荐矩阵分解在考研线代中的应用

矩阵分解在考研线代中的应用一、矩阵分解是什么？在此仅谈考研数学中常用的矩阵分解的构思C=AB，将一个矩阵C拆分为两个矩阵的乘积AB，有时候方便研究问题，在求行列式，讨论秩，相似等均有应用和考察。二、什么时候想矩阵分解？矩阵分解：若一个矩阵B的每一列向量都可以由另一个矩阵A的列向量组线性表示（特征），则可对B进行矩阵分解为：B=AC,其中C是对应的表示系数矩阵（构思）。例如设A- »B-（at2）3-yJcr-/J+ +2y）,令-1 3 11C= 2 -10,则〃=40--1 1 2」例：如上图B的每一个列向量均可由A的列向量线性表示。特征：回答了什么时候用的问题，构思：回答了怎么用的问题。［相关知识链接］:向量B,a1,a2,…an,若存在一组数k1,k2,…kn,使得0=k1a1+k2a2+…+knan,则称B可以被a1,a2,…an向量组表示。。+20=。+20+0丫，向量a+2阿被向量组：80、丫表示请仔细观察下面例题，为什么想到想到用矩阵分解？(一)、矩阵分解在行列式中的应用例设3阶矩阵A=(a1,a2,a3),|A|=1,B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a3)，求|B|二?分析:抽象行列式，主要利用行列式、矩阵，相似的性质及结论来求解。一眼可见B的每一列向量，都可以由A的列向量组表示，立马想到矩阵分解B=AC方法28 修、2依-4叫□11］=Laa。门［123—AC,矩阵分解ffl|C|-2.Sfy|Bl-lAlia-lX2=2,其中计算|C|范德蒙行列式矩阵的性质关于C=AB的理解：表示与秩的构思理解角度1：C=AB表示角度结论矩阵C=AB的列向量可由A的列向量线性表出；矩阵C=AB的行向量可由B的行向量线性表出。［对比记忆］:C=AB•…即AB=C,对比向量方程：AX=C,C的列向量可以由A的列向量表示。亦可结合具体的例题来理解抽象的理论文字语言，如上题B的每一列向量都可由A的列向量线性表示。一个具体的解决解决几个问题。同理：对B,C按行分块，可见：C的行向量可以由B的行向量组表示。由此可知.若C^n=4"声刈.则矩阵灯的列向量组能曲矩阵4的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵：bf2…3”例2.由于AB=C，可见C的列向量可由A的列向量表示；又因为B可逆故人48-,再利用一次结论，可见人的列向量可被C的列向量表示；进而C和A的列向量可相互表示，列向量组等价。故选B例2 Llh111）设为M阶矩薛,若H且〃可逆।则（h＜A＞矩阵■的行向址组与矩阵A的行向斌组等价CB）拓防C的列向量组与矩阵I的列向一组等价（o矩阵e的行向量组^^除片的行向量组等价（D＞矩阵匚的列向星组与矩阵月的列向鼠组等价 W.定理：初等变换不改变矩阵的秩

定理2初第变换术改变挥阵的秩.即若初等变热A -则=即若P1+e是初等降.P,Q是可逆阵,剧初警行受蜿一口rt.4>=r(P,A)=r{AQ.>=r(P,AQ：)=KP4)=r(AQ)=rt初警行受蜿一口且当时有I6A的行向量纽BIB的行向量纨是等价向量蛆.2d人和B的相应的列向量组有相同的线性相关性.线性弁次方程组小工=。和Bh=D是同解方程91.结论：可逆矩阵A可以写成一系列初等矩阵的乘积性质2方降与可逆的充分必要条件是存在有限学初等矩阵片，片,…]「使火二巴心…[ala2a3,a1+2a2-a3]…—初等列变换一[ala2a3,o]故：R[a1a2a3,a1+2a2-a3]=R[ala2a3,o]=R[a1a2a3][A,AB]-[A,O]初等列变换;[Aa1,Aa2]=A[a1,a2]拓展点：矩阵等价与向量组等价的关系，两者没有必然关系（考生易混点）.向量组等价：向量组能互相表示定义3设有两个向量组及H；%,比，…，与，若月组中的每个向量都能由向量组4线性表示，则称向量组月能由向蔺组H线性表示,若向电组4与向量组月能相互线性表示.则菽丽丽而毓〜席砺定义71等价向量）设两个向城蛆S1；皿+6,…血/U）枭事，…,JL若（1）中每个向量由+1=L九…”均可由口|）缓性表出，则称向盘组U）可由向见埴t!]）线性表出.若向酣tI】」口）可以互相表出，则格向量蛆f1n）是等价向盘组,记成《】）生（u向拉钳和它的搬大线性无关组是等价向货组-向乜组的两个极大无美皿是等物向盘物.且包含的同/个数相同..矩阵等价定义：如果矩阵A经过有限次初等变换化为B，则矩阵A与B等价。(文字语言，相应的数学矩阵语言如何表达呢？)判别方法:定理1：A,B是同型矩阵，且秩相等R(A)=R(B)，则矩阵A与B等价定理2存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B则矩阵A,B等价-R(A)=R(B)矩阵箸价(必须含M相同的行数E相同的列数n，即必为同型矩阵］肉商等处t如果地阵.4经过有眼次机等变换化为则林地阵d与H等饰.记作『空H矩晦等阶的充分必要条件是:1三出"比也是同蟹矩阵且有相同的秩，C存在可逆距阵鸟。使得-HJ可久证明：任何一个矩苒闻丽「以蚣过初等变覆化为仁，卜苴中瓦为产阶单位处阵)称之为矩阵才的等价标准型.工注J一定要注意区分矩阵的隼价和向量租的等世*.初等变换的几点补充. 矩阵A经过初等行变换变成矩阵B，有以下结论：A,B的行向量组等价。A,B的列向量组具有相同的线性关系-求极大线性无关组会用到。齐次方程组AX=0与BX=0是同解方程组日丐 4初等行受上月时有I"A的行向盘组和日的行向量组是等价向M组.如4和E的相应的列向比的有相同的线性相关性,畿性齐次方程组总工=0和是同新方程组分析：表达为数学语言，再利用有关理论研究。矩阵语言存在初等矩阵PLP2…Pn,使得:P1P2…PnA=B,由前文的解读分析，可知B的行向量可由A的行向量表示。又由于初等变换中初等矩阵是可逆的。即A=Pn-…F2-P1-B，此时A的行向量又可由B的行向量表示，即A,B行向量能互相表示，进而A,B的行向量组等价。解方程组是利用初等行变换：互换两行，某行K倍，把某一行加到另外一行（消元），不改变方程组的解。即初等行变换是同解变换。A-初等行变换-B,AX=0与BX=0是同解，但AX=匚与BX二C不一定是同解，反例相信你能例举出来。设矩阵月与日行等价,即矩阵且经初等行变换变成矩阵夙则B的每个行向盘都是A的行向H组的线性组合，即B的行向度组能由A的行向量组线性表示,由于初等变换可逆，知矩阵H亦可经初等行变换变为人从而A的行向或组也能由用的行向量组线性表示.于是H的行向量组与度的行向量组等价.类似可知，若矩阵力与H列等侨，则A的列向量组与B的列向最组等价,•同理可得到初等变换有关结论。4.矩阵等价与向量组等价无必然关系

看一•个具体的例子:I、看一•个具体的例子:I、1矩阵A经过初等变换得到B,C,因此矩阵A,B,C等价；亦可从A、B、C是同型3阶矩阵，且秩相等，故矩阵A、B、C等价。2矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，此时A的行向量组与B的行向量组能互相表示，即行向量组等价，但B的第1列不可由A的列表示，可见他们的列向量组不等价，因此初等行变换不能推出列向量组等价，但A、B的列向量组线性关系相同，A的第一列和第二列线性无关，B同样。.矩阵B经过初等列变换得到矩阵C，此时B的列向量组与C的列向量组能互相表示，即列向量等价，但C的第一（三）行不可由B的行表示，可见行向量不等价。但行向量组间线性关系相同。.可见矩阵等价与向量组等价并没有直接关系。相关链接回顾：利用秩判别向量组相关、无关“三秩相等理论”：R（矩阵A）=R（A行向量组）=R（A列向量组）向量组相关无关秩的判别理论：若向量组的秩R（A）与向

量组所含向量个数的关系，若相等则无关，若不等则相关。温馨提醒：判别前要先看好是行向量还是列向量Am*n=[a1a2…・an]，列向量个数为n个，判别列向量组是否线性无关，即：判别R(A)与列向量组所含向量个数n的关系：若R(A)=n,则A的列向量组向量无关，若R(A)<n,则A的列向量组向量相关同理：判别R(A)与行向量组所含向量个数m的关系，若R(A)=m,则A行向量组无关，否则相关。1例5.13】设小力为满足，的任意两个非零矩阵.则必仃( >.(AiA的列同员组级性相关/的行向取组线性相关A的列向盘组线性相关•口的列向址级线性相关式的行向,组费性相关.月的行向量组线性相关A的行向量组线性相关5的列向量组线性相关【分析与解答】解法一：若凡是切乂心矩阵山是“X六矩阵.仙=。,则，"1+力门<M乂4.H为作零矩阵，秩大于零，所以r(A)<rt,r(B)<rtJ!PA的列向量组线性相关国的行向盘组线性相关•故应选g解法二二由AHKL得£的每一列均为=0的解.又H为非零矩阵，即Ax-0有，零解,所以仪箱所入即A的列向量组线性相关.同理.由AR-O,即BTA『=0,得的列向量组，即B的行向址组线性相关，故应选(AL注意体会里面为什么是判别R(A)与n,R(B)与m?(二),矩阵分解C=AB在讨论秩中的应用，引申讨论相关无关.若A是可逆矩阵，则R(AB)=R(ABE)=R(B);

证：单位矩阵召之即来，对比等价的定义；存在可逆A,E使得，ABE=C,则矩阵B与C等价，进而：R(AB)=R(C)=R(B).若Amxn矩阵的秩为R(A)=n，即A歹I」向量线性无关，则R(AB)=R(B)证明当A列满秩，则R(AB)=R(B)秩的证明：大小夹或转化为方程组问题(同解问题)只要证明：ABX=0与BX=0同解一解向量含线性无关向量个数相等一秩相等证：设Amxn,Bnxs显然BX=0的解都是ABX=0的解，又因为A歹歹满失，故齐次方程组AY=0仅有零解，即BX=0,即ABX=0的解也全是BX=0的解，进而同解。S-R(AB)=S-R(B)，证毕。行的时候，转置即列.R(AB)4min{R(A),R(B)}R(A)<min{mn}“矩阵的秩越乘越小”思考2:ABX=0与BX=0的关系，显然BX=0的解都是ABX=0的解，(部分解不多于全部解)，n-R(AB号n-R(B)又因为R(A)=R(AT)，转置可得另外一边。

#题外话#：<min{m,n}小于等于最小的，意味着它小于等于每一个，<m且<n抽象结合具体理解：3<min{5,4},无论4与5谁大，3<4,3<5是必然都成立的。［见C=AB秩的构思］:拿到矩阵先看行列数，确定是几阶。先看A,B是否有可逆矩阵(列满秩)，若有可逆矩阵(列满秩)，则可以得到：C与A或B的确切秩的关系。若A,B条件没有可逆矩阵，则想到“越乘越小理论”：R(AB)Vmin{R(A),R(B)}再利用条件和矩阵本身的秩与行列数的性质，R(Amxn)Vmin{m,n},一大一小夹，往往可确定秩的信息。实在不行的时候转为等价方程问题，示AX=C;由此若C的每一列向量都可以由A的列向量表示进行矩阵分解C=AB,此时若A列线性无关或可逆，则R(C)=R(AB)=刈8),而其中B是具体的表示系数矩阵，容易判别出秩，由此就可讨论矩阵C的秩，相关无关，可逆与否，行列式。有时候要先做一步拼矩阵的工作。有关C=AB秩的结论，理解记忆即可【例正11】已知程维向量/，强曲线性无关，若以屈，仇可用6，S，《线性表出，设［同屈牖］=［flu证明A也，从线性无关的充分必要条件是ICI#。.［证］记4=［口i1% ［曲遇甲：iJ必要性若用遥，从线性无关，则秩=ME通通)=3.又ZB)=r(AC)<r(C)£3因此•秩r(C)=3,即矩阵C可逆,|C|RO.充分性 若ICIHO,即矩阵C可逆，那么r(B)=r(AC)=r(A)=r(a)fat»a3>=3所以,E，禺通线性无关，分析：B的每一列都可由A的列表示，因此可矩阵分解为B=AC,要判别B线性无关，即判别R(B)=3与否？，根据前面定理可知晓:当A列线性无关的时候，R(B)=R(AC)=R(C)当然注意体会证明过程中的越乘越小等结论的运用。例3.分析本题B选项，要判别相关无关即判别R(•…)=4(向量个数)？因此先表达，拼矩阵，再发现矩阵分解的特征，进而B=AC，禾IJ用前面的结论：因为A列线性无关，故R(B)=R(AC)=R(C)=4，也可用R(B)=R(EAC)=R(A)=4(3)设向量组%.口m.内线性无关,则下列向此组线性无关的是( ).A.+业？ +er, +][*〃：+田 H.口！十以二・ce』+03・cn+n,a：C.a,+ —a, +a；iCti—a, 1),珀—。■$一&、、&一见一ay考虑到选顶中梅个向比均为『*a,世血的缆性组合.可直接利用结论.记ff--(X.4-ft*JJ=a：+a■>fta-rffl»(J=a一1…Joa-1则 印mm}-⑷，*",呜):；；::=(tf,，a.,ata1-C.001J由小皿44线性无关•及IC=2工即匚可逆*故/通喝即纯性无美一证明抽象矩阵的秩：一大一小夹法，要会这个定秩。r(A)工 <r(B)且r(A)》r(B),\4B=0=>r(AJ+r(B)&n,r(A)+r(B)—打㈡*A+B=kE^rCA)-Fr(B))〃,「其中kK0为常数.

1例934】设h阶方阵J满足A—3.4+?E=O,证E用:4可相似耐角化.【证明1中,卜—3A+££=□,知八的特征值A满足工工一额+2=。.故入=1或工由「4,—3A42£—(2E—4j[E-I4)=fJ.得r(2E—A)+r(H—A)n.r(2E-A)-Fr(E-A}=r(2E-A)+H.4E)^rV?E-A十A-E>=r(E)=押,故r(.2E—A)+r(E—4)=也由「方程组《£E一力4一0的然性无关的解的个数为打一刀缈一4,方程组(E—再次。的线性无关的解的个数为m—r(E—4),所以A的线性无关的特征向量的个数为n-r(£F—A)十"一r(E—A)=2r)—n=n-故人可相似对角化.1注】本题的结论可以推广为：若月[一(3|十也*+4仪苫E=。，且九#;h，/月药相似对角化.有了这一结论.大家可以随意编写题目.只要满足九即可.思考题：.特征值与行列式，矩阵迹，可逆，齐次方程组，二次型的标准型，规范性，正负惯性指数，秩的关系是什么？.秩可以确定那些东西，与各章如何联系的？具体的怎么求，抽象的怎么求？.常见的等价表述有哪些？向量与方程如何联系的？同一个问题的不同表述有哪些常见的？常见的文字语言翻译为数学语言：二次型A经过可逆(正交)或初等变换化为二次型B

4.思考题5:线性代数中常见的参数预处理有哪些、怎样预处理的？（三）、矩阵分解思想在求特征值特征向量中的应用：Anxna二人a,a/0的理解思维：只要出现该等式Anxna=Aa,a#O，则立马读出：A的一个特征值是人，对应的特征向量是a。常见条件设置：方阵A的每一行元素之和为K。常见条件设置；方阵A的每一行元素之和为人f（；）=©«）进而读出A有一个特征值为；K,对应的特征向量为（1（四）、矩阵分解在相似中的应用，P-AP=B,AP=PB读一段评注分析，记一类构思：以后见到此结构要会这种处理。【评注】要掌握定义法riaH通过恒等变理推导曲轴征砥、轴拉向萤的信息.若已知o—am致性无关甫'用力=凹。+生。i-u.iCt,/la.= h：a.-rfja：-.\a=cia+ 的信息一定不要忘记这有相故的背景.4出aa）=（题：♦.3）牌冲=（d科+%虫：+aa++ha，巧m+心血+rg）—2：；⑵帘 饼矩阵Ld.」 矩阵分解a瓦茨 相似背景即F14P工乩其中P=（。］向二，/），口=d?btqJiib*Cj_本题难度系敷0.7<M.（5）设.4是3阶方阵♦外血门&线性无关.且Mr।-a.+atAa.=cr：+m*「5」=。।-ct।,则Aj—

问题：已知抽象可逆P=[a1a2a3],且f(A)=0关于A的多项式，求P-1AP=B,AP=PB中的B?分析：由于P抽象，坐标未给非具体，因此P逆不可求，故在求B的过程中要绕开它不求P逆。那又怎样求B呢？答案当然是矩阵分解，实际这个过程的思路是论证如何找至阿逆P使得P-AP/^矩阵过程中用到的。P-AP=B-绕开P逆一变形：AP=PB程序：表达一代入已知条件-矩阵分解为：P?,进而？=BStepl:先表达AP二CStep2:带入已知条件f(A)=0Step3:对C进行矩阵分解为：C=P?,则？=B,C的列向量都可由P的列向量表示，B此时往往就是具体的表示系数矩阵。进而再利用A与B相似，B具体，通过讨论具体B，研究抽象A的行列式，特征值，特征向量，是否可相似对角化问题。例4.2001年数一考题空一[01I]已知三阶用阵用与三维向量也使得向鳍纽线性无关，且满足4'1r=3Ax-2A:x.⑴记P=(克泊*Mi),求三阶矩阵E,使用=FBF'；(2)计算行列式以+K1.-0010 3；⑵-4】.0] -2,

第二问：本题A抽象未给元素，要求抽象矩阵的行列式，

利用行列式，矩阵，相似的性质；第一问为第二问服务，提供了A与B相似，若B是具体矩阵，则问题就非常常规

基础了，第一问：已知抽象可逆P,其逆无法求，A不知，条件有

f（A）=0,要求P-1AP=B的B，要绕开P逆不求。解答：先表达AP=…一带入已知条件f（A）=0-分解出:P?,

此时?二B，往往即具体的矩阵。AP=八（国儿口4晨）二（4二4*4\¥）=（4工4*几34X一24—）代入f（A）=O先表达AP 1000一二（k,Ax,Tx）103m01-20001即AP=P\03=PB 矩阵分解01-1\-000-也即A= 其中3=103[o1-2（2）由Cl）知，4与H相似,故A+E马行+E也相似।于是有门，f ”【 本题可改求A,「（Ah讨论2能否相似对角化p+£=|5+£|=113=-40I-1例题5.2005年数四考题Aa.=a+or,+a.4,Aw： 小cti*Aax=2a:+3cJfP(I)求矩阵队使得大可.%=(%,%,小同⑵求矩陈4求特征值;(3)求可逆矩阵心使得FF产为对角矩阵,条件口1cc2a3.线性无关05年数四1001[8=I22A।=A2=I,A4,=4；P=(-at,+ff,-