福建省厦门市湖里实验中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析

福建省厦门市湖里实验中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（

）A．2

B．4

C．8

D．16参考答案：C，循环结束，输出的为8，故选C2.已知集合，则等于

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（

）A． B． C． D．或参考答案：B略4.设复数且，则复数z的虚部为A． B． C． D．

参考答案：B5.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数的值为（

） A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：B6.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（

）A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多参考答案：D【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的，故正确；在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故正确；在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故错误．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知向量，，若与共线，则的值为()A.

B.

C.

D.参考答案：D8.在区间之间随机抽取一个数,则满足的概率为(

)A．.

B．

C.

D.参考答案：A区间看作总长度为2，区间中满足的只是，长度为，因为是随机抽取的一个数，由几何概型计算公式知满足的概率为.答案：9.在中，分别是三内角的对边，且，则角等于(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.下列命题中，真命题是(

)A．存在 B．是的充分条件C．任意 D．的充要条件是参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_________.参考答案：令，画出可行域得，填12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为_____．参考答案：【分析】根据三视图还原几何体，设球心为，根据外接球的性质可知，与和正方形中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形为矩形，求得和后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设中心为，正方形中心为，外接球球心为则平面，平面，中点四边形为矩形，外接球的半径：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果.13.设满足约束条件：；则的取值范围为

参考答案：略14.=

.（用数字作答）参考答案：21015.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆

锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________参考答案：略16.已知，点P的坐标为，则当时，满足的概率为

．参考答案：

17.四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD,则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD是正四面体.其中正确命题的序号是

（填上所有正确命题的序号）.参考答案：①③④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）易求f（x）+f（x+4）=，利用一次函数的单调性可求f（x）+f（x+4）≥8的解集；（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，作差证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）+f（x+4）=4≥8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．∴不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．

（Ⅱ）证明：∵f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，又|a|＜1，|b|＜1，∴|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∴|ab﹣1|＞|a﹣b|．故所证不等式成立．19.某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助.随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40.60)，[60，80)，[80，100].(1)求频率分布直方图中x的值；(2)根据频率分布直方图估计样本学数据的中位数；(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？参考答案：解：（Ⅰ）由直方图可得：20×(x＋0.0250＋0.0065＋0.0030＋0.0030)＝1，解得x＝0.0125． （Ⅱ）设中位数为t，则20×0.0125＋(t－20)×0.0250＝0.5，得t＝30.样本数据的中位数估计为30分钟． （Ⅲ）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%＝3人，抽取不享受补助人员25×88%＝22人． 略20.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，函数，．

，

曲线在点处的切线的斜率为．

从而曲线在点处的切线方程为，即．

………4分

（Ⅱ）．

要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立.

即：

得：

恒成立.由于

，∴

，∴∴在内为增函数，实数的取值范围是.

………8分

略21.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，点E、F分别在AD、CD上，，EF交BD于点H.将沿EF折到△的位置，.（1）证明：平面ABCD；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】（1）根据折叠前后关系可证，再用勾股定理证，即可证得结论；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，找出平面的法向量，即可求出结果.【详解】（1）由已知得，，又由得，故.因此，从而由,，得.由得.所以，.于是，故.

又，而，所以平面.

（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.

设是平面的法向量，则，即，所以可以取因菱形ABCD中有，又由（1）知所以是平面的法向量，

设二面角为，由于为锐角，于是.因此二面角的余弦值是.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查用空间向量法求空间角，考查推理、计算能力，是中档题.22.已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}?{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式