2023高等数学上试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2023~2023学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人得分一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．函数的定义域是。2．设，则=。3．。4．不定积分=。5．反常积分=。得分二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设，那么不存在的原因是（）A．无定义B．不存在C．不存在D．和都存在但不相等2．设偶函数二阶可导，且，那么（）A．不是的驻点B．是的不可导点C．是的极小值点D．是的极大值点3．设，则（）A．B．C．D．4．下列函数中不是函数的原函数的有（）A．B．C．D．5．求由曲线与直线，（）及所围成的图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积。（）A．B．C．D．得分1.5CM三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.5CM1.求极限。2.设，试确定，的值，使得在可导。3.设参数方程确定是的函数，求和。4．计算不定积分。设方程确定隐函数并满足，求。6．设曲线在处有极小值，且为拐点，求的值。7．计算定积分。得分1.5CM四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1.5CM1．证明不等式：当时，。一抛物线的轴平行于轴，开口向左且通过原点与点,求当它与轴所围的面积最小时的方程。3.已知函数在上连续，在内可导，且，。证明：（1）存在，使得；（2）存在两个不同的点，，使得。华南农业大学期末考试试卷（A卷）2023~2023学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．2．3．4．5．二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C2．C3．A4．C5．D1.5CM三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.5CM1.求极限。解：．．．．．．．．．．．．．．．．2分．．．．．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．．．．．7分2.设，试确定，的值，使得在可导。解：因为．．．．．．．．．．．．．．．．1分．．．．．．．．．．．．．．．．2分而，因为在处连续，所以，故．．．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．．．．．．4.5分．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为在处可导，所以，从而，所以．．．．．．．．．．．．．．．．7分3.设参数方程确定是的函数，求和。解：．．．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．．．．．7分4．计算不定积分。解：．．．．．．．．．．．．．．．．2分．．．．．．．．．．．．．．．．4分．．．．．．．．．．．．．．．．6分．．．．．．．．．．．．．．．．7分5.设方程确定隐函数并满足，求。解：方程两边对求导，得．．．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．．．．．．5分又，得，．．．．．．．．．．．．．．．．6分代入得．．．．．．．．．．．．．．．．7分6．设曲线在处有极小值，且为拐点，求的值。解：．．．．．．．．．．．．．．．．1分．．．．．．．．．．．．．．．．2分由题意得．．．．．．．．．．．．．．．．6分解得．．．．．．．．．．．．．．．．7分7．计算定积分。解：令，则．．．．．．．．．．．．．．．．1分．．．．．．．．．．．．．．．．3分．．．．．．．．．．．．．．．．4分．．．．．．．．．．．．．．．．6分．．．．．．．．．．．．．．．．7分四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1.5CM1.5CM1．证明不等式：当时，。证明：设．．．．．．．．．．．．．．．．1分．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以．．．．．．．．．．．．．．．．3分所以单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，．．．．．．．．．．．．．．．．5分所以当时，单调递增．．．．．．．．．．．．．．6分所以当时，，即．．．．．．．．．．．．．．7分2．一抛物线的轴平行于轴，开口向左且通过原点与点,求当它与轴所围的面积最小时的方程。解：设．．．．．．．．．．．．．．．．1分它通过原点，因此．．．．．．．．．．．．．．．．2分又通过，所以．．．．．．．．．．．．．．．．3分所以满抛物线为这抛物线与轴的另一交点是．．．．．．．．．．．．．．．．4分它与轴所围面积为．．．．．．．．．．．．．．．．5分令得（舍）．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以．．．．．．．．．．．．．．．．7分已知函数在上连续，在内可导，且，。证明：（1）存在，使得；（2）存在两个不同的点，，使得。解：（1）令，．．．．．．．．．．．．．．．．2