湖北省黄冈市罗田县高二数学下学期6月月考试题

-1-湖北省黄冈市罗田县2021-2022学年高二数学下学期6月月考试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是A.1，-1 B.1，-17 C.3，-17 D.9，-19【答案】C【解析】【分析】本题考点是导数法求函数最值，属于基础题．

求导，用导数研究函数f(x)=x3-3x+1【解答】解：令f'(x)=3x2-3=0，x=±1，

故函数f(x)=x3-3x+1在[-3,-1]上是增函数，在[-1,0]上是减函数，

又f(-3)=-17，f(-1)=3，f(0)=1．

故最大值、最小值分别为

甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立．那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是(    )A.0.06 B.0.24 C.0.56 D.0.94【答案】A【解析】【分析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查对立事件的概率关系，属于中档题．

求得甲气象台预报不准确的概率为(1-0.8)，乙气象台预报不准确的概率为(1-0.7)，相乘即得所求．【解答】解：甲气象台预报不准确的概率为(1-0.8)=0.2，乙气象台预报不准确的概率为(1-0.7)=0.3，

故在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是：0.2×0.3=0.06，

故选：A．

如果数据x1、x2、…、xn的平均值为x-，方差为s2，则3x1+2、3A.x-和s2 B.3x-+2和9s2

C.3【答案】B【解析】【分析】本题考查均值的性质以及方差的性质，属于基础题．

根据均值的定义和性质求出新数据的平均值，根据方差的定义和性质求出新数据的方差．【解答】解：因为x1、x2、…、xn的平均值为x-，

所以3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值为3(x1+x2+⋯+xn)n+2=3x-+2，

因为x

对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2A.由样本数据得到的回归方程y=bx+a必过样本中心x,y

B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好

D.若变量y和【答案】C【解析】【分析】本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，关键在于掌握线性回归方程的计算和思想，属基础题．【解答】解：A：样本中心点在回归直线上，正确；B：残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确，C：R2D：当|r|的值大于0.8时，表示两个变量具有高度线性相关关系，正确．

已知函数y=f(x) (x∈R)的图象如图所示，则不等式xf'x<0的解集为(

A.(-∞,0)∪(13,2) B.-∞,13⋃1【答案】A【解析】【分析】本题考查不等式求解，涉及导数研究函数的单调性，函数的图象的应用，属于基础题．

根据函数的单调性和f'(x)的正负关系即可求解．【解答】解：由f(x)图象单调性可得，

当x

∈(-∞，

13)∪(2，+∞)时，f'(x)>0，

当x

∈(

13，2)时，f'(x)<0，

∴xf'(x)<0等价于

x<0f'(x)>0或

x>0f'(x)<0,

∴xf'(x)<0的解集为(-∞,0)∪(

13

音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数y=Asinωx的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如二分之一､三分之一…)也在振动，所以我们听到声音的函数是y=sinx+12sin2x+1A.32 B.1 C.3​3【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及最值，考查了二倍角公式，属于中档题．

首先确定函数的周期，接着利用导数研究函数在一个周期内的最大值即可．【解答】解：y=sinx+12sin2x，最小正周期为2π，只需求函数在[0,2π]上的最大值．

令y'=cosx+cos2x=0，即2cos2x+cosx-1=0，解得：x=π3或x=π或x=5π3．

当x∈(0,π3)时，y'>0；当x∈(π3,π)时，y'<0；当x∈(π,5π3)时，y'<0；当x∈(5π3,2π)

著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的性质来琢磨函数图象的特征，则下图最有可能是下列哪个函数的草图(

)A.y=lnxx2 B.y=lnxx【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数判断函数单调性，属于中档题．【解答】解：由图象知：定义域为xx≠0，4个选项均满足；函数为偶函数，

令f(x)=x3lnx令g(x)=lnxx2，g(-x)=lnxx2=g(x)，A符合，同理可得B对于A，x>0时，y=lnxx2，则y'=1x⋅x2对于B，x>0时，y=lnxx，则y'=1x⋅x-lnxx对于C，x>0时，y=xlnx，则y'=1x⋅x+lnx=1+lnx

已知函数f(x)=lnx,x>11-x3,x≤1，若函数y=f(x)-a(x-1)恰有三个零点，则实数aA.-34,0 B.-∞,-34 【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数零点问题，属中档题．【解答】解：函数f(x)=lnx,x>1

①当直线y=ax-1与曲线y=lnx相切于点1,0时，故当a=0或a≥1时，直线y=ax-1与函数f(x)的图象恰有一个交点，当0<a<1时，直线y=ax-1与函数f(x)的图象恰有两个交点，②当直线y=ax-1与曲线y=1-设切点为x0,1-x0∴-3x02x0-1=1-x0当-34<a<0时，直线y=ax-1当a=-34或a≤-3时，直线y=ax-1与函数当-3<a<-34时，直线y=ax-1与函数综上a的取值范围是-3,-3

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传这四个项目，每人限报其中—项，记事件A为“四名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则下列结论中正确的有(

)A.PAB=3128 B.PB=【答案】AC【解析】【分析】本题考查条件概率，属基础题．

根据已知利用条件概率公式直接求解．【解答】解：由已知有PB=3344=27256，P

下列命题中，正确的命题是(    )A.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30,D(X)=20，则p=23

B.若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为(2,3)，则回归直线的方程为y=0.25x+2.5

C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若p(ξ>1)=p，则p(-1<ξ<0)=12-p

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强．

A.直接利用二项分布的期望与方差关系列出关于n，p的方程求解即可．

B.根据回归直线方程的性质得出B选项正确．

C.根据正态分布的概率计算进行求解．

D.根据二项分布的概率的性质进行求解判断即可．【解答】A.随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，可得np=30，np(1-p)=20，则p=13，故A错；

B.由题意得回归直线方程为：y=0.25x+2.5，故B正确；

C.随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则图象关于y轴对称，若P(ξ>1)=p，则P(0<ξ<1)=12-p，即P(-1<ξ<0)=12-p，故C正确;

D.∵在10次射击中，击中目标的次数为X，满足X∽B(10,0.8)，

∴对应的概率P(X=k)=C10k×0.8k×0.210-k

当k≥1时，k∈N*时，

P(X=k)P(X=k-1)=C10k⋅0.8k

下列命题中是真命题有(    )A.若f'x0=0，则x0是函数fx的极值点

B.函数y=fx的切线与函数可以有两个公共点

C.函数y=fx在x=1处的切线方程为2x-y=0，则当Δx→0时，f1-f1+Δx2Δx=1【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查的是导数的综合应用，属于基础题．

可结合反例逐个排除判断．【解答】解：选项A，若f '(x0)=0，x0不一定是函数f (x)的极值点，例如函数fx=x3，f'0=0，但x=0不是极值点，故A错误；

选项B，函数y=f (x)的切线与函数可以有两个公共点，

例如函数fx=x3-3x，在x=1处的切线为y=-2，与函数还有一个公共点为(-2,-2)，故B正确；

选项C，因为函数y=f (x)在x=1处的切线方程为2x-y=0，所以f'1=2，

又

=-12f'1=-1≠1，所以C错误；

选项D，因为函数f (x)的导数f '(x)<1，

则f'x-1<0，即fx-x-1'<0，

令gx=fx-x-1，则g'x

设函数f(x)=xln x，g(x)=12A.若方程f(x)=k有两个不同的实数根，则k∈(-1e,0)；

B.若方程恰好只有一个实数根，则k <0；

C.若x1 >x2 >0，总有m[g(x1)-g(【答案】ACD【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系、恒成立问题以及函数的极值．

对于AB，利用求导判断函数的单调性得到其大致图象，利用y=k与函数图象的交点得到所求；对于C，将不等式恒成立，等价转化为mgx1-fx1>mgx2-fx2恒成立，从而构造函数y=mg(x)-f(x)【解答】解：对于A，f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=lnx+1，

令f'(x)>0，得到x>1e，令f'(x)<0，得到0<x<1e，

所以f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，

∴fxmin=f(1e)=-1e，且当x→0时，fx→0，

又f(1)=0，从而要使得方程f(x)=k有两个不同的实根，即y=f(x)与y=k有两个不同的交点，

所以k∈(-1e,0)，故A正确；

对于B，易知x=1不是该方程的根，

当x≠1时，f(x)≠0，方程kfx=x2有且只有一个实数根，等价于y=k和只有一个交点，

y'=lnx-1lnx2，又x>0且x≠1，

令y'>0，有x>e，令y'<0，有0<x<1或1<x<e，

所以函数在(0,1)和(1,e)单调递减，在(e,+∞)上单调递增，

x=1是一条渐近线，极小值为e．

由大致图象可知当k<0或k=e时y=k和只有一个交点，故B错；

对于C，

当x1>x2>0时，mgx1-gx2>fx1-fx2恒成立，

等价于mgx1-fx1>mgx2-fx2恒成立，

即函数y=mg(x)-f(x)在(0,+∞)上为增函数，

所以恒成立，

即在(0,+∞)上恒成立，

令，则，

令r'x>0得0<x<1，令r'x<0得x>1，

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）某校高二女生的身高X近似服从N165,16，若PX≤161=0.15，则PX≤169【答案】0.85【解析】【分析】本题考查正态分布，属于基础题，

根据正态分布的性质求解．【解答】解：由题意得P(X≤161)=P(X⩾169)=0.15，

所以P(X≤169)=1-0.15=0.85

故答案为0.85．

已知n∈N*，满足Cn0+2Cn【答案】30【解析】【分析】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于中档题．

先利用二项式定理求出n的值，再利用通项公式求出需要的系数．【解答】解：∵n∈N*，满足Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=243，

∴(1+2)

设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=59,则D(3Y+1)=

.【答案】6【解析】【分析】本题考查方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．

​由二项分布得P(X≥1)=1-P(X=0)=59，从而P=13，进而Y～B(3,​​​​​​​13)，由此先求出D(Y)，从而能求出D(3【解答】解：因为P(X≥1)=59,

所以P(X=0)=1-59=49,

即P(X=0)=C20(1-p)2=49，则p=13,

又随机变量Y~B(3,p),

所以D(Y)=np(1-p)=3×13×23=23,

所以D(3Y

设函数f(x)=x2+1x，g(x)=xex，对任意x1，x2【答案】[【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法进行转化，结合基本不等式以及求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．

利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数f(x)的最小值，利用导数法求出函数g(x)的最大值，利用最值关系进行求解即可．【解答】解：对任意x1，x2∈(0,+∞)，不等式g(x1)k⩽f(x2)k+1恒成立，等价为g(x1)f(x2)≤kk+1恒成立，

f(x)=x2+1x=x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，即f(x)的最小值是2，

由g(x)=xex，则g'(x)=ex-xex(ex)2=1-x

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）在二项式(x-2x)12的展开式中．

(Ⅰ)求展开式中含x3项的系数；

(Ⅱ)如果第3k【答案】解：(Ⅰ)展开式中第r+1项是

Tr+1=C12rx12-r2-2xr=(-2)rC12rx6-32r，

令6-32r=3，

解得r=2；

∴展开式中含x3项的系数为(-2)2C12【解析】本题考查二项式定理的应用问题，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．

(Ⅰ)根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；

(Ⅱ)由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；

(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；

(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．【答案】解：(1)甲、乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有A22种，

剩余两棒从余下的6个人中选两人的排列有A62种，

故有A22A62=60种.

(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，

需要从甲乙两个人中选出一个参加，且从第一棒和第四棒中选一棒，有C21C21种，

另外6个人选3人跑剩余3棒，有A63种，

故有C21C21【解析】本题考查排列组合的综合应用，属于中档题．

(1)甲、乙两人跑中间两棒，甲乙两人排列，再从余下的6个人中选两人排列．

(2)从甲乙两个人中选出一个参加，且从第一棒和第四棒中选一棒，另外6个人选3人跑剩余3棒．

(3)甲乙两人相邻两人排列，其余6人选两人和甲乙组合成三个元素全排列．

已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R)．

(1)当a=2时，求函数f(x)的极值；

(2)若对∀x∈(0,+∞)，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，

a=2时，f(x)=2x-lnx，f'(x)=2-1x=2x-1x，

令f'(x)>0，解得：x>12，令f'(x)<0，解得：0<x<12，

故f(x)在(0,12)单调递减，在(12,+∞)单调递增，

故f(x)极小值=f(12)=1+ln2，无极大值；

(2)若f(x)>0恒成立，则a>lnxx(x>0)，

令g(x)=lnxx(x>0)，则g'(x)=1-lnx【解析】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，构造函数，属于中档题．

(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；

(2)若f(x)>0恒成立，分离参数，构造函数求最值，即可求a的取值范围．

甲、乙两人同时参加奥运志愿者的选拔赛，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望；(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．【答案】【答案】解：(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0，1，2，3，则P(ξ=0)=C43P(ξ=2)=C62∴ξ的分布列为ξ0123P1311

甲答对试题数ξ的数学期望为E(ξ)=0×1(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=23，因为事件A、B相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P(A∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P(A答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为4445

另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A⋅B答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44【解析】本题考查离散型随机变量的分布列及期望，独立事件概率的求解.属于中档题．

共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．(1)设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y.若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=1.5x+15，且年龄x的方差为sx2=9，评分y的方差为sy2=25.求y与x的相关系数r(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”