk1

(xx)k

MLk1h

xxxhk k

k! 0 k! 0 0k(3.11)k

hkhMLK1

Weierstrass(3.9x

xxhk! 0 0k1上一致收敛.因而序列{

(x)}在xxx

h上一致收敛.n 0 0(x(x,(xxxx

h,且n n 0 04

(x)(3.5)xx

h.0 0Lipschitz

(}xxxh一致收敛于()f(,(xxx

hn 0 0 n 0 0敛于f(x,(x)).因此即 (x)n

y0 x0

f(,())d故(x)(3.5)xxx

h.0 05 (x)(3.5)xxx

h一个,(x(x,0 0xxxh.0 0g(x(x(x|,g(xxxx

h非负于0 0而f(xy满足Lipschitz,可得令u()Lxg)d,u()xxxhu(x

)0,x 0 0 000g()u(),u()

g(),u()u(),(u()u()ex

0,即u()ex)0xxxh,u()eLxu(x

)eLx 000 0 00g(xu(x0g0xxx

h,得.0 0对理说几点:ha,bM

.Rf(xM,(x,

)

y(xM

M之,(x,y)M

0 0M.0 0Mb

a b

,)

y(x

a

x

a当a M 0 0Mb

b a

xa

x

a,即,)a M 0 0R

xb 0 M

xx0 解M

y(xRx0

h.

fyRy

f并y界

f'(x,y)y

L上这里(x,y),(x,y1

)R,0

1

R连续R然满足李普希兹条y件.但,满足李普希兹条件fy偏导数.例函数f(xy任都满足李普希兹条,y0处没(3.1,易知,P(xQ(x[],1满足,且对任(x,y),x

[[]、连续.0 0 0,(3.1),|xx0

h,n

(}

,R,,y,M

|P(x)

Q(x)|.,] 0、件件.如 .明 y0

f(x,y)

y

y|,y0

f(y)1y

y|y0上连续,x(xy,y(xy

由0 0 0 0

yeex

yeex,

yeex,

y0

y0,x(x0

,0),y0通过,从而保证.但是|y0

y||L0

y0F(x,0(3.12),(x,y,)FF(x,y

,)0

F00 0 0

0 0 0

,而y

,yyy

f(x,y)(3.13)f(xy(xy,f(xy)0 0 0 0 0F,f(x,y,y,fy

/Fy(3.14),1,(3.13)y(x0

0..2 (x,y,):0 0 0ⅰ)F(x(x,；ⅱ）F(x,y,)00 0 0F(x,y,)ⅲ） 0 0 0 0y（3.12）yy(x) x0

（h够小正）y(x)y, y(x)0 0 0 05）1——Picard逐次逼对第n次n

(x真正(x在|xx0

h内式|(x)(x)n

MLn(n

hn13.1）此式可用数学归纳设有不等式成立,则1值问题dydx

x2

y2,

y(0)0R:1

x1

y1.M

(x,y)R

f(x,y|abhmin{a,b}M

1,|f2

2y2L,n3.,1x1,3 2 2§2 延拓节我们学习了存唯一性定理，当dydx

f(x

fyR满dy足存性唯一性条件时，初值问题dx

f(x,

|x

h存y 0

0y(x)0，定理结果局部，也说存很小

fy存在域增大，而能肯定存反而缩小。例如，一节1，当定义域变为R:2

x2

y2

,h,2}1|xx1.8 4 0 4存.1、饱和及饱和定义1 对定义平面域G微分方程dydx

f(x,y)(3.1)y(x)(3.1)I1

R,(3.1)I Ry(x,2(1)

I I I I1 2 1 22xI1

()()y(xxI1

y(xy(xI.2y(x,y(x),xI1I.1

(3.1),2、局部李普希兹2 若函

fy域G内连续对G内每P都以P点中心，完全含G内闭矩形域R使得Rfyy李普希兹对于同的p p点闭矩形域R大小李普希兹常数L能同p

fyGy局部李普希兹.理3理dydx

f(x

fy界无界域GR

连续y局部李普希兹对任意点(xy

Gdydx

f(x以(xy0 0

0 0初值(x均以向左右展直到点x,域G边界.x

y(x)x

m(,(域G(xyG一性定理初值问题0 0dydx

f(x,y)y 0

y(x)0（1）一y(x一区间为|xxhxxh,0 0 1 0 0y(x,以(xy为中心作一小矩形RG,则初值问题1 1 1 1 1dydx

f(x,y)y

y(x)1 1(2)

y(x一区间为|xxh.1 1(x(x一性定理,重叠部分应有(x(x1 1xhxx时(x(x1 1 1y(x(3.1(1)(或,[xhxh0 0 1 1(3.1(1)y(xy(x程(3.1)y(x定义区间|xxh0 0h xxhhy(x的0 0 0 0 1y~()(3.1).推论1 对定义平面区域G上初值问题

f

(xyGy0

0 0y(x)0f(GLipschtiz,一非饱和解均可延推论2 设~()是初值问题

f

(xyGy0

0 0y(x)0一个饱和解，该饱和解饱和间I一定是开证明 饱和间I不是开,不妨设

,],(,~(G~()~()I时,(x,(x))G.

))3如果G是无界,上面解延拓定理(3.1)通过(xy点解0 0y(1y可以延拓到间[x(或(x)；0 0

y只可延拓到间[xm(或(mx)，为有限数，m时，0 0或者y(x)无界,或者点(x,(x))G.1

dydx

1分别通过点(0,0和点2

f(x,

y212.(0,0yexex,x；yexex,0x().yexex,0,x0y.2dy

1x.

f(x,y)1x

0.G()y.

yxlnx,0xx0,

y0,即,0x0yG.3dydx

(y2

a2f(x

f(x,y

fyxy ay(x)

(,.0 0 0 0证明 根据,ya(,),对x,y

a,满0 0y(x0

yy0

y(x),,,

yy(xya,,,(.:

f(x,y,y,)

x.xydy x

y(x

)

0 0 dx

x2y21 0 0(,.§3 值微理dy值问题dx

f(x,y)

中我们把值(x

看成固值然后再去讨y 0

0 0y(x)0论dyf(x经(xy.假(xy

变动相值问题也随dx 0 0 0 0之变动也就说值问题仅依赖自变量x,还依赖值(xy.例：f(x,

y,y'

yycex,将y(x)0

0 0y带入,yy0

xxe0e

.很显然它x(x,

dy.因此将值问题dx

f(x,y)

记为0 0 y0

y(x)0y(x,x,y),它y (x,x,y).0 0 0 0 0 0值发生变化何变化？值微小变动变化是否也很小呢？为此就要讨论值些1值称性(3.1)y(x

)y ,y(x,x ,

,0 0 0 0,(x,y(x

y .0 0(3.1)y(x

y x,0 0 1(x,xy ),,(x,y)(xy

,1 1 0 0 1 1 0 0,y

(x,x,y).(x,y),y (x

,x,y)对0 0 1 1 1 1 0 0.2值连续依赖性于实际问题般，肯定时候误差比较大，时候误差比较小，实际应用我们当希望误差较小，就说当(x

,y )0 0变动很小时候，应只微小变动，这就值连续依赖所要研究问题：讨论这个问题之前，我们先来看个引理：引理：如果函数

f(xy于某域D连续，yLipschtiz（Lipschtiz常数L），（3.1）两个(x)(x)，它们公共着不等式x)(x)

)(x0

)eLxx0|（3.17）x 所考虑域某.0(x)

(x于a

b则V(x)V(x)2(x)(x)

f(x,)

f(x,)2LV(x)而 d

(V(x)e2Lx)0,x0

[a,b],有a

x ,x0

t,x t0 0

,(3.1)

(t

(t).V(x)V(x

)e2L(x

x),axx0 0,

V(x)V(x

)e2Lx

|,a

b,ax b00 00f(x,y)Gy(x

y G0 0dydx

f(x,y

(x,x,y

)a

b上ax

b),任y0

0 0 0y(x )0意0

ab0使当x

x )2(y y )2

2时,(3.1)0 0 0 0y(x

y y(x,x,

)a

b上也义0 0 0 0(x,x,y )(x,x,y ),a

b.0 0 0 0S:

(x,x,y0 0

)(x),a

bxy第一步:找区域D,使SDf(xyDy满足Lipschitz条件.由已知条件,对(x,yS,存在以它为中心的开圆CC

G,使

f(x,y)在其内关于y满足Lipschitz条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆C(iN(不同的CrLi i i iS,令G

NCii1

,则S

GG,对

0,记dS),min(,

LL,1

L)SNSDGGf(xyDy条件,Lipschitz常数为L.第二步:

ab))

x)2(y y)2

2时,解y(x)(x,x,y0 0

axb也有定义.

0 0 0 0Df(xyy

(x)(x,x,y0 0

DD(c,(c和(d(dcdcad

b.否则设ca,d

b,由引理有利用(x的连续性,对1

1eL(ba)有 0在,当x2 2

0 2(x)(

),取,),当(x x)2(y y)

2时就有0 1 1 2 0 0 0 0(x)(x)2(

)(x0

)

1e2Lxx0|2(x

)(x)|(x)(

))2e2Lxx0|0 0 0 0(x)(x)2(x)(x

)2)e2Lxx0|0 0 0 02|y y1 0 0

|2)e2L(ba)(3.18)

2e2L(ba1

2

(c

d)

[c,d],|(x)(x),|(c)(c),|(d)(d)(c,(c))(d(d))D,,y(x[ab.(x)(x),axb.3.1[c,d][a,b](x x )20 0

(y 0

)20

2(x,x,y )(x,x,y )0 0 0 0

a

b.3、若函数

fx,yG且关y满足局(3.1)y(x,x,y )作为x,x,y 函数它存范围.0 0 0 0(x

y G,(3.1)(x0 0

y )0 0

(x,

y 0 0(x,y )x(x,

,令0 0 0 0

(x,

y )V.0 0(x

,y )V0 0

b],

(x,

y [ab,xx0 0

[a,b].

0,(x x )2(y y )22,1 0 0 0 0 1y(x

y 0 0

[abx,2

0,

x 2min(,),(xx)2(x x )2(y y )2

21 2 0 0 0 0

(x,

y )V.0 04、初值参数依赖理讨论含参数微分f(x,y,)dx

G :(x,y)G,

(3.19)(xyG

(xy球C

G (x,

,),(x,y1

,)C，成立不等式L是与无关正数，称函数f(x,y)G

内关y一致地满足局部李普希兹条件.由唯一性，0

()，通(x

y G是唯一确定0 0，记这个

(x,x,y ,).0 0 0f(xyG

,G

y,(x,y,)

y(xxy