学好完全平方公式的三点提示

学好完全平方式的三提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式?下给予三点提示，供参考．一意特要记、完全平方公式）=a2+2ab+b

）2

-2ab+b、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每项都是二次式中有两项是公式左边二项式中每一项的平方第项是左边二项式中两项乘积的2倍或2倍用下口诀来记平和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样里的头”指的是”的是b这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如=[a+-b]2

（-b（2

=

-

．、完全平方公式的几何意义bab

2

(a-b)b

(a-b)

aa

a

2

ab

b

b

(a-b)ba

b

b

a图1

图2在图中，大正方形的面积(2它等于两个小正方形的面积a2

、b2

及两个等积的长方形面积ab的和因此有(=a2在图中，大正方形的面积是a，它等于两个小正方的面积b2长方形面积(a-b)b的和，因此(-=a22(a-b)b-b=2．

-2

及两个等积的二两公的别清在运用完全平方公式时，经常会出现类似(a+b)2、(a-=a-b的误．要注意从以下几个方面进行区别：（1）意义不同2

表示数a与b和平方(a-b)2

表示数a与b差平方；而a2

+b

表示数a平方与数b平方和

-

表示数的方与数b的平方差．（2法不同(a+b)

读作两数的平方(a-b)

读作两数的平方a2

2读作两数、b平的和，-2读两数a、方的差．（3运算顺序不同2

的运算顺序是先算，然后再算和的平方-b)2

的运算顺序是先算ab，然后再算差的平方；而

是先算a2

与b2

，再求和2+b，2

-b2

是先算a2

与b，再求差

-b2．

xyxyxy）（4）一般情况下它们的值不相：如a=2，时，(a+b)2=3

，(a-b)

-1)=1；而a+b2

=2

，2

-b2=2

-12．三应方要握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式用要认真观察目是否符合公式的特征和条件形后是否符合公式的特征和条件若合再公式中字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．例、计算

12

1分把xy看a，2看成b原即为两项差的平方然后套用完全平方差2公式．1解x2

=

212=

924x3

14

x例、算）2分：可以把（a-2b）看作公式中a把c看作公式中的，然后套用完全平方差公式．解

)

2b)]2b)a)＝

abb

ac2a22

abbc

．说：本题还可以进行如下变形：)

2

a)

2

]

2

或

a)

2

ab)]

2完全平公应用错分完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分能助同学们简捷活的完成整式的乘法运算但运用公式解题的程中经常出现这样或那样的错误将典型错例进行评析．一漏“间”例计：(a+3)2错解：=a分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积倍写中央．因此，运用公式时不要漏掉乘积项．不能将完全平方公式与平方差公式混淆．正解：=a

二中项漏2

a()aa()aab例计（

12

）错解2y+

111）4yy×+224分析：没有理解完全平方公式的中间项”中的意义，2y中示首项的一部分不乘积的防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公中的项进行对应定要找准哪个代表字母，哪个代表字母b正解2y+

1）2=4y+＝4y22三－处错例计(-t-1)

2错解：

2

=t2

或(-t-1)

2

=-t

2

分析：本题可以看成首项-与项1的差的平方，应把-看一整体．正解：

2

=(-t)2

(-t)×+1

＝t2＋2t+1.四系未方例计(错解：

-12xy+2y2分析：首项3x与末项2y应看成一个整体进行平方．正解：

=(3x)

-12xy+(2y)2

=9x-12xy+4y2五问考不面例已x2

-2mx+1一个完全平方式，则m=错解：因为12＝1由积项－x×得m=-1分析：错解忽略了另一种情况：因(-1)正解：±六运顺错例计2(a-)

，由－2mx=2x×(-1)得m=1所以m=错解：

b2

)分析：由乘方的定义知2(a-

bbb))=(2a-b))这与(2a-b)22

的结果是不相等的．因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简．正解：

b1)-ab+2242总之运完全平方公式进行整的运算时应牢固掌握公式的实质并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算．完全方公学习航完全平公式有两个：

)

湖北吴育弟22

即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍这两个公式叫做完全平方公式它们可以合写在一起，为

)

222ab

记忆口诀：首平方、尾平方，倍积在中央.2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平.3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的

倍.4.公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的

倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数以表示单项式或多项式等代数只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公完全平方公式的几何意义如图1，正方形的面积可以表示为

a)

2

，也可以表示为IIIIII

IV

，同时

S2abaab

而验证了完全平方公式

a

2a222

完全平公式重难点重点（）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积2倍和（差（2

)

2

的计算，可以看做是

(a)(a)

，由多项式与多项式的乘法展开、合并同类项，可以得到公式。（3而

)

2

可以看做是

，可以由两数和的平方公式得到。重点完全平方公式的灵活应用（1）

)

2)（2）

)2(a)2ab（3）

)

2a)

4（4）

a)

2a)22(

难点三个或三个以上数的完全方公式，可以先把一个看做一个整体，剩余部分看做一个整体，逐步利用完全平方公式。

2

可以把

看做一个整体，

看做一个整体，利用完全平方公式.在使用完全平方公式时应注意以下几点：（1千万不要发生类似

)

2a2

的错误；（2）不要与公式

)2

混淆；（3）切勿“乘积项

ab

中的

漏掉；（4）计算时，应先观察给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计.在使用全平方公式时易错点

22易错点公式b中有常系数若、b中有常系数，要将其看做一个整体，例如

(2x

2x2x(3)4x2xy2易错点2公式中

、b

含有符号尤其公式中

有一项为负数时将负号看做系数为

，按照易错点

思维突破解决。完平公“”“”完全平方公式

a)

2a2ab2,()

是一组重要的乘法公式，是今后常用的数学工具它应也非常广泛本文从以下几个方面剖析完全平方公式以帮助同学们理解、掌握和灵活应用这个公式．一注意公式几意如图（１正方形面积为

a)

2

是两个小正方形的面积

a

2

、b之，再加上两个长方形的面积2ab即得

a

aba)2a22

2

．

a

图１

如图（２

a)

2

看作大正方形的面积a减去两个有斜线的长方形面积之和2ab，这样就多减去斜线重合部分的小正方形的

a面积

b

2

，在把它补上，即

)

2

2

2ab

2

．

(a)

二注公的构征

图２掌握公式的结构特点是正确使用公式的前提．完全平方公式的特征：左边是两数和（或差）的平方和，加上（或减去）它们积的２倍，公式等号左右两边符号是一致．可以简记为“右边展开后的项数为三项，即前平方之积在中央2ab同学们熟记这一结构特征．

2平（2

倍三注公的确要理解掌握公式之间的异同点要确理解课本对每个公式的推导依据一公式的作用同时也要明白每个公式语言表达方式构形式以及掌握课本对公式的几何推导法，避免出现以下错误，如

a)

2

，a

2

a

2

2

，

)

2

2

ab

2

等等．四注公的表和泛完全平方公式是具有共同特征的某一类运算的概括总结而具有代表性同时由于公式中字母代表的广泛含义，因而使完全平方公式具有广泛性．如字母不但可表示具体的数，还可表示单项式或多项式等代数式．例１．计算：

)

2[(b)]()2ab

＝

a

2abb

bc

b

abbc

．

说明：本题还可以进行如下变形：

b

2)b]

或a)

2

ab)]

2

．五注公之的系公１

)

222ab，公２(a)a2ab2

．两式相加，得：

a)

2)22(

．即

a22

(a)

2

2

2

，两式相减，得：

)

2

)

2

，即

ab

aa)2)22

．六注公的形根据题意要善于对公式变形应用，在解题中充分体现应用公式的思维灵活性和开阔性．完全平方公式常用的变化形式有：①

a2(a)2；a22a)2

；③

a

22

(a)2)2

2

；④

aab)2)22

2

．同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活应用．例２．已知，ab=9．求

a

2

2

2

．解：由

a

22(a)2

ab

a2，∴＝［2

a)

2

ab

］＝

12922

．例３．已知a，b为然数且，①求

a22

的最小值；②求ab的大值．解

a

22

(a)

2

2

2

=

12

2

a)2](a)

2

≥0当a=b时，

2

的有最小值，最小值为

12

2800

；∵

1ab()(a)4

=a11ab)()=(a)400(a)2244

，∵

a)

2

≥0∴当