2019版数学（理）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第2章 第12讲定积分与微积分基本定理 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第12讲定积分与微积分基本定理板块一知识梳理·自主学习［必备知识]考点1定积分的概念在eq\i\in（a,b,)f(x）dx中，a,b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a，b]叫做积分区间，f（x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f（x）dx叫做被积式．考点2定积分的性质（1）eq\i\in（a，b,)kf（x)dx＝keq\i\in(a，b，）f(x)dx（k为常数)．(2)eq\i\in（a，b,）[f1（x）±f2(x)]dx＝eq\i\in（a,b,)f1（x）dx±eq\a\vs4\al(\i\in(a，b，）f2xdx）。（3）eq\i\in(a，b，）f（x）dx＝eq\i\in（a，c，)f(x)dx＋eq\i\in（c,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b）．考点3微积分基本定理如果f(x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x）＝f（x），那么eq\i\in(a,b，）f(x）dx＝F（b）－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F（a)记成F(x)｜eq\o\al（b，a），即eq\i\in（a,b，）f(x）dx＝F(x)|eq\o\al（b,a）＝F（b)－F(a)．［必会结论］1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x）在闭区间[－a,a］上连续，则有(1）若f(x）为偶函数，则eq\i\in（-a,a,）f（x)dx＝2eq\i\in(0,a，)f（x)dx.(2）若f(x）为奇函数，则eq\i\in(—a,a,)f（x）dx＝0。［考点自测]1．判断下列结论的正误．（正确的打“√"，错误的打“×”)（1）设函数y＝f（x)在区间[a，b］上连续,则eq\i\in（a，b，）f（x)dx＝eq\i\in（a,b,)f(t）dt.（)（2)若函数y＝f(x）在区间[a，b］上连续且恒正,则eq\i\in(a,b，）f(x）dx>0。()(3）若eq\i\in（a，b,)f(x）dx<0，那么由y＝f（x），x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．（)（4）微积分基本定理中的F（x）是唯一的．(）(5)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是eq\i\in（0,1，）（x2－x)dx.（）答案（1）√(2）√（3）×(4)×(5）×2．[课本改编］eq\i\in(—1,1，)(x－1)dx＝（)A．2B．－2C.eq\f(1，3)D.eq\f（1，2)答案B解析eq\i\in(—1，1，）(x－1）dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2，2）－x))|eq\o\al(1,－1）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）－1))－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）＋1）)＝－2。3．[课本改编]eq\i\in（0,eq\f（π，2)，）（sinx－acosx）dx＝2，则实数a等于(）A．－1B．1C．－2D．2答案A解析由题知(－cosx－asinx）eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(π，2），0)）＝1－a＝2,a＝－1。故选A.4．［2018·陕西模拟］定积分eq\i\in(0,1，)(2x＋ex）dx的值为（)A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1答案C解析eq\i\in(0，1,）(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq\o\al(1,0)＝(1＋e)－（0＋e0）＝e。故选C.5．[2018·南昌一模]若eq\i\in(1,a，)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1，x)))dx＝3＋ln2（a＞1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析由题意可知eq\i\in(1，a,）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（1,x））)dx＝（x2＋lnx）|eq\o\al(a,1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.6．[2018·衡阳一模］如图，阴影部分的面积是()A．32B．16C.eq\f(32，3)D。eq\f(8，3)答案C解析由题意得，阴影部分的面积S＝eq\i\in（—3,1，）（3－x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（3x－\f(1，3)x3－x2))｜eq\o\al(1，－3）＝eq\f(32，3）.板块二典例探究·考向突破考向定积分的计算例1计算下列定积分：(1)eq\i\in(1，2,）eq\f（2，x)dx；（2）eq\i\in(0,2,）｜1－x|dx；(3）eq\i\in(0,1,）eq\r(1－x－12)dx.解(1)因为（lnx)′＝eq\f（1，x)，所以eq\i\in(1，2,)eq\f(2,x)dx＝2eq\i\in(1,2,）eq\f（1，x）dx＝2lnx|eq\o\al(2，1)＝2（ln2－ln1)＝2ln2。(2）若1－x≥0,则x≤1，若1－x＜0，则x＞1，于是eq\i\in（0,2，)|1－x｜dx＝eq\i\in（0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in（1，2，）（x－1)dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2）x2）)|eq\o\al(1，0)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x2，2)－x））｜eq\o\al(2，1)＝1。(3)根据定积分的几何意义,可知eq\i\in（0，1，)eq\r（1－x－12)dx表示的是圆（x－1）2＋y2＝1的面积的eq\f(1，4),故eq\i\in(0,1,）eq\r（1－x－12)dx＝eq\f(π,4）。触类旁通求定积分时应注意的几点(1）对被积函数要先化简，再求积分；（2）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分；(4)注意用“F′（x）＝f（x)”检验积分的对错；(5）根据定积分的几何意义可利用面积求定积分；(6)若f(x）为奇函数，则eq\i\in（,a,)－af（x)dx＝0；（7）定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．【变式训练1】计算下列定积分：(1)eq\i\in(0,1，)eq\r(1－x2）dx;(2）eq\i\in(0，π,）cosxdx；(3)eq\i\in（1，3,)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（1，x2）））dx。解（1)y＝eq\r（1－x2)，∴x2＋y2＝1,y≥0。∴eq\i\in（0，1,）eq\r(1－x2）dx几何意义为eq\f(1,4)个圆的面积．∴eq\i\in（0，1，)eq\r（1－x2)dx＝eq\f(π,4)。（2)因为（sinx）′＝cosx，所以eq\i\in(0,π,）cosxdx＝sinx|eq\o\al(π,0)＝sinπ－sin0＝0.(3）因为（x2)′＝2x，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x）））′＝－eq\f(1，x2），所以eq\i\in(1，3，)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x2）））dx＝eq\i\in（1，3，)2xdx＋eq\i\in（1，3，)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，x2)））dx＝x2｜eq\o\al（3,1)＋eq\f（1，x）｜eq\o\al(3，1）＝eq\f(22，3）.考向利用定积分求图形的面积命题角度1求曲线围成平面图形的面积例2[2018·金版创新]曲线y＝sinx与y＝eq\f（2,π)x围成的封闭图形的面积为(）A．1－eq\f（π,4)B．2－eq\f（π,2)C。eq\f（π,2）D．2＋eq\f（π，2)答案B解析当x＝eq\f（π，2）时，sineq\f（π,2）＝1，eq\f（2,π)×eq\f（π,2）＝1，故已知的两曲线在第一象限的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,2）,1）），根据对称性，已知的两曲线在第三象限的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,2），－1)）,故两曲线所围成的封闭图形的面积为2eq\i\in（0，eq\f(π，2）,)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（sinx－\f（2，π）x))dx＝2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－cosx－\f（x2，π）））eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（eq\f(π,2）,0））＝2eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（π，4)－－1）)＝2－eq\f（π,2).命题角度2已知曲线围成的面积求参数例3[2018·合肥模拟]由曲线f(x)＝eq\r(x）与y轴及直线y＝m(m＞0)围成的图形的面积为eq\f（8,3),则m的值为(）A．2B．3C．1D．8答案A解析S＝eq\i\in(0，m2,）(m－eq\r（x)）dx＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(mx－\f(2，3）xeq\s\up15(eq\f(3,2))）)eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(m2,0)）＝m3－eq\f(2,3)m3＝eq\f(8,3），解得m＝2。命题角度3与概率的交汇问题例4［2014·辽宁高考］正方形的四个顶点A（－1，－1），B（1，－1），C(1,1)，D(－1，1）分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案eq\f(2，3)解析由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P＝eq\f（S阴影,S正方形）＝eq\f（2\a\vs4\al(eq\i\in（-1，1，））1－x2dx，22)＝eq\f（\f（8，3),4)＝eq\f（2,3）。触类旁通定积分解决有关图形面积的问题（1)对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．(2)已知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图,一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，再由已知条件找到关于参数的方程，从而求出参数的值．(3）与概率相交汇问题．解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算．考向定积分在物理中的应用例5一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋eq\f(25，1＋t)(t的单位：s,v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位:m)是(）A．1＋25ln5B．8＋25lneq\f（11，3）C．4＋25ln5D．4＋50ln2答案C解析由v（t)＝0，得t＝4。故刹车距离为s＝eq\i\in(0,4,)v(t)dt＝eq\i\in(0,4,)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（3,2）t2＋7t＋25ln1＋t))|eq\o\al（4,0)＝4＋25ln5.触类旁通定积分在物理中的两个应用(1）变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝eq\i\in（a,b,）v（t）dt。(2)变力做功：一物体在变力F（x)的作用下,沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝eq\i\in（a，b,)F（x)dx。【变式训练2】设力F(x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x）＝x2＋1且和x轴正向相同，求力F（x)对质点M所做的功．解W＝∫eq\o\al(10,1）F(x）dx＝∫eq\o\al(10，1)（x2＋1）dx＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)x3＋x））|eq\o\al(10，1）＝342。∴力对质点M所做的功为342J.核心规律1。求定积分的方法(1)定义法．(2)利用微积分基本定理求定积分．（3)利用定积分的几何意义求定积分．2。求曲边多边形面积的步骤(1)画图．（2)确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限．（3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．（4)计算定积分．满分策略1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2。若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4。定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5。将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．板块三启智培优·破译高考易错警示系列4——平面图形的上下边界搞错致误[2018·昆明模拟］如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－eq\f(1,4）x2，及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为______．错因分析本题易出现的错误是：(1）误认为线段CA,BD是平面图形的下边界而得到错误答案；（2）被积函数搞错致误．解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝－x2，，y＝－1，))得交点A(－1，－1)，B（1，－1)．由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4）x2,,y＝－1,))得交点C(－2，－1）,D（2,－1）．所以所求面积S＝2eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\i\in(0，1，）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1，4）x2＋x2))dx＋\i\in（1，2,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4）x2＋1))dx））＝eq\f（4，3）。答案eq\f（4，3)答题启示1当平面图形的上下边界是不同的函数的图象时，可在交点处做x轴的垂线,从而确定积分上、下限，分段求面积。2被积函数实际上就是曲线所围图形的上边界的函数解析式减去下边界的函数解析式。跟踪训练［2018·贵州六校联考]求曲线y＝eq\r（x）,y＝2－x，y＝－eq\f（1，3)x所围成图形的面积．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝\r(x），，y＝2－x））得交点A(1,1)．由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝2－x，，y＝－\f(1,3）x）)得交点B（3，－1）．故所求面积S＝eq\i\in（0，1，)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r(x）＋\f(1,3)x))dx＋eq\i\in(1,3，)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2－x＋\f(1,3）x））dx＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,3）xeq\s\up15（eq\f（3，2））＋\f(1，6)x2））｜eq\o\al（1,0)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f(1，3）x2))｜eq\o\al(3,1)＝eq\f(2,3)＋eq\f（1,6)＋eq\f（4,3）＝eq\f（13,6)。

板块四模拟演练·提能增分［A级基础达标]1．[2018·郑州质检］已知t是常数，若eq\i\in（0,t，)(2x－2)dx＝8，则t＝(）A．1B．－2C．－2或4D．4答案D解析由eq\i\in(0，t，)(2x－2)dx＝8得，（x2－2x)|eq\o\al(t,0)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt（g为常数)，则电视塔高为（)A.eq\f(1，2)gB．gC。eq\f（3,2）gD．2g答案C解析由题意知电视塔高为eq\i\in(1,2,)gtdt＝eq\f(1，2)gt2eq\o\al(2，1)＝2g－eq\f（1，2)g＝eq\f(3，2)g。3．由曲线y＝x2，y＝eq\r（x)围成的封闭图形的面积为（）A。eq\f(1,6)B。eq\f(1,3)C。eq\f（2，3)D．1答案B解析由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x2，,y＝\r（x)，))得交点为(0,0)和（1，1）,故所求面积(如图阴影部分的面积)为eq\i\in（0,1，)（eq\r(x）－x2)dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3)xeq\s\up15(eq\f（3，2）))－\f（1,3）x3））｜eq\o\al（1,0)＝eq\f（1,3）.4．［2018·江西模拟]若S1＝eq\i\in(1,2，）x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x）dx,S3＝eq\i\in(1，2,）exdx，则S1，S2,S3的大小关系为(）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1答案B｜解析S1＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(2，1）＝eq\f（8,3)－eq\f(1,3）＝eq\f(7，3），S2＝lnx|eq\o\al(2,1)＝ln2＜lne＝1，S3＝ex｜eq\o\al(2，1)＝e2－e≈2.72－2。7＝4.59，所以S2＜S1＜S3。5．［2018·湖南长沙模拟］设a＝eq\i\in（0，1,）cosxdx，b＝eq\i\in(0，1,）sinxdx，则下列关系式成立的是(）A．a＞bB．a＋b＜1C．a＜bD．a＋b＝1答案A解析∵(sinx)′＝cosx，∴a＝eq\i\in(0,1，）cosxdx＝sinx|eq\o\al(1，0)＝sin1。∵（－cosx）′＝sinx，∴b＝eq\i\in（0,1,)sinxdx＝(－cosx)｜eq\o\al(1,0)＝1－cos1。∵sin1＋cos1＞1，∴sin1＞1－cos1,即a＞b.故选A。6．已知函数y＝x2与y＝kx(k〉0）的图象所围成的阴影部分的面积为eq\f（9，2），则k等于（）A．2B．1C．3D．4答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x2，，y＝kx)）消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则阴影部分的面积为eq\i\in(0，k，）(kx－x2）dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)kx2－\f（1,3)x3）)｜eq\o\al（k，0)＝eq\f(9，2），即eq\f(1，2）k3－eq\f（1，3）k3＝eq\f(9，2)，解得k＝3.7．[2018·吉林模拟］曲线y＝eq\f（2，x)与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为(）A．2ln2 B．2－ln2C．4－ln2 D．4－2ln2答案D解析如图所示，所求面积为阴影部分面积，其面积为四边形ABDE的面积减去不规则图形ABCE的面积，故S＝eq\i\in(2，4,）（x－1)dx－eq\i\in(2,4，）eq\f(2，x)dx＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)x2－x)）|eq\o\al（4，2）－2lnx｜eq\o\al（4，2）＝4－2ln2。选D。8．[2018·山西模拟]已知函数f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(4－x2），－2≤x≤0，,x＋2，0＜x≤2,)）则eq\i\in（-2,2，)f（x)dx＝________。答案π＋6解析f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\r（4－x2），－2≤x≤0,，x＋2，0＜x≤2，）)则eq\i\in（—2,2,)f（x)dx＝eq\i\in（-2,0,)eq\r(4－x2)dx＋eq\i\in(0，2，)(x＋2）dx＝eq\f（π，4)×22＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）x2＋2x)）|eq\o\al（2,0)＝π＋6.9．设a>0.若曲线y＝eq\r（x)与直线x＝a,y＝0所围成封闭图形的面积为a，则a＝________。答案eq\f（9,4）解析S＝eq\i\in(0，a,)eq\r（x）dx＝eq\f（2,3)xeq\s\up15（eq\f（3,2))｜eq\o\al（a,0）＝eq\f（2,3）aeq\f（3,2)＝a，解得a＝eq\f（9，4）.10．[2018·福建模拟]如图所示，点A的坐标为(1，0）,点C的坐标为(2，4），函数f(x）＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案eq\f(5,12)解析依题意知点D的坐标为（1,4），所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4,阴影部分的面积S阴影＝4－eq\i\in(1,2，）x2dx＝4－eq\f（1，3)x3｜eq\o\al(2,1）＝4－eq\f(7，3）＝eq\f(5,3)，根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P＝eq\f(S阴影,S)＝eq\f（\a\vs4\al(\f（5，3）),4)＝eq\f（5，12）.［B级知能提升]1．［2018·山西模拟]定积分eq\i\in(－2，2,）|x2－2x|dx＝（）A．5B．6C．7D．8答案D解析∵|x2－2x|＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－2x,－2≤x＜0，,－x2＋2x，0≤x≤2,）)∴eq\i\in(－2,2，）|x2－2x|dx＝eq\i\in(-2,0,)(x2－2x）dx＋eq\i\in（0，2,)(－x2＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，3）x3－x2））|eq\o\al(0,－2）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)x3＋x2））|eq\o\al（2,0)＝8。2．［2018·丰台模拟]由曲线y＝eq\f（1,x)与y＝x，x＝4以及x轴所围成的封闭图形的面积是（)A。eq\f（31，32) B。eq\f（23,16）C．ln4＋eq\f(1,2) D．ln4＋1答案C解析如图，面积S＝eq\i\in（0，1,)xdx＋eq\i\in(1，4,)eq\f(1，x)dx＝eq\f(1,2)x2｜eq\o\al(1，0)＋lnx|eq\o\al(4,1)＝eq\f（1，2)＋ln4。3．[2018·湖北模拟］若函数f（x),g（x）满足eq\i\in(—1,1，)f（x）g(x)dx＝0，则称f(x)，g（x）为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x）＝sineq\f（1,2)x，g(x)＝coseq\f（1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g（x)＝x2。其中为区间［－1,1]上的正交函数的组数是（)A．0B．1C．2D．3答案C解析对于①，eq\i\in（－1,1，）sineq\f（1,2）xcoseq\f（1，2)xdx＝eq\i\in（－1,1，）eq\f(1,2)sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，eq\i\in(－1，1,)（x＋1)（x－1）dx＝eq\i\in（－1，1,)（x2－1）dx≠0，所以②不是一组正交函