普通高等学校招生全国统一考试大纲全国卷数学文科

2014年一般高等学校招生全国一致考试

(纲领全国卷

)数学(文科)一、选择题

:本大题共

12小题,

每题

5分,在每题给出的四个选项中

,只有一项是切合题目要求的

.1.(2014纲领全国,文1)设会合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为( ).答案:B分析:∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},M∩N={1,2,6},M∩N中元素的个数为3,应选B.2.(2014纲领全国,文2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=( ).A.4B.3345555答案:D分析:设角α的终边上点(-4,3)到原点O的距离为r,则r=√(-4)2+32=5,∴由余弦函数的定义,得cosα=????=-45,应选D.??(??+2)>0,3.(2014纲领全国,文3)不等式组{的解集为( ).A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}答案:C分析:{??(??+2)>0,①|??|<1,②由①得,x<-2或x>0,由②得,-1<x<1,所以原不等式组的解集为{x|0<x<1},应选C.4.(2014纲领全国,文4)已知正四周体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与所成角的余弦值为().BDA.1B.√3C.1D.√36633答案:B分析:如下图,取AD的中点F,连EF,CF,则EF∥BD,∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角∠CEF.1由题知,△ABC,△ADC为正三角形,设AB=2,则CE=CF=√3,EF=BD=1.2????2+E??2-C??2=(√3)2+12-(√3)2=√3,故∴在△CEF中,由余弦定理,得cos∠CEF=2·????√6????2×3×1选B.5.(2014纲领全国,文5)函数y=ln(3√??+1)(x>-1)的反函数是( ).=(1-ex)3(x>-1)=(ex-1)3(x>-1)=(1-ex)3(x∈R)=(ex-1)3(x∈R)答案:D分析:由y=ln(3√??+1),得ey=3√??+1,∴3√??=ey-1,x=(ey-1)3,f-1(x)=(ex-1)3.∵x>-1,∴y∈R,即反函数的定义域为R.∴反函数为y=(ex-1)3(x∈R),应选D.6.(2014纲领全国,文6)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( ).答案:B分析:由已知得|a|=|b|=1,<a,b>=60°,(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos<a,b>-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,应选B.7.(2014纲领全国,文7)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生构成一个医疗小组,则不一样的选法共有( ).种种种种答案:C分析:从6名男医生中选出2名女医生中选出12名有C种选法,从51名有C种选6521=26××15×5=75种选法,选C.法,故共有C6·C58.(2014纲领全国,文8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ).答案:C分析:∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,应选C.9.(2014纲领全国,文9)已知椭圆C:2+2的左、右焦点为F1,F2,离??2??2=1(a>b>0)????心率为√33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4√3,则C的方程为( ).A.C.

??23??212

??22=1B.??32+y2=1??2=.??2??2=+81D12+41答案:A分析:∵????22+????22=1(a>b>0)的离心率为√33,????=√33,∴a∶b∶c=3∶√6∶√3.又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点,1√△AFB的周长为43,∴4a=4√3,∴a=√3.22∴b=√2,∴椭圆方程为??3+??2=1,选A.10.(2014纲领全国,文10)正四棱锥的极点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ).A.814πππD.274π答案:A分析:由图知,R2=(4-R)2+2,∴R=16-8R+R+2,∴R=9,224∴S表=4πR2=4π×8116=814π,选A.11.(2014纲领全国,文11)双曲线C:2-2的离心率为2,焦点到渐??2??2=1(a>0,b>0)????近线的距离为√3,则C的焦距等于().√2√2答案:C分析:∵e=2,∴????=2.设焦点F2(c,0)到渐近线y=??x的距离为√3,??|????-??×0|=√3.√??2+??2c2=a2+b2,∴b=√3.由????=2,得??=2,∴????2-23=4,√??2-??2解得c=2.∴焦距2c=4,应选C.12.(2014纲领全国,文12)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( ).答案:D分析:∵奇函数f(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x),且f(0)=0.f(x+2)为偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2).f[(x+2)+2]=f(-x-2+2)=f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x).f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=-(-f(x))=f(x).f(x)是以8为周期的周期函数,f(8)=f(0)=0,f(9)=f(8+1)=f(1)=1.∴f(8)+f(9)=0+1=1.应选D.二、填空题:本大题共4小题,每题5分.13.(2014纲领全国,文13)(x-2)6的睁开式中x3的系数为.(用数字作答)答案:-160分析:由通项公式得T4=C36x6-3(-2)3=-8C36x3,故睁开式中x3的系数为-8C36=-8×63××52××41=-160.14.(2014纲领全国,文14)函数y=cos2x+2sinx的最大值为.答案:32分析:∵y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2(sin??-12)2+32,∴当sinx=12时,ymax=32.??-??≥0,15.(2014纲领全国,文15)设x,y知足拘束条件{??+2??≤3,则z=x+4y的最大??-2??≤1,值为.答案:5分析:画出x,y的可行域如图暗影地区.由z=x+4y,得y=-14x+??4.先画出直线y=-14x,再平移直线y=-14x,当经过点B(1,1)时,z=x+4y获得最大值为5.16.(2014纲领全国,文16)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.答案:43分析:如下图,设l1与圆O:x2+y2=2相切于点B,l2与圆O:x2+y2=2相切于点C,则OB=√2,OA=√10,AB=2√2.∴tanα=????????=2√√22=12.∴tan∠BAC=tan2α=2tan??22×1=34.=121-tanα1-4三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2014纲领全国,文17)数列{an}知足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;求{an}的通项公式.剖析:此题主要考察等差数列的观点、通项公式以及累加法求数列通项公式.可用定义证明bn+1-bn=2(常数)即可.利用(1)的结果,求出{bn}的通项公式及an+1-an的表达式,再用累加法可求数列{an}的通项公式.证明:由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解:由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.????于是∑(ak+1-ak)=∑(2k-1),??=1??=1所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.18.(本小题满分12分)(2014纲领全国,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B.剖析:先由已知及正弦定理,将边的关系转变为角的关系,再由同角三角函数基本关系化弦为切,求出tanC.依据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tanB,即可求角B.解:由题设和正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA.故3tanAcosC=2sinC,11因为tanA=3,所以cosC=2sinC,tanC=2.=-tan(A+C)tan??+tan??==-1,即B=135°.19.(本小题满分12分)(2014纲领全国,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC12.证明:AC1⊥A1B;设直线AA1与平面BCC1B1的距离为√3,求二面角A1-AB-C的大小.剖析:解法一:(1)由已知可证平面AA1C1C⊥平面ABC,再由面面垂直证线面垂直,利用三垂线定理即得线线垂直.为利用已知,先找寻并证明AA1与平面BCC1B1的距离为A1E.再由三垂线定理,确立二面角A1-AB-C的平面角为∠A1FD.最后经过解直角三角形求出∠A1FD的正切值,即可得出二面角的大小.解法二:成立空间直角坐标系,利用向量知识求解.设出A1点坐标,确立点及向量坐标,利用数目积为0,证明线线垂直.想法向量,由已知垂直关系,确立坐标.利用向量夹角公式求二面角大小.解法一:(1)证明:因为A1D⊥平面ABC,A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C.连接A1C.因为侧面AA1C1C为菱形,故AC1⊥A1C.由三垂线定理得AC1⊥A1B.BC⊥平面AA1C1C,BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.作A1E⊥CC1,E为垂足,则A1E⊥平面BCC1B1.又直线AA1∥平面BCC1B1,因此A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,A1E=√3.因为A1C为∠ACC1的均分线,故A1D=A1E=√3.作DF⊥AB,F为垂足,连接A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB,故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角.由AD=√????21-??1??2=1得D为AC中点,1????×????=√5??1D15.2????51????√所以二面角A1-AB-C的大小为arctan√15.解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长,成立如下图的空间直角坐标系C-xyz.由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内.(1)证明:设A1(a,0,c),由题设有a≤2,A(2,0,0),B(0,1,0),则?????????????????=(-2,1,0),?????????????????=(-2,0,0),???????????????(2,0,c),1=a-??????????????=?????????+???????????????(4,0,c),(,1,c).11=a-???????????????1=a-√22=2,由|???????????????????2得(??-2)+1|=??即a2-4a+c2=0.①于是?????????·22=0,所以AC1⊥A1B.?????????????-4a+c1????1=a(2)设平面BCC1B1的法向量m=(x,y,z),则m⊥???????????,m⊥???????????????,1即m·?????????????=0,m·???????????????=0.1因?????????????????=(0,1,0),??????????????1=???????????????1=(a-2,0,c),故y=0,且(a-2)x+cz=0.令x=c,则z=2-a,m=(c,0,2-a),点A到平面BCC1B1的距离为?????|2??|CA·==c.|?????????????????|·|cos<m,????>|=???????????????||√??2+(2-a)2又依题设,A到平面BCC1B1的距离为√3,所以c=√3.代入①解得a=3(舍去)或a=1.于是???????????????=(-1,0,√3).1设平面ABA1的法向量n=(p,q,r),则n⊥????????????,n⊥?????????????,1即n·???????????????????1=0,n·?????????????????=0,-p+√3r=0,且-2p+q=0.令p=√3,则q=2√3,r=1,n=(√3,2√3,1).又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量,故cos<n,p>=|????·||????|=14.所以二面角A1-AB-C的大小为arccos14.20.(本小题满分12分)(2014纲领全国,文20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设施的概率分别为,,,,各人能否需使用设施互相独立.求同一工作日起码3人需使用设施的概率;实验室计划购置k台设施供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设施的人数大于k”的概率小于,求k的最小值.剖析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥与独立事件的概率可求.由(1)剖析k的可能取值状况,比较即得结果.解:记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设施,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设施,C表示事件:丁需使用设施,D表示事件:同一工作日起码3人需使用设施,E表示事件:同一工作日4人需使用设施,F表示事件:同一工作日需使用设施的人数大于k.D=A1·B·C+A2·B+A2·??·C,P(B)=,P(C)=,P(Ai)=C??2×,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·??·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·??·C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(??)P(C)=.(2)由(1)知,若k=2,则P(F)=>.又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)=P(B)P(C)P(A2)=.若k=3,则P(F)=<.所以k的最小值为3.21.(本小题满分12分)(2014纲领全国,文21)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).议论f(x)的单一性;若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.剖析:(1)因为导函数的鉴别式含参数a,所以要依据导数值的正负判断单一性,需对a进行分类议论.当鉴别式为正时,导函数有两根,为比较两根的大小,需对a进行二重议论.(2)依据f(x)在(1,2)上是增函数可列出对于a的不等式,注意对a>0或a<0进行议论.解:(1)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0的鉴别式Δ=36(1-a).①若a≥1,则f'(x)≥0,且f'(x)=0当且仅当a=1,x=-1.故此时f(x)在R上是增函数.②因为a≠0,故当a<1时,f'(x)=0有两个根:x1=-1+√1-??,x2=-1-√1-??.????若0<a<1,则当x∈(-∞,x2)或x∈(x1,+∞)时f'(x)>0,故f(x)分别在(-∞,x2),(x1,+∞)是增函数;当x∈(x2,x1)时f'(x)<0,故f(x)在(x2,x1)是减函数;若a<0,则当x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时f'(x)<0,故f(x)分别在(-∞,x1),(x2,+∞)是减函数;当x∈(x1,x2)时f'(x)>0,故f(x)在(x1,x2)是增函数.(2)当a>0,x>0时,f'(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得-54≤a<0.综上,a的取值范围是[-54,0)∪(0,+∞).22.(本小题满分12分)(2014纲领全国,文22)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=54|PQ|.求C的方程;过F的直线l与C订交于A,B两点,若AB的垂直均分线l'与C订交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.剖析:(1)设出Q点坐标,利用|QF|=5|PQ|列出对于p的方程,借助于p的几何意4义及抛物线的性质确立p.(2)经过题设剖析判断直线l与x轴不垂直.因直线l过(1,0),可设l的F方程为x=