2021年上海高考数学冲刺直通车03函数（详解）（教师版）

考点03函数

，命题趋势)

函数是高考每年的必考内容，函数一直是高考的热点和重点，客观题以考查函数的基本性质为主，解

答题常与其他知识结合起来进行考查.

，考点考向1

一、函数及其性质

1.函数的概念

设A,B是两个非空数集,如果按照确定的法则了,对A中的任意数x,都有唯一确定的数y

与它对应，那么就称£上且为从集合A到集合B的一个函数，记作y=/(x),xGA.

2.函数的定义域'值域

(1)函数y=/U)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合

=/U),xGA)叫做这个函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则,这种函数称为

分段函数.

(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

5.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

设函数y=/U)的定义域为A,区间如果取区间M中任

定义意两个值Xi，%2，改变量AX=%2—占＞0，则当

△y="2)—/UD>0时,就称△y=/U2)—/Ui)<0时,就称函数

函数)=.*X)在区间M上是增y=«x)在区间M上是减函数

函数

//(如)

图象:火阳)；fix2)

-O|""^2*

亢*

描述-opi_

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

⑵如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单

调性，区间M称为单调区间.

6.函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意尤£/,都有ZU)WM；(3)对于任意xG/,都有

条件

(2)存在x()£/,使得7U))=M(4)存在的仁/，使得/UQ)=M

结论M为最大值M为最小值

7.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

设函数y=/(x)的定义域为。，如果对。内的任意一个

奇函数X,都有一xG。，且x)=—ZU),则这个函数叫做关于原点对称

奇函数

设函数y=g(x)的定义域为。，如果对。内的任意一

偶函数个龙，都有一Xd。，且。一幻=。幻,则这个函数叫关于y轴对称

做偶函数

8.函数的周期性

⑴周期函数：对于函数y=/U),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，

都有/U+T)=/U),那么就称函数y=/U)为周期函数，称T为这个函数的周期.

⑵最小正周期：如果在周期函数/U)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数

就叫做/U)的最小正周期.

二、一次函数、二次函数与指对幕函数的图象与性质

1.鬲函数

(1)备函数的定义

一般地，形如正£的函数称为幕函数，其中x是自变量，a为常数.

⑵常见的5种事函数的图象

(3)疑函数的性质

①基函数在(0,十8)上都有定义；

②当a>0时，塞函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，幕函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

⑴二次函数解析式的三种形式：

一般式：依)=/+fev+c(aW0).

顶点式：.*x)=a(x—〃2尸+”(。#0),顶点坐标为(〃?，〃).

零点式：_/U)=a(x—xi)(x—MXaWO),x\,检为/U)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

3.根式

n

⑴概念：式子、仿叫做根式,其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

nnn

（2）性质：（5），=4（。使g有意义）；当n为奇数时，亚=4,当n为偶数时，亚=同=

<

、一。，。<0・

4.分数指数塞

m旦_

⑴规定：正数的正分数指数累的意义是成=立（。〉0,加，〃eN+,且〃〉1）；正数的负分数指

m1

数幕的意义是，：=:（。>0,加，“CN+,且心1）；0的正分数指数幕等于0；0的负分数指数

标

幕没有意义.

⑵有理指数幕的运算性质：区排=/2；（0殖=f；（"）,=这,其中。>0,。>0,r,SWQ.

5.指数函数及其性质

⑴概念：函数y="（a〉0且aWl）叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a

是底数.

（2）指数函数的图象与性质

a>\0<a<l

11,

图象J04)K__.y=l—平)一产I

O|~1~o|~T~^

定义域R

值域(0,+8)

过定点（0,1）,即x=0时，y=1

当x>0时，y>l；当x<0时，y>l；

性质

当x<0时，0<y<l当x〉0时，0<y<l

在（一8,+8）上是增函数在（一8,十8）上是减函数

6.对数的概念

一般地，对于指数式心=N,我们把“以。为底N的对数记作12&&,即b=lo&N（a>。，且

aWl）.其中，数里叫做对数的底数，”叫做真数，读作“。等于以a为底N的对数”.

7.对数的性质、换底公式与运算性质

⑴对数的性质：①*gd=&；②log“/=b(a〉0,且aWl).

⑵对数的运算法则

如果。〉0且aWl,M>0,N>0,那么

①log"(M7V)=log*/+log.

Af

②10g“R=lOgqM—lOgqM

③log,"'=〃lo&MSeR)；

④log”〃?—=丁og“M>,〃£R,且加WO).

⑶换底公式：leg世三髓(m匕均大于零且不等于1).

8.对数函数及其性质

(1)概念：函数y=log”x(a>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,

+°0).

(2)对数函数的图象与性质

a>\0<a<l

)•

],1尸lo&AV=1

图象41,0)4

o

1)=logi

定义域：(0,+8)

值域：R

当x=l时，y=0,即过定点(1,0)

性质

当x>l时，y>0；当x>l时,y<0；

当0<x<l时，><0当0<x<l时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

9.反函数

指数函数y=/3>0,且a#l)与对数函数以2g甚(。>0,且。#1)互为反函数，它们的图象关

于直线y=x对称.

10.利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周

期性、对称性等）；（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点

等），描点，连线.

11.利用图象变换法作函数的图象

⑴平移变换

|吃）+」|

上个单位

移

ML＜」：：单M丑…）।

下

移A〃＞0）个单位

I

⑵对称变换

y=*x）的图象——关于坤I对称一»y=一/U）的图象:

y=*x）的图象——关于“轴对称»y=U—x）的图象:

y=/U）的图象-----关于原点对称----»v=—"一x）的图象；

y="（a〉O,且aWl）的图象一关于直线了=尤对称》丫=10二壮（丁〉0,且。工1）的图象.

（3）伸缩变换

纵坐标不变

y=/U）----------------------;----------^y=Aajc）.

各点横坐标变为原来的£（。＞0）倍

横坐标不变

y=於）-----------------------------------=A/2.

各点纵坐标变为原来的A（A〉O）倍

（4）翻折变换

x轴下方部分翻折到上方

y=/（x）的图象一」十——》，=此创的图象；

x轴及上万部分不变

y轴右侧部分翻折到左侧

y=/"）的图象七二二八上玷上/向才加》丁=«的图象.

原y轴左侧部分去掉，右侧不变

三、函数的综合运用

1.函数的零点

（1）函数零点的概念

如果函数y=y（x）在实数a处的值等于雯，即4a）=0,则a叫做这个函数的零点.

（2）函数零点与方程根的关系

方程危）=0有实数根=函数y=於）的图象与小|有交点Q函数y=段）有零点.

（3）零点存在性定理

如果函数y=/U）在区间口，句上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号,即

.血）画<0,则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点的6（。，b）,使y（xo）=O.

2.二次函数尸加+b:+c3>0）的图象与零点的关系

A=tr—AacJ>0J=0/<0

二次函数V

一

1AM

y=ax-\-hx+cV

0]■户2元

（。〉0）的图象

与X轴的交点3，0）,（也，0）3,0)无交点

零点个数210

3.指数、对数'募函数模型性质比较

函数y=ay=logM尸/

性质(«>1)(。>1)(n>0)

在（0,+°°）

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表随n值变化

图象的变化

现为与y轴平行现为与X轴平行而各有不同

4.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型j(x)=ax+b(a、h为常数，a#0)

二次函数模型j{x}=ajc+bx+c{a,b,c为常数，aWO)

与指数函数

j{x}=ba+c{a,b,c为常数，a>0且a#l,bWO)

相关模型

与对数函数

j{x)=b\o%ax+c(a,b,c为常数，a〉0且aWl,0W0)

相关模型

与暴函数fix)=a^+b(a,b,〃为常数，aWO)

一、单选题

1.(2020.上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中)下列函数中既是奇函数，又在区间卜1,1］上单调

递减的是()

A./(x)=(g)，B./(x)=lg|x|C.f(x)=-xD./*)=1

【答案】C

【分析】根据函数的单调性和奇偶性，排除选项得到答案.

【详解】

A./(%)=(1)\非奇非偶函数，排除：

B.f(-x)=1g|-x|=1g|x|=f(x),函数为偶函数,排除：

C./(-x)=x=—/(x),函数为奇函数，且单调递减，正确；

D.y(-x)=--=-/(%),函数为奇函数，在［—1,0)和(0,1］单调递减，排除.

X

故选：C

【点睛】熟悉函数的单调性和奇偶性是解题关键.

2.(2020・上海高三专题练习)函数/(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0］上是减函数且/(2)=0,则使

的x的取值范围().

A.(—8,2)B.(2,+co)C.(―oo,—2)D(0,2)D.(—2,2)

【答案】C

,x>0［x<0

【分析】由函数的单调性和奇偶性可得/。)<0、/(x)>0的解，转化条件为乙、八或乙、八

即可得解.

【详解】因为函数/(幻是定义在R上的偶函数，且在(f0,0］上是减函数，f(2)=o,

所以函数f(x)在((),+8)上单调递增，/(-2)=/(2)=0,

所以当XG(2,+»)(—,—2)时，f(x)>0,当xw(—2,2)时，/(x)<0,

x>0x<0

不等式犷'。)<0等价于或4°八，解得工<一2或0cx<2.

l/W<0-|[/U)>0

所以使xf(x)〈。的x的取值范围为(―,一2)5。，2).

故选：C.

3.(2020・上海南汇中学高三期中)下列函数中，在其定义域上是减函数的是()

1

A.y=——B.y=%2+2x

x

—x+2,%W0

D.y=<

—x—2,x>0

【答案】D

【分析】由复合函数单调性的判断，结合指数函数、基函数的单调性可判断AC,结合二次函数的性质可判

断B,由一次函数的单调性可判断D.

【详解】解：A:因为y为减函数，所以丁=一4为增函数；

XX

B:y=d+2x对称轴为x=-l,图象开口向上，所以在(―1,+幻)上为增函数;

C:因为y=在定义域上为减函数，所以y=—在定义域上为增函数;

D:当xVO时，y=-x+2为减函数，当x>0时，y=一%—2为减函数，且2>-2,

-x+2,x<0

所以y=<在定义域上.为减函数.

—九一2,x>0

故选:D.

4.(2020•上海市南洋模范中学高三期中)已知函数/(x)=x2.sinx各项均不相等的数列｛%,｝满足

1%区g(i=l,2,3,,〃).令/(〃)=(3+w+L+X„)-[/(X1)+/(JC2)+L+/(X“)](〃GN*).给出下列三

个命题：(1)存在不少于3项的数列｛七｝,使得尸(〃)=0；(2)若数列[x„]的通项公式为x„=(-1)n(«eN*),

则/(2左)>0对左wN*恒成立；(3)若数列｛玉｝是等差数列，则F(〃)NO对〃eN*恒成立，其中真命题的

序号是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

jr

【分析】由题意，函数/(x)=d.sinx是奇函数，只需考行函数在xe0,-的性质，此时y=/，y=sinx

都是增函数，所以/(x)=x2.sinx在xe上也是增函数，即石+/。0时,

TT7T

%

(玉+工2〉"(工1)+/(毛)]>0，对于(1),-y<X,=~f<y2=0，即可判断；对于(2),运用等比

数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于(3),运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结

合函数/0)的单调性，即可判断；

【详解】

由题意得/(-%)=(-x)2-sin(-x)=-x2-sinx=-/(x),所以/(x)=xLsinx是奇函数，只需考查函数在

rcTC

xe0,—的性质，此时丁=k，y=sinx都是增函数，所以/(幻=/小诂》在xe0,—上也是增函数,

冗冗兀冗

即函数/(x)=f.sinx在xe上也是增函数，设-y,—

若办+9<。,则王(一々,.•./(%)</(—9)=—/(9),即/(玉)+/(赴)<。

若办+工2>。,则玉>一9,•.•/(%)>/(—又2)=—/(工2)，即/(石)+/(七)>。

所以XI+A2Ho时，(%+^2)-[/(^)+/(^2)]>0,

JT7T

对于(I),取一,4玉=一七4耳，々=0,F\3)=(玉+々+刍),"(％)+/(%)+/(七)]=0,故(1)正

对于(2),Qx.=("ZEN)

.\X]+%2+L+%=

2(21)

又/(wH+Aj)

/1

+sin—

l2；

则y=-4sin=Tsin2a+sin。

=-8sinacoscz+sincz=sina(l-8cosa)

又女EN*，知0<a<一,则sina>0,cos—Wcosavl,则一7<1-8cosa41-8cos一,

444

八九(717TA7T71.71.715/2+yf61

Qcos—=cos-----=cos—cos--Fsin—sin—=--------->一，

12(34)343448

乂y=cosx在f0,工)上单减，.,.cosL>cos2,B|Jcos—>-,?.l-8cos—<0

I2J412484

.,.sina(l-8cosa)<0,即Tsin[g)+sin(；)<0，则)+/(wJ<0，

由k的任意性可知,)+f(x2)+L+f(x2k)<0,

又X]+%+L+%«<0,所以？(2左)=(%+工2+1+工2%>[/(七)+/(工2)+1+./'(工2*)]>0，故(2)正

确；

对于(3),数列｛x,J是等差数列,

若不+々++X"=0,则/(")=0：

若不+x,,>0,即七>一天，又八外是奇函数也是增函数有7口0壬门一工小二一/"“)，可得

/(x,)+/(x„)>0：同理：

X

若兀2+当-1>。，可得f(2)+fU„.1)>0：

若毛+Xn-2>0，可得，⑷+/U„,2)>0;

相加可得：若不+&+L+X“>0,可得/(玉)+/(看)+1+/(%“)>0,即E⑺>0;

同理若X+w+L+xn<0,可得/(X1)+/(%2)+L+/(X„)<0,即F(")>o,故⑶正确；

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函数的

单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力,

属于难题.

5.（2020•上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知=~-（2>0）.若对于任意（2,4）,总存在正

数加，使得/（—根）+〃"m）=。成立，则实数2的取值范围是（）

A.（0,4]B.（0,4）C.（0,16）D.（0,16]

【答案】C

【分析】分析函数”X）为奇函数，由/（一加）+/。+加）=。推导出一病有解，求得加的取值范

围，进而可求得正实数2的取值范围.

【详解】当2>0时，函数/（x）=正W的定义域为｛x\x丰0｝，f（—X）=㈢三=一立2=二/〈X），

%—XX

所以，函数/（X）为奇函数.

/（%）=%--,则函数/（X）在区间（一8,0）和（0,+8）上均为增函数，

c/、八/\几4444（X7—M）

若芯W%2且，即％---=X2----，即玉—工2=-------=----------，

%x2Xx%2x｛x2

所以，4=一％%,

对于任意，«2,4）,总存在正数〃2,使得/«-加）+〃，+加）=0成立，

则/（，+加）=—f（t—m）=/（m—f）,：,A=—（t+m）（m—7）=t2—m2>0,

/.rG（2,4）,m>0,：,m<t,即有Ovm42,

:.A=t2—zn2G（0,16）,

故选：c.

【点睛】对于函数的新定义的问题，应准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我

们熟知的函数的基本性质的问题.

6.（2020•徐汇区•上海中学高三期中）给出下列命题：

⑴若|/（x）+/。2）*（x）-g（x\]对任意X,工2eR恒成立，且y=/（x）是奇函数，则函数丁=g（x）

也是奇函数；

(2)若|/(内)一/(%2)以g(%)-g(X2)l对任意X|，WeR恒成立，且y=/(x)是周期函数，则函数

y=g(x)也是周期函数;

(3)若1/(%)-/(%)|>|g(X,)—g(X2)I对任意不相等的实数不、々恒成立，且y=/(x)是R上的增函

数，则函数y=/(x)+g(x)与函数y=/(x)-g(x)也都是R上的单调递增函数；

(4)若|/(x)4(x)1|凝/长功2对任意Xi,^eR恒成立，且y=/(x)在R上有最大值和最小值,

则函数y=g(x)在R上也有最大值和最小值；

其中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】(1)根据已知条件，依据函数的奇偶性，周期性的定义，不难证明48正确；根据函数单调性的定

义，结合不等式的性质可以证明C；根据已知条件和/(x)既有最大值又有最小值的定义，利用不等式的基本

性质，可以证明g(x)既有最大值又有最小值.

【详解】

对于(1),取%=x,%2=-x,则|/(x)+/(—x)以g(x)+g(-y=/(x)是奇函数，

•••/(x)+/(-x)=0,:.02|g(x)+g(_x)|,.*.g(x)+g(—x)=0,.・.g(x)为奇函数；

对于(2)设外)的周期为7(7>0),取A,=x,/=x+TJliJ|/(x)-f(x+T)|>|g(x)-(x+T)|,Vy=/(x)以

7为周期，；./3_/(工+7)=0,.・.0之年(工)一(_¥+7)|,；.g(x)—g(x+T)=O,「.ga)为以T为周

期；

对于(3)设内<工2，y=/(x)是Rk的增函数，.：/(%)</(9)，l/(X1)-/(W)l>lg(X1)-g(%)^|l

为/(X)-/(x,)<g(X)-g(W)</(W)-/(X)即为/(X)-g(X)</(/)-g(%)，

g(X)+/(不)<g(W)+/(%,),

函数y=f(尤)+g(x)与函数y=f(x)-g(x)也都是R上的单调递增函数；

对于(4)y=/(x)在R上有最大值和最小值，，存在。力，使得对于任意实数X恒

成立，...Ig(x)—g(a)1<1成立-成a)1=/(X)-成a),|g(x)-g(b)凶f(x)-f(b)\=成。)-成x)

即g(x)—g(a)K/(x)-/(«)①，g(x)—g(a)2f(a)~/(x)②，g(x)-g(b)<f9)-f(x)③，

g(x)-g(b)>f(x)-f(b)@.

①+③得2g(x)-g(a)-g(b)<f(b)-f(a),

即g(x)⑷7⑷+gs)；

②+④得2g(x)-g(a)-g(b)>f(a)-f(b),

即g(x)J-"g⑷+gS),

由可知函数y=g(x)在R上也有最大值和最小值；

综上，真命题的个数为4,

故选：D.

【点睛】本题考查命题的真假判定，涉及函数的奇偶性，单调性，周期性，最值，不等式和绝对值不等式,

属于难题.关键在于将奇偶性、周期性、单调性和最大值最小值的定义与已知不等式相结合，利用不等式的

基本性质进行推导和论证.

二、填空题

15-|x—l|,O<x<2，几

7.(2020・上海闵行区•高三一模)已知定义在［0,+=o)上的函数/(X)满足〃尤)=/(x-2)-2,x>2.设

/(x)在［2〃-2,2〃乂〃eN*)上的最大值记作a“,S”为数列｛q｝的前〃项和，则S”的最大值为

【答案】64

【分析】根据函数的解析式，分别求得4，&，4，，得出4=17—2”，结合等差数列的性质和前篦项和

公式，即可求解.

【详解】由题意，函数小)=/_2)二22'

当〃=1时，XG［0,2),此时〃%)=15-,一1|,

此时函数/(x)在似2)上的最大值为==所以q=15,

当〃=2时，xe[2,4),此时/(x)=/(x-2)-2,此时x—2e[0,2),

所以/■(1)=f(x_2)_2=15_|x_2_l|_2=13_k_3|,

此时函数J(x)在[2,4)[0,2)上的最大值为/(3)=13-|3-3|=13,所以4=13,

当xe[2〃_2,2〃)时，/(x)=15-/[x-(2n-2)]-2(n-l)=15-|x-(2n-2)-l|-2(n-l),

此时函数“X)的最大值为/(〃)=17-2〃,所以q=17—2%

当lW〃W8,〃eN+时，。“>0，当时，an<0,

所以的最大值为火）=

S„58=8"8x（1；+1）=64

故答案为：64.

15-|x-l|,0<x<2

【点睛】方法点拨：根据函数的解析式/（%）=•分别求得各段上相应的最大值，得

/(x-2)-2,x>2

出q=17—2〃，结合等差数列的求和公式进行计算.

8.（2020•上海市三林中学高三期中）若基函数/（此=（加一〃?+］）£卜2人,“+7）（加€2）是偶函数，则

m—.

【答案】±1

【分析】由基函数定义求出加值，再代入后判断奇偶性即得.

【详解】由/（X）是基函数得m3-m+1=1,解得机=0或加=±1,

7

加=0时，八幻=产是奇函数，不合题意.

46

机=7时，〃幻=必是偶函数，机=1时，/"）=必是偶函数.

故答案为：±1.

9.（2020•上海市三林中学高三期中）函数y=正的定义域是.

x-\

【答案】［0,l）U（l,+<»）

【分析】根据分母不为零和偶次根式非负列式求解即可.

x>0

【详解】解：要使函数有意义，则需满足《八，解得xN0且1w1.

工一1工0

故函数的定义域为［(),l)u(l,+s).

故答案为：［O,l)u(l,+s)

3

10.(2020♦上海虹口区•高三一模)已知数列｛%｝满足4=-2,且5“=14+〃(其中5.为数列｛。”｝前〃项

和)，/(x)是定义在R上的奇函数，且满足/(2-x)=/(x),则/(%02i)=.

【答案】0

【分析】首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列｛《,｝的通项公式，即可得到&⑼=l—32°2i,再根

据二项式定理判断32叫被4除的余数，即可计算可得；

【详解】解：因为/(x)是定义在R上的奇函数，且满足/(2-x)=/(x)

所以/(—x)=/(x+2)=—/(x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x)

所以〃x)的最小正周期为4

又因为数列｛4｝满足4=—2,且5“=14+〃①：

3

当2时，S“_|=1a,i+"-1②；

33

①减②得%=］%—5/T+1,所以a“=3a,i-2,-1=3(«„.,-1)

所以｛6,一1｝以—3为首项，3为公比的等比数列，所以4—1=—3",即a“=l-3”

所以％g=1一32°21

2020

又3的=(4叫曲=42必++C*021-(-l)-4-l

所以32°2i被4除余3

所以/(/必)=川—32⑼)=-/(32⑼_1)=_/(_1-1)=/(2)=〃0)=0

故答案为：0

【点睛】本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数T,若对定义域内任意的x都有/'(x+T)=/(1)，

则7为函数的周期；

11.(2020.上海高三一模)设/(x)='—lgx,则不等式/(,一1)<1的解集为.

XX

【答案】fo,1j

【分析】根据初等函数的性质，得到函数f(x)=工-Igx为单调递减函数，旦/(1)=1,把不等式

X

/(L-1)<1转化为,一1>1,即可求解.

XX

【详解】由题意，函数/(x)=L-lgx,

X

根据初等函数的性质，可得函数f(x)为单调递减函数，R/(l)=l,

则不等式/(工-1)<1等价于,一1〉1，即工一2=>在>0,解得0<x<,，

xxxx2

所以不等式的解集为(0,；)

故答案为：(°，；)

2'+|+2mx>0

12.(2020•徐汇区•上海中学高三期中)已知函数/(%)=〈,~的最小值为2相，则实数

2x-mxx<0

【答案】T6

【分析】根据已知函数解析式，分别讨论加20,旭<0两种情况，根据函数单调性，结合函数最值列出方

程求解，即可得出结果.

【详解】

2x+J+2m(x>0)

因为/(x)=<

2x2-mx(x<0)

当xNO时,f(x)=+2加单调递增，则f(x)^n=f(0)=2+2m>2m；

当x<0时，f(x)=2x2-mx是开口向上的二次函数，对称轴为x=—,

若帆20,则/。)=2X2-做在(-0,0)上单调递减，所以/(工)>/(0)=0,无最小值，不满足题意;

m

若加<0,则f(x)=/m2m，解得m二-16或机=0(舍).

1nhiJ

综上，m=-16.

故答案为：—16

13.(2020.上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中)偶函数/(x)在［0,”)上单调递增，则满足

/(X-1)</(2)的龙的取值范围是.

【答案】(-1,3)

【分析】因为x-1不一定在单调递增区间［0,48)内，所以不能直接利用函数的单调性解不等式，要先利用

偶函数的性质将f(x—1)变成然后再利用函数在［0,48)上的单调性解不等式

【详解】因为函数/5)为偶函数，所以/。-1)=/(k一1|),

所以不等式/(x-l)<〃2)等价于/(|x-l|)</(2),

乂因为函数Ax)在区间［0,中»)单调递增，所以|x-1|<2,解得-1cx<3,

所以x的取值范围是(一1,3).

故答案为：(一1,3).

【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性以及抽象函数不等式的解法，抽象函数不等式的解法,

都是用函数的单调性来解，利用函数的单调性时，一定要保证自变量在同一个单调区间内，不满足这一点

的，往往利用偶函数的性质变形后，再用函数的单调性解不等式，属于中档题.

14.(2020•上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中)设，(x)是定义在R上的奇函数，/。)=3且

/(x)=f(x+5),则/(2019)+〃2020)=.

【答案】-3

【分析】根据/(x)=/(x+5)得到周期T=5,进而得到根(2019)=〃-1)和/(2020)=/(0),最后再

根据奇函数的性质得到/(0)和/(-1)的值，从而得到答案.

【详解】因为/(x)满足/(x)=/(x+5),所以/(x)是周期函数，周期T=5,

所以/(2019)=〃404x5_l)=/(—l),,

又因为/*)是定义在R上的奇函数，且/(1)=3,

所以/(0)=0,/(-1)=-/(1)=-3.

所以〃2019)+/(202())=/(-l)+/(0)=-3.

故答案为：-3.

【点睛】方法点睛：本题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数的值，此类题的一般的解法为：先根据题

设可得出函数的周期，然后根据周期性对所给式子进行化简，最后再根据函数的奇偶性计算函数值，属于

常考题.

15.(2020•上海闵行区•高三一模)已知函数/(x)=x+g,给出下列命题:

①存在实数a,使得函数y=/(x)+/(x-a)为奇函数；

②对任意实数a,均存在实数/〃，使得函数y=/(x)+/(x-a)关于％=相对称；

③若对任意非零实数a，/(x)+/(x—a)2人都成立，则实数人的取值范围为(-w,4］；

④存在实数k,使得函数y=f(x)+f(x-a)-k对任意非零实数a均存在6个零点.

其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)

【答案】②③

【分析】利用特殊值法可判断①的正误；验证g(a-x)=g(x),可判断②的正误；利用基本不等式可判断

③的正误；当a>0时，分析出函数g(x)在(a,+»)上先递减再递增，记g(x)1rfli=g($)，可得出

f44

人>max〈a+—,g(玉))｝，利用R>a+—不恒成立判断④错误，同理得知当。<0时，命题④也不成立，

IaJa

从而得出命题④为假命题.综合可得出结论.

【详解】

令g(x)=/(x)+.“x-a)，

函数/(X)的定义域为｛x|xH()｝，贝-X--=x+-=/(%),

XX

所以，函数“X)为偶函数.

对于①，若a=0,则g(x)=2x+：,则g⑴=2=g(—l),此时，函数g(x)不是奇函数;

(T+4

若"0,则函数g(x)的定义域为｛x|x关0且xwa｝,>0,

8加右卜同

综上所述，对任意的awR,函数y=/(x)+/(x—a)都不是奇函数;

对于②，g(a-x)=f(a-x)+f(-x)=f(x-a)+f(x)=g(x),

所以，函数y=/(x)+/.(x-a)关于直线x=|'对称.

因此，对任意实数a,均存在‘义：数机，使得函数y=/'(x)+/(x-a)关于x=对称，②正确;

对于③，〃x)=x+1当且仅当x=±l时，等号成立,

当P.仅当x=a±l时，等号成立,

所以，g(x)=/(x)+/(x-a)N4

因为。力0，当。=±2时，两个等号可以同时成立，所以，k<4.

因此，实数攵的取值范围是(f,4],③正确；

对于④，假设存在实数上，使得直线y=%与函数g(x)的图象有6个交点,

g(x)=x+—+a-x+----

若a>0,当0<x<a时,xa-x

此时，函数g(x)在区间(。，3单调递减，在区间(会“上单调递增,

w八।/+44

当0<x<a时，=—=«+

当X>a时，任取王、与€(。,+00),且须>工2，即工1>々>“，

则

(1I1111、

g(M)—g(*2)=X---FXj-U-\------X2-----FX2-6ZH-----

(xxxx—aJIx2x2-ai

11}(11

=2(玉_々)+—十

X2)、％-Qx2-a

xxx—x

2(%)+2~}j2]

XjX2(3一〃)(入2-a)

x1>x2>a随着阳、々的增大而增大，

当%f。且吃—。时,

当XjT+<Q且%2―>4-00时，2-------------------..............----------------r—>2.

x}x2(Xj-a)[x2-a)

2-表一(…)；则8⑷"㈤，

所以，存在九。〉。，使得当。V工2＜%＜玉)时，

所以，函数g(尤)在区间(",％)上单调递减;

当X]＞尤2＞王)时，2-4(x去h〉。,则g(%)>g(W)，

A]IAj_uH^2_ClI

所以，函数g(%)在区间,+8)上单调递增,

所以,当x＞a时,5Wmin=^(^)).

若存在实数人使得函数y=〃x)+/(x—a)一左对任意非零实数。均存在6个零点,

即直线丁=上与函数g(x)的图象有6个交点，

由于函数g(x)的图象关于直线x=]对称，

则直线