小学奥数 几何计数(三) 精选例题练习习题(含知识点拨)

7-8-3.计（教学目掌握计数常用方法；熟记一些计数公式及其推导方法；根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类数和用容斥原理的计数思想．知识要一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条线最多将平面分成(n2

个分n圆最多分平面的部分数为(n个三角形将平面最多分成nn-1)+2部；个四边形将平面最多分成4(n-1)+2部…在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端)（或含有个基线段么n+1个把这条线段一共分成的线段总数为+(-…+2+1数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法DE上条段，每条线段的两端点与点连，可构成一个三角形，共有15三角形，同样一边在上三角形也有15个，所以图中共有个角形．

数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形横上共有n条段纵边上共有条段则图中共有长方形（平行四边形个例题精模块一、立体几何计数【】用样小正体木堆如图立图，么共了_________块小方。【考点】立体图形几何计数【度3星【型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初试6题走美杯年，决赛，第8题【解析一有：

【答案】块【】将个相的正体成个积立厘的方，表涂红，后开，中有个涂的正体24个，有个涂的正体个。【考点】立体图形几何计数【度3星【型】填空【关键词】学而思杯年级，第题【解析】

，所以这个长方体的尺寸只有1，1，，，2五情况，其中只有尺寸为的长方体的表面染色后，有24个方体有2面涂红，所以个涂红的小正方体有个【答案】0【】如是个个长1的白小方体块成棱为的方木，任挖其的3个长的正体然将有露外表面部上漆那余的4个长的正体恰有3面涂蓝的多有个.【考点】立体图形几何计数【度3星【型】填空【关键词】学而思杯年级，第题【解析】）角块本身为3面暴露在外的小方块；挖去外侧面中部的小方块，能够增加块面暴露在外的小方块，加上角块，共形成8块3面涂漆的小方块，为最优方案因此挖去对称的块侧中部的小方块后，将产生16块3面暴露在外的小方块然后再挖去任意一个外侧面中部的小方块，将增加3块面露在外的小块，但同时破坏原来的块3面外的小方块所以最多有块涂漆的小方块【答案】17模块二、几何计数的应用【】如，个正方的积是l平厘。在图最多以出个积2平方厘的点方(顶都图交点的方)。【考点】几何计数的应用【度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，级试【解析】每两正方形可确定3个积是2平厘米的格点正方,总共有3×3=9()【答案】9【固图中的个方都面为的方，积的矩有

个【考点】几何计数的应用【度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第题【解析】【答案】个【固下图是个积于的正形成大方，中积的方有

个【考点】几何计数的应用【度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第题【解析】每两正方形可确定3个积是2平厘米的格点正方,总共有24(个)【答案】个【】如所，边为的小正形成4×4方图，有25个格。以点顶的角三形，条角长别1和的角角共个。【考点】几何计数的应用【度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第2题【解析】我们一排连续三个正形叫做三连正方形，三连正方形的个数乘上每个三连正方形中直角三角形的个数就得到所求的总数＝64（）【答案】64【】用钉钉相间为1米正阵(如右图．果一皮将当的个子结来就到个角，这得的角中面积于1平方米三形个数多？面等2平方米三形多个【解析】面积于1平厘米的三角形有个面积于平方厘米的三角形有8个(1)面等于1平厘米的分类统计如下：①底为2，为1

②底为2，高为1

③底为1，高为23×2=6(3×2=6(个3×2=6()④⑤

⑥底为1，高为

底为2，高为1

底为1，高为23×2=6(2×2=4(个2×2=4()所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有6+6+6+6+4+4=32(．(2)面等于2平厘米的分类统计如下：3×2=6()个所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有6+2=8(个．【】下中正形分9个同小方，们一有16个点共的点一，其中在条线的个点顶，以成角．这些角中与影角有样小面的多个【考点】几何计数的应用【度】3星【型】解答【解析1显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是3则小正方形的边长是1阴影三角形的面积是½×2×3=32思考图中怎样的三角形的面积等于（1一边长，这边上的高是3的角形的积等于（即形如图中阴三角形这时，长为边只能在原正方形的边上，这样的三角形有（（2一边长3这边上的高是的三角形的面积等于3这，长为的是原正方形的一边或平行于一边的分割线．这样的三角形有（个）注意：不能与1中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个【答案】个【固图中每小方的长是l厘米则图最可画面是平厘的点角(顶在中叉上三形)____个【考点】几何计数的应用【度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第11题【解析】由三形面积为方厘米,可三角形的底高为6=1×6=2×3为图形中长方形的长为3厘，宽为2厘当角形的=厘米时有种情况=米时有种况所以，一共有8+2=10个【答案】个【】在个周有个，好圆八分以些点顶作角，以出个腰角．【考点】几何计数的应用【度】4星【题型】解答【解析由8个正把圆周八等分，所以以其中的任何3个点作为顶点都不能组成等边三角．那么任意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角形，圆周上有个点，所以一共有24个腰三角形这些等腰三角形互不相(否则设中有两个等腰三角形相同，这两个等腰三角形不可能是同一个顶点能是不同的顶点样个等腰三角形必定是正三角形，与前面的分析不)，所以可以作出个等腰三角形．【答案】24等腰三角形【】圆上个，意点间接条，些在内多个交？【考点】几何计数的应用【度】4星【题型】解答【解析圆上4点成一个四边形，四边形两条对角线相交可以产生一个交点．问题转化圆上个点可以组成多少个以他们为定点的四边形”利用上一讲的知识，去掉重复的部分，可知有：10

个所以交点有个【答案】210个【】圆周有8点两所连线叫弦”，两连条弦各无共点共连条，弦不交连共________种【考点】几何计数与找规律【度4星【题型】解答【析本题以利用归纳的方法解决．圆周上只有个，只有1种法；若圆周上只有4个，先选中个点，可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有1种连法，所以此时有1种连法；若圆周上只有6个，先选中1个，此时它可以与相邻2个点相连，也可以相对的个点相连，若与相邻的点相连，剩下的个点有连法；若与相对的点相连，剩下的4点只有1种连法，所以此时有种连法；若圆周上只有个，先选中一个点，此它可以与相邻的个相连，也可以与与它相隔2个的另外两个点相连．若与相邻的点相连，剩下的6个点有5种法；若与相隔两点的点相连，剩下的6个点被分成两边，一个点，只有种连法，一边个，有种法．所此时共有214种连法．【答案】种接法【】九个小等的正形成右．从走到，次能着正形对线一个点另个点不许重路（图虚就一走法那从A走到B共种不同的法【考点】几何计数的应用【度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初试题【解析路相当于右图中从到B不同路线（不走重复路线），从A到CD到方法都唯一，从出发有3种向，从发也有3方向（不一定是最短路线），根据乘法原理，共有3不同走法。【答案】种【】国际棋“马”的法图示位位的马”只能到有的格．在5×5个格国象棋上如图放四白（eq\o\ac(○,)示和枚黑（●表示要将枚马至枚马位，四黑移四白的置而必按国际棋规，子能动空中每格多一棋．么少要_________步．×

×

○

○×

×

○○○×

××【考点】几何计数的应用【度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，四年级，初赛4题【解析需移动8枚棋子，任意棋子只移动一步是无法到达目的空格当中的，所以，最少需16步具体方案：如下图，用四步交换两枚棋子到目的空格当中．用同样的方法处理其他6枚棋子．一共需要1步．【答案】步【】请将个数”、三“学、三美填入右中使每横、一排有三个，果在上摆“数，那可有_几种同摆。【考点】复杂乘法原理【度3星【型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第题【解析】由于一个数”已填在左上角的方格内，所以剩下的2个“数有两种填法，如下图所示：对于上面的两个方，只要任何一空白方格中填入一个字，则个方都只有一填法，比如对于上左图，在第二行第一列填入“学”，则第三行第一列和第二行第列都只能填“美则第三行第二列和第一行第三列都只能填“学，一行第二列只能填“美。以只要确定某一个空白方格中填的字，也确定了整个格的填法。而现在每个空白方格中可以填“学美有两种填法，所以共有种足题意的填法。数

数数

数数

数【答案】种【】图中有16个格要B，C，四不的子放方里并每每只出一棋．：有少不的法【考点】复杂乘法原理【难度3星【型】解答【解析】由于个棋子要一个一地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A可放在个方格中的任意一个中有16不同的放法二放棋子于A放定那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放，还剩下方格可以放B，有9种法；第三步放，去掉B所的行和列的方格，还剩下四个方格可以放，有4种放法；最后一步放，再去掉C所的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种法．由乘法原理，共有576种不同的放法．【答案】【固在图方内入枚子要每、列都能一棋，有少放？【考点】复杂乘法原理【难度3星【型】解答【解析】要放枚棋子定要分五步完成察到图中的表格正好是五列的好每列放个棋子是，我们不妨按第列第2列第、第4列、第5列顺序依次摆放棋子．第一步：在第1列入个棋子．因为第列有两个格，所以有放法．第二步：在第2列填入一个棋子．因为共有三个格，可是刚刚放在第一列的那个棋子占了其中的一行，所以有种法．第三步在3列填入一个棋子因为第3列有四个格可被放在第一列第列的那两个棋子各占了一行，所以有4-2=2种法．第四步：在第4列入一个棋子．同理推得有种法．第五步：在第5列入一个棋子．同理推得有种法．根据乘法原理，往方格内放入5枚子，每行每列只有一枚棋子，共有216种放．【答案】【】下图一中象棋，果方备放个子要它不同行也不同列那么共多种同放方？楚河

汉界【考点】复杂乘法原理【难度3星【型】解答【解析】第一棋子有90种法，第二个棋子有72种法，根据乘法原理，共有6480（种）不同的放置方法．【答案】【固国象棋是的方网下的方有个子于区中国象中“车同国棋的车”一都以位于一横或行对棋吃如棋进到一刻下的方只下个车”，么两个车”位有少情？【考点】复杂乘法原理【难度3星【型】解答【解析】对于果只有一只车的情况，它可以有种放位置，如果在棋盘中再加入一“，那么它不能在原来那车的同行或同列出现，他只能出现在其他七行七列，所以它只7×7=49中摆放，所以这两个车的摆放位置有64×49=3136方法．【答案】模块三、几何计数与找规律【】下图两图形实线分别根根位的棍围的如按规律每一层上面层摆两小方围的形用60多根棍，么成图有层，用多根棍【考点】几何计数与找规律【度2星【型】解答【析通过察每增加一层，恰好增加6根棍，这根好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形多用的，即前层用，前2层，前层4+6×2根前用4+6×(n-1)根，现在共用了多根，应减去4是的倍数，所以共用小棍64根，围成的图形有层．【答案】11层根【】如图示长相的柴摆成3的格其中每小格边由根柴组，那一需多根柴?【考点】几何计数与找规律【度2星【题型】解答【解析横需根竖放需1997×3根共根【答案】根【】用3根长火可摆一等边角．图这的边角拼成个大等边角.果个等三形每由根火柴成那一要多根柴【考点】几何计数与找规律【度2星【型】解答【析把大等边三角形分为20层别计算火柴的根数：最上一层只用了3根柴；从上向下数第二层用了根从上向下数第二层用了根……从上向下数第二层用了3×20=60根所以总共要用火柴3×1+2+3+…）=630．【答案】630【固用三根柴拼一小eq\o\ac(△,“)”，若根柴成图示状大角，你一数有少三形【考点】几何计数与找规律【度2星【题型】解答【解析首清状如图大三角形共有多少层往层3根柴层根火柴；第三层用根柴；第四层2根柴；第五层用5根柴…第层用3n根火柴．根据题意，有：312，故2，即形状如图的大三角形共有层是边长为8根柴的大正三角形．然后，数出共有多少个三角形．尖朝上的三角形共：7)6)(14)2)个；尖朝下的三角形共：(13)50(个；所以，共有三角形：50(个)．本题小结：尖朝上的三角形：每一种尖朝上的三角形个数都是由开的连续然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为．尖朝下的三角形的数也是从开的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以类推直到零为止．【答案】个【】3根火可摆一小角。图用多火摆了个空大角已大角外沿每边是20根火。成个共要根火。空【考点】几何计数与找规律【度4星【型】填空【关键词】走美杯，级，决赛，第题【解析】水平向的火柴有11974（）其它两个方向的火柴与水平放下的火柴个数相同，所以摆成这个图共需要222（根）火柴。【答案】222根【】一张方纸片长宽倍先折正形再折成方，对成方，，共折7次将打展平数数折分成正形有少？【考点】几何计数与找规律【度4星【型】解答【解析从单情况入手，从第一次对折开始分析，第一次对折，展平，折痕分割成的正方形共21个；第二次对折，展平，折痕分割成的长方形共4

个；第三次对折，展平，折痕分割成的正方形共2

个；第四次对折，展平，折痕分割成的长方形1

4

个；第五次对折，展平，折痕分割成的正方形共32

5

个；第六次对折，展平，折痕分割成的长方形共64

6

个；第七次对折，展平，折痕分割成的正方形1

7

个．观察发现规律，奇数次对折时，展平后的折痕分割成的图形是正方形，所以