中考专项复习一元二次方程

中考专项复习一元二次方程第一页，共125页。第八讲

一元二次方程

第二页，共125页。一元二次方程1.定义:只含有___个未知数,并且未知数的最高次数为__的_____方程.2.一般形式:________________一2整式ax2+bx+c=0(a≠0)第三页，共125页。3.解法:(1)一般思路:一元二次方程一元___次方程.一第四页，共125页。(2)方法:解法形式方程的根直接开平方法x2=p(p≥0)x=(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)x=第五页，共125页。解法形式方程的根配方法(x-m)2=n(n≥0)x=公式法ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)x=因式分解法(x-x1)(x-x2)=0________x=x1或x2第六页，共125页。4.根的判别式:(1)一元二次方程根的判别式为Δ=______(2)判别式与方程根的关系:①Δ=b2-4ac>0⇔方程_____________的实数根.②Δ=b2-4ac=0⇔方程___________的实数根.③Δ=b2-4ac<0⇔方程_____实数根.b2-4ac有两个不相等有两个相等没有第七页，共125页。5、一元二次方程根与系数的关系如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=

,x1·x2=

.第八页，共125页。6.应用:(1)增长(降低)率问题.(2)图形面积问题.(3)利润问题.第九页，共125页。【自我诊断】(打“√”或“×”)1.mx2+3x-5=0是关于x的一元二次方程.()2.一元二次方程3x2=5x+1的一次项系数为5.()3.若x=0是关于x的一元二次方程(k-2)x2+3x+k2-4=0的一个根,则k=±2.()×××第十页，共125页。4.一元二次方程2x2-2x+1=0有一个实数根.()5.一元二次方程(x+2)2=5的解为x=-2.()6.若一元二次方程3x2-5x-2=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=-.()7.三个连续整数的平方和为50,则这三个连续整数为3,4,5.()××××第十一页，共125页。考点一一元二次方程的有关概念【例1】(1)(2016·泰州中考)方程2x-4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值为________.(2)(2016·达州中考)设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根,则m2+3m+n=________.世纪金榜导学号16104107第十二页，共125页。【思路点拨】(1)解一次方程,得x的值,再代入求m.(2)应用m2+2m-2018=0降次后应用根与系数的关系得到m+n的值,整体代入求解.第十三页，共125页。【自主解答】(1)由2x-4=0,解得x=2,把x=2代入方程x2+mx+2=0得4+2m+2=0,解得m=-3.答案:-3第十四页，共125页。(2)∵m,n是x2+2x-2018=0的根,∴m2+2m-2018=0,m2+2m=2018,由根与系数的关系得m+n=-2∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2018-2=2016.答案:2016第十五页，共125页。【名师点津】已知方程的根求与未知数有关的代数式的值已知一根直接代入原方程,得到一个关于未知系数(参数)的方程,解方程求出未知系数的值已知两根把两个根直接代入原方程,列出关于未知系数的方程组,解方程组,求出未知系数利用根与系数的关系求解第十六页，共125页。

【题组过关】1.(2017·威海中考)若1-是方程x2-2x+c=0的一个根,则c的值为()A.-2B.4-2C.3-D.1+第十七页，共125页。【解析】选A.∵1-是方程x2-2x+c=0的一个根,∴(1-)2-2(1-)+c=0,∴1-2+3-2+2+c=0,∴2+c=0,∴c=-2.第十八页，共125页。2.(2016·包头中考)若关于x的方程x2+(m+1)x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是()世纪金榜导学号16104108

第十九页，共125页。【解析】选C.∵原方程的一个实数根的倒数恰是它本身,则该实根为1或-1,若是1,则1+m+1+=0,解得m=-;若是-1,则m=.第二十页，共125页。3.(2017·新疆生产建设兵团中考)已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是()A.-3B.-2C.3D.6【解析】选A.设方程的另一个根为t,根据题意得2+t=-1,解得t=-3,即方程的另一个根是-3.第二十一页，共125页。4.(2016·菏泽中考)已知m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根,则2m2-4m=________.世纪金榜导学号16104109第二十二页，共125页。【解析】∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根,∴m2-2m-3=0,∴m2-2m=3,∴2m2-4m=6.答案:6第二十三页，共125页。考点二一元二次方程的解法【例2】(1)(2017·丽水中考)解方程:(x-3)(x-1)=3.(2)(2017·兰州中考)解方程:2x2-4x-1=0.第二十四页，共125页。【思路点拨】(1)将方程整理后利用因式分解法求解.(2)用配方法或公式法求解.第二十五页，共125页。【自主解答】(1)方程化为x2-4x=0,x(x-4)=0,所以x1=0,x2=4.第二十六页，共125页。(2)2x2-4x-1=0,x2-2x-=0,(x-1)2=,x-1=±,x=1±.∴x1=1+,x2=1-.第二十七页，共125页。【名师点津】一元二次方程解法的选择(1)直接开平方法适用情况:①当方程缺少一次项时,即方程ax2+c=0(a≠0,ac<0);②形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.第二十八页，共125页。(2)因式分解法适用情况:①缺少常数项,即方程ax2+bx=0(a≠0);②一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积.第二十九页，共125页。(3)配方法适用情况:①二次项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方程;②各项的系数比较小且便于配方的情况.(4)公式法适用情况:形如ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的方程.第三十页，共125页。【备选例题】(2015·泰安中考)方程(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1的根为________.第三十一页，共125页。【解析】方程可变形为2x2+7x-72=0,因为b2-4ac=72-4×2×(-72)=625>0,所以x=即x1=,x2=-8.答案:或-8

第三十二页，共125页。【题组过关】1.(2017·南京中考)若方程=19的两根为a和b,且a>b,则下列结论中正确的是()世纪金榜导学号16104110A.a是19的算术平方根B.b是19的平方根C.a-5是19的算术平方根D.b+5是19的平方根第三十三页，共125页。【解析】选C.因为若方程=19的两根为a和b,且a>b,所以a-5与b-5是19的平方根,所以只有C正确.第三十四页，共125页。2.(2017·泰安中考)一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为()A.(x-3)2=15B.(x-3)2=3C.(x+3)2=15D.(x+3)2=3第三十五页，共125页。【解析】选A.根据配方的步骤:第一步移项得x2-6x=6;第二步配方,方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方,x2-6x+9=6+9;第三步整理=15.第三十六页，共125页。3.(2017·温州中考)我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1,x2=-3,现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的解是A.x1=1,x2=3B.x1=1,x2=-3C.x1=-1,x2=3D.x1=-1,x2=-3第三十七页，共125页。【解析】选D.由题意可得:2x+3=1或-3,解得x1=-1,x2=-3.第三十八页，共125页。4.(2017·德州中考)方程3x(x-1)=2(x-1)的根为________.世纪金榜导学号16104111第三十九页，共125页。【解析】当x-1=0时,即x=1,方程两边均为0,即x=1是原方程的根;当x-1≠0时,方程两边同除以x-1,得3x=2,解得x=.综上可知,原方程的根为x=1或x=.答案:1或第四十页，共125页。5.(2016·兰州中考)解方程:2y2+4y=y+2.第四十一页，共125页。【解析】2y2+4y=y+2,∴2y2+3y-2=0,∴y2+y=1,第四十二页，共125页。第四十三页，共125页。考点三一元二次方程根的判别式及其应用【例3】(2016·白银中考)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.世纪金榜导学号16104112第四十四页，共125页。(1)若此方程的一个根为1,求m的值.(2)求证:不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.第四十五页，共125页。【思路点拨】(1)把x=1代入原方程消去x关于m的方程求解结论.(2)证明根的判别式大于0.第四十六页，共125页。【自主解答】(1)根据题意,将x=1代入方程x2+mx+m-2=0,得1+m+m-2=0,解得m=.(2)∵Δ=m2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.第四十七页，共125页。【名师点津】根的判别式的三个应用(1)不解方程,直接判断一元二次方程根的情况.(2)根据方程根的情况,确定某个未知系数的值(或范围).(3)证明一个一元二次方程根的情况.第四十八页，共125页。【题组过关】1.(2017·宜宾中考)一元二次方程4x2-2x+=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法判断第四十九页，共125页。【解析】选B.根的判别式可表示为b2-4ac,在这个方程中a=4,b=-2,c=,∴b2-4ac=(-2)2-4×4×=0,故此方程有两个相等的实数根.第五十页，共125页。2.(2017·益阳中考)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=1,x2=-1,那么下列结论一定成立的是()世纪金榜导学号16104113A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0第五十一页，共125页。【解析】选A.因为方程有两个不相等的根,所以b2-4ac>0.第五十二页，共125页。3.(2017·咸宁中考)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第二象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断第五十三页，共125页。【解析】选B.∵点P(a,c)在第二象限,∴ac<0,∵a≠0,∴Δ=b2-4ac>0,故原方程有两个不相等的实数根.第五十四页，共125页。4.(2017·攀枝花中考)关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是()世纪金榜导学号16104114A.m≥0 B.m>0C.m≥0且m≠1 D.m>0且m≠1第五十五页，共125页。【解析】选C.∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,∴m-1≠0且Δ≥0,即22-4×(m-1)×(-1)≥0,解得m≥0,∴m的取值范围是m≥0且m≠1.第五十六页，共125页。【变式训练】(2016·抚顺中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2-x+1=0有实数根,则a的取值范围为________.第五十七页，共125页。【解析】∵一元二次方程(a-1)x2-x+1=0有实数根,∴a-1≠0即a≠1,且Δ≥0,即有Δ=(-1)2-4(a-1)×1=5-4a≥0,解得a≤,∴a的取值范围是a≤且a≠1.答案:a≤且a≠1第五十八页，共125页。考点四一元二次方程根与系数的关系【例4】(1)(2017·内江中考)设α,β是方程(x+1)(x-4)=-5的两实数根,则=______.第五十九页，共125页。(2)(2017·鄂州中考)关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.世纪金榜导学号16104115①求实数k的取值范围.②设方程的两个实数根分别为x1,x2,存不存在这样的实数k,使得|x1|-|x2|=?若存在,求出这样的k值;若不存在,说明理由.第六十页，共125页。【思路点拨】(1)将方程整理为一般形式→求出α+β和αβ→通分→用α+β和αβ表示→结果.(2)①原方程有两个不等实根→Δ>0→k的范围.②将|x1|-|x2|=去掉绝对值→两边平方→得关于k的方程→k的值.第六十一页，共125页。【自主解答】(1)原方程可化为:x2-3x+1=0,则α+β=3,αβ=1,则=答案:47第六十二页，共125页。(2)①根据题意,得b2-4ac>0.∴-4×1×(k2-2k+3)>0.解得k>,即实数k的取值范围是k>.第六十三页，共125页。②存在.由根与系数的关系,得x1+x2=2k-1,x1x2=k2-2k+3.∵k2-2k+3=(k-1)2+2>0,即x1x2>0,∴x1,x2同号.∵x1+x2=2k-1,k>,∴x1+x2>0.第六十四页，共125页。∴x1>0,x2>0.∵|x1|-|x2|=,∴x1-x2=.∴(x1-x2)2=5,即(x1+x2)2-4x1x2=5.∴(2k-1)2-4(k2-2k+3)=5.解得k=4.第六十五页，共125页。∵k>,∴k的值为4.第六十六页，共125页。【名师点津】1.利用根与系数的关系的两个前提条件(1)二次项的系数a≠0.(2)方程有实数根.第六十七页，共125页。2.根与系数关系的三个应用(1)已知方程的一根求另一根及未知的一个系数.(2)求某些固定代数式的值.(3)与根的判别式综合运用.第六十八页，共125页。【题组过关】1.(2017·呼和浩特中考)关于x的一元二次方程x2+x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为世纪金榜导学号16104116()A.2B.0C.1D.2或0第六十九页，共125页。【解析】选B.根据“根与系数的关系”x1+x2=,∴-(a2-2a)=0,解得:a1=0,a2=2(舍去),∵当a=2时,原方程为x2+1=0是无解的.第七十页，共125页。2.(2017·绵阳中考)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为()A.-8B.8C.16D.-16第七十一页，共125页。【解析】选C.∵关于x的方程2x2+m+n=0的两个根是-2和1,∴∴m=2,n=-4,∴nm=(-4)2=16.第七十二页，共125页。3.(2017·泰州中考)方程2x2+3x-1=0的两个根为x1,x2,则的值等于________.世纪金榜导学号16104117第七十三页，共125页。【解析】根据根与系数的关系可知,

答案:3第七十四页，共125页。4.(2017·荆门中考)已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1,x2,则=______.【解析】由根与系数的关系,得x1+x2=-5,x1x2=1.∴=(x1+x2)2-2x1x2=(-5)2-2×1=25-2=23.答案:23第七十五页，共125页。【知识拓展】根与系数关系常见的五种恒等变形第七十六页，共125页。【变式训练】(2016·眉山中考)设m,n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根,则m2+3m+n=________.第七十七页，共125页。【解析】∵m,n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根,∴m+n=-2.∵m是原方程的根,∴m2+2m-7=0,即m2+2m=7,∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7-2=5.答案:5第七十八页，共125页。5.(2017·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.世纪金榜导学号16104118(1)求证:方程有两个不相等的实数根.(2)如果方程的两实数根为x1,x2,且-x1x2=7,求m的值.第七十九页，共125页。【解析】(1)Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8>0.∴原方程有两个不相等的实数根.第八十页，共125页。(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=m-3,x1x2=-m.∵-x1x2=7,∴(x1+x2)2-3x1x2=7.∴(m-3)2-3×(-m)=7.解得m1=1,m2=2.∴m的值为1或2.第八十一页，共125页。考点五一元二次方程的应用【考情分析】一元二次方程的应用层级为能列一元二次方程解决实际问题,在各地中考中均有体现,是一元二次方程中的一个重要考向,主要考查点有平均增长(降低)率问题、几何图形面积问题、商品利润问题等.第八十二页，共125页。命题角度1:平均增长(降低)率问题【例5】(2017·烟台中考)今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2015年单价为200元,2017年单价为162元.世纪金榜导学号16104119第八十三页，共125页。(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率.(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:第八十四页，共125页。试问去哪个商场购买足球更优惠?【思路点拨】(1)根据“2015的单价×(1-降低的百分率)2=2017的单价”列方程求解.(2)分别计算两个商场的总收费,作出判断.第八十五页，共125页。【自主解答】(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.根据题意,得200(1-x)2=162.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.第八十六页，共125页。(2)到A商场购买91个足球,赠送9个足球,共100个足球,总价=91×162=14742元.到B商场购买总价=100×162×0.9=14580元.∵14580<14742,∴去B商场购买足球更优惠.第八十七页，共125页。【母题变式】本题中在A商场购买99个足球的费用可在B商场购买多少个足球?提示:100个.90×162÷(162×0.9)=100.第八十八页，共125页。命题角度2:几何图形面积问题【例6】(2016·赤峰中考)如图,一块长5米宽4米的地毯,为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的.第八十九页，共125页。(1)求配色条纹的宽度.(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价.第九十页，共125页。【思路点拨】(1)设条纹的宽度为x米,根据条纹的面积占总面积的列方程求解.(2)分别计算条纹造价和其余部分造价再求和.第九十一页，共125页。【自主解答】(1)设条纹的宽度为x米.依题意得2x×5+2x×4-4x2=×5×4,解得:x1=(不符合,舍去),x2=.答:配色条纹的宽度为米.第九十二页，共125页。(2)条纹造价:×5×4×200=850(元),其余部分造价:(1-)×4×5×100=1575(元),∴总造价为850+1575=2425(元).答:地毯的总造价是2425元.第九十三页，共125页。【母题变式一】

若把题中的条纹改成弯曲的形状(如图,但宽度始终相等).如何求条纹的宽度.第九十四页，共125页。提示:设条纹宽度为x米,将条纹部分移走,其余部分正好拼成一个长为(5-2x)米,宽为(4-2x)米的长方形,且其面积为地毯面积的.故列方程(5-2x)(4-2x)=5×4×,解得x1=,x2=(不合题意,舍去).∴条纹宽度为米.第九十五页，共125页。【母题变式二】(2015·襄阳中考)如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?第九十六页，共125页。提示:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m,由题意得x(25-2x+1)=80,化简,得x2-13x+40=0,解得:x1=5,x2=8,当x=5时,26-2x=16>12(舍去),第九十七页，共125页。当x=8时,26-2x=10<12.答:所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.第九十八页，共125页。命题角度3:与涨价、降价有关的商品利润问题【例7】(2017·眉山中考)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.世纪金榜导学号16104120第九十九页，共125页。(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品.(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?第一百页，共125页。【思路点拨】(1)设此批次蛋糕属于第x档,则“原利润+2(增加后的档次-1)=后来的利润”列方程.(2)根据“每件的利润×件数=总利润”列方程求解.第一百零一页，共125页。【自主解答】(1)设此批次蛋糕属于第x档次产品,则10+2(x-1)=14,解得x=3.答:此批次蛋糕属于第3档次产品.(或:∵+1=3,∴此批次蛋糕属第3档次产品.)第一百零二页，共125页。(2)设该烘焙店生产的是第y档次的产品,根据题意,得[10+2(y-1)][76-4(y-1)]=1080,解之,得y1=5,y2=11(舍去).答:该烘焙店生产的是第5档次的产品.第一百零三页，共125页。【母题变式】(改变问法)该店生产的第几档产品利润最大.第一百零四页，共125页。提示:设总利润为w,则w=[10+2(y-1)][76-4(y-1)]w=-8y2+128y+640,当y=时利润最大,此时y=8,而产品只有六个档次,故第六档次产品利润最大.第一百零五页，共125页。【名师点津】1.增长率问题的有关公式增长数=基数×增长率;实际数=基数+增长数.(1)两次增长,且增长率相等的问题的基本等量关系式为:原来的×(1+增长率)2=后来的.第一百零六页，共125页。(2)如果是下降率,则上述关系式为:原来的×(1-下降率)2=后来的.2.与几何图形有关的计算问题解题关键是依据几何图形的性质寻求问题中的等量关系.第一百零七页，共125页。3.商品利润问题利润=售价-进价=进价×利润率.总利润=单位利润×销售量.第一百零八页，共125页。【题组过关】1.(2017·安徽中考)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足()A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16第一百零九页，共125页。【解析】选D.一种药品原价每盒25元,两次降价的百分率都为x,所以第一次降价后的价格用代数式表示为25(1-x)元,第二次降价后的价格用代数式表示为25(1-x)(1-x)=25(1-x)2,根据题意可列方程25(1-x)2=16.第一百一十页，共125页。2.(2016·台州中考)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是世纪金榜导学号16104121()A.x(x-1)=45 B.x(x+1)=45C.x(x-1)=45 D.x(x+1)=45第一百一十