【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题二第3讲导数及其应用(含答案解析)

第3讲导数及其应用3－12x的极小值点，则a＝________.1．(2016四·川改编)已知a为函数f(x)＝x答案2分析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单一递加；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单一递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.12．(2016课·标全国乙改编)若函数f(x)＝x－3sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单一递加，则a的取值范围是____________．答案－1，133分析1∵函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单一递加，32∴f′(x)＝1－3cos2x＋acosx＝1－2(2cos2x－1)＋acosx3＝－4253cosx＋acosx＋3≥0，即

425acosx≥cosx－在(－∞，＋∞)恒建立．335当cosx＝0时，恒有0≥－3，得a∈R；454t－5在(0,1]上为增函数，得a≥f(1)当0<cosx≤1时，得a≥cosx－3cosx，令t＝cosx，f(t)＝333t1＝－3；当－4545在[－1,0)上为增函数，得a≤f(－1≤cosx<0时，得a≤cosx－，令t＝cosx，f(t)＝t－33cosx33t11)＝3.综上，可得a的取值范围是－1，133.3．(2016·东改编山)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)拥有T性质．给出四个函数①y＝sinx；②y＝lnx；③y＝ex；④y＝x3，此中拥有T性质的是________．答案①分析对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝1恒x大于0，斜率之积不行能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不行能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不行能为－1.4．(2016天·津)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．答案3分析因为f(x)＝(2x＋1)ex，xxx所以f′(x)＝2e＋(2x＋1)e＝(2x＋3)e，0所以f′(0)＝3e＝3.1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热门.2.利用导数解决函数的单一性与极值最值问题是高考的常有题型.3.导数与函数零点，不等式的联合常作为高考压轴题出现.热门一导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不一样．例1(1)函数f(x)＝excosx的图象在(0，f(0))处的切线方程为____________________．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．答案(1)x－y＋1＝0(2)254分析xx000(1)f′(x)＝ecosx＋e(－sinx)，f′(0)＝ecos0＋e(－sin0)＝1，f(0)＝ecos0＝1，f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－5，4525∴所求面积S＝××10＝.44思想升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差别，过点P的切线中，点P不必定是切点，点P也不必定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．利用导数的几何意义解题，主假如利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转变．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，从而和导数联系起来求解．2－cosx追踪操练1设曲线y＝sinx在点________.答案1分析由题意得，(2－cosx)′sinx－(2－cosx)(sinx)′y′＝sin2x1－2cosx＝2，sinx

π处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝，222－cosxπ则曲线y＝sinx在点，2处的切线的斜率为21－2cosπ2k1＝＝1.2πsin2因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－1，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，a解得a＝1.热门二利用导数研究函数的单一性1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不用要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单一递加，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必需不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不拥有单一性．例2已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值；议论f(x)的单一性，并求f(x)的极大值．xx解(1)f′(x)＝e(ax＋b)＋ae－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，a＝4，b＝4.x(2)由(1)知f′(x)＝4e(x＋2)－2(x＋2)2(x＋2)(2ex－1)1令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln2，列表：x(－∞，－2)－2－2，ln12f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘1∴y＝f(x)的单一增区间为(－∞，－2)，ln2，＋∞；单一减区间为－2，ln1.2－2f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e.思想升华利用导数研究函数单一性的一般步骤：确立函数的定义域；

11，＋∞)ln2(ln20＋极小值↗求导函数f′(x)；①若求单一区间(或证明单一性)，只需在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单一性，则转变为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单一区间上恒建立问题来求解．追踪操练2(1)已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单一递增区间是__________________．(2)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单一函数，则实数k的取值范围是__________．答案(1)－∞，－4∪(0，＋∞)(2)1，332分析(1)因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.24或x>0，即函数f(x)的单一递加区间为4由f′(x)＝3x＋4x>0，解得x<－(－∞，－)∪(0，＋∞)．33f(x)的定义域为(0，＋∞)．1f′(x)＝4x－x.1由f′(x)＝0，得x＝2.1据题意，得k－1<2<k＋1，k－1≥0，解得1≤k<32.热门三利用导数求函数的极值、最值1．若在x0邻近左边f′(x)>0，右边f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0邻近左边f′(x)<0，右边f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处获得．例3已知函数f(x)＝ax－2x－3lnx，此中a为常数．(1)当函数f(x)的图象在点2，f2处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在3，3上的最小值；332(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．3解(1)f′(x)＝a＋x2－x(x>0)，2由题意可知，f′3＝1，解得a＝1.故f(x)＝x－2－3lnx，x∴f′(x)＝(x－1)(x－2)2，x依据题意由f′(x)＝0，得x＝2.于是可得下表：x332(2,3)32，22f′(x)－0＋f(x)↘1－3ln2↗f(x)min＝f(2)＝1－3ln2.23＝ax2－3x＋2(2)f′(x)＝a＋2－x2(x>0),xx由题意可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不如设这两个根为x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，＝9－8a>0，＝9－8a>0，x1＋x2＝3>0，－3则x1x2＝2a也能够为－2a>0，>0，h(0)>0a9解得0<a<.9故a的取值范围为0，8.思想升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在状况，则转变为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在状况来求解．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在获得极值的基础上，联合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较获得函数的最值．追踪操练223已知函数f(x)＝lnx＋ax－ax(a≥0)．若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)<0在定义域内恒建立，务实数a的取值范围．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，2a2x2＋ax＋1f′(x)＝

x

.因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点，2所以f′(1)＝1＋a－2a＝0，1解得a＝－2(舍去)或a＝1.经查验，当a＝1时，x＝1是函数y＝f(x)的极值点，所以a＝1.(2)当a＝0时，f(x)＝lnx，明显在定义域内不知足f(x)<0恒建立；当a>0时，令f′(x)＝(2ax＋1)(－ax＋1)＝0，x得x1＝－1(舍去)，x2＝1，2aa所以x，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(0，111a)(，＋∞)aaf′(x)＋0－f(x)↗极大值↘1所以f(x)max＝f(a)＝lna<0，所以a>1.综上可得，a的取值范围是(1，＋∞).1．设函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y＋20，则f(1)＋f′(1)＝________.押题依照曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考察的热门，关于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点．答案4分析依题意有f′(1)＝1,1－f(1)＋2＝0，即f(1)＝3，所以f(1)＋f′(1)＝4.2．已知函数322在x＝1处获得极大值af(x)＝x＋ax＋bx－a－7a10，则的值为________．b押题依照函数的极值是单一性与最值的“桥梁”，理解极值观点是学好导数的重点．极值点、极值的求法是高考的热门．答案－23分析由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即3＋2a＋b＝0，解得1＋a＋b－a2－7a＝10，a＝－2，a＝－6，a＝－6，b＝1或经查验知足题意，故a＝－2.b＝9，b＝9，b33．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于________．“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)的”差别．答案

2分析

∵函数

f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，a∴2≥1，得a≥2.a2又∵g′(x)＝2x－x，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒建立，得2x≥a在x∈(1,2)上恒建立，有a≤2，∴a＝2.4．已知函数

1，g(x)＝x2－2ax＋4，若随意f(x)＝x－x＋1

x1∈[0,1]，存在

x2∈[1,2]，使

f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．押题依照不等式恒建立或有解问题能够转变为函数的值域解决．考察了转变与化归思想，是高考的一个热门．答案9，＋∞4分析因为f′(x)＝1＋12>0，所以函数f(x)在[0,1]上单一递加，(x＋1)所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.依据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，2x5能建立，即x－2ax＋5≤0，即a≥＋2x2令h(x)＝x＋5，22x则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能建立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝x2＋2x5在x∈[1,2]上单一递减，9，故只需9所以h(x)min＝h(2)＝a≥.44A组专题通关1．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.答案

2分析

令t＝ex，f(t)＝t＋lnt(t>0)，1所以f(x)＝x＋lnx(x>0)．f′(x)＝1＋，f′(1)＝2.x2．曲线y＝f(x)＝x2＋1在点(1，f(1))处的切线方程是____________．答案y＝12f(x)＝2x2分析的导数f′(x)＝1－x22，x＋1(1＋x)∴曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝0，∵切点为1，1，2∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y＝1.23．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.若f(x)在[－1,1]上是单一递减函数，则a的取值范围是____________．3答案[4，＋∞)分析f′(x)＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]，∵f(x)在[－1,1]上单一递减，∴f′(x)≤0在[－1,1]上恒建立．令g(x)＝x2＋2(1－a)x－2a，g(1)≤0，3则解得a≥.g(－1)≤0，44．函数f(x)＝x3－3x的极小值为________．答案－2分析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)在(－1,1)内是减函数；当x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)在(－∞，－1)或(1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，函数f(x)获得极小值f(1)＝13－3×1＝－2.5．已知函数f(x)＝x＋alnx，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线过原点，则实数a的值为________．答案e分析因为f′(x)＝1＋a，x所以f′(a)＝2＝a＋alna?lna＝1?a＝e.a6．已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2014)＋f(－2014)＋f′(2015)－f′(－2015)＝__________.答案8分析因为f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，所以f′(x)＝acosx＋3bx2.因为f(x)－4＝asinx＋bx3为奇函数，且f′(x)＝acosx＋3bx2为偶函数，所以f(2014)＋f(－2014)＋f′(2015)－f′(－2015)[f(2014)－4]＋[f(－2014)－4]＋8＝8.7．已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)f(log13)0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是a______________．答案()∪()0，13，＋∞分析因为f′(x)＝3x2＋2>0，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x3＋2x为R上单一递加的奇函数，所以由f(1)f(log13)0得f(1)f(log13)f(loga3)f(loga3),即1>loga3，当aaa>1时，a>3，当0<a<1时，建立，即实数a的取值范围是(0，13，＋∞)∪().8．若函数f(x)＝－1x3＋1x2＋2ax在[2，＋∞)上存在单一递加区间，则a的取值范围是323________．答案(－1，＋∞)9分析2＝－(x－12122f′(x)＝－x＋x＋2a2)＋＋2a.当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′(433)＝2a＋2211，＋∞)．9，令2a＋>0，解得a>－，所以a的取值范围是(－9999．(2016北·京)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x4.求a，b的值；求f(x)的单一区间．解(1)f(x)的定义域为R.f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.f(2)＝2e＋2，2ea－2＋2b＝2e＋2，依题设，即a－2＋b＝e－1.f′(2)＝e－1，－e解得a＝2，b＝e.2－x＋ex，(2)由(1)知f(x)＝xe2x由f′(x)＝e(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.∴当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单一递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单一递加．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．故f(x)的单一递加区间为(－∞，＋∞)．x210．已知函数f(x)＝8－lnx，x∈[1,3]．求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)<4－at对随意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒建立，务实数a的取值范围．2解(1)∵函数f(x)＝x8－lnx，∴f′(x)＝x4－1x，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．x∈[1,3]，当1<x<2时，f′(x)<0；当2<x<3时，f′(x)>0.f(x)在(1,2)上是单一减函数，在(2,3)上是单一增函数，∴f(x)在x＝2处获得极小值f(2)＝1－ln2.2又f(1)＝18，f(3)＝98－ln3，ln3>1，∴1－(9－ln3)＝ln3－1>0，88f(1)>f(3)，1∴当x＝1时，f(x)获得最大值为.当x＝2时，f(x)获得最小值为12－ln2.1由(1)知，当x∈[1,3]时，f(x)≤，8故对随意x∈[1,3]，f(x)<4－at恒建立，只需4－at>1对随意t∈[0,2]恒建立，即at<31恒建立，记g(t)＝at，t∈[0,2]．8831g(0)<8，∴解得a<31，1631，g(2)<8∴实数a的取值范围是(－∞，3116)．B组能力提升11．已知函数f(x)是定义在R上的可导函