2019版文科数学大1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲考情考向分析1.了解逻辑联结词“或”“且"“非"的含义．2。理解全称量词和存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.1．简单的逻辑联结词(1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．（2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词（1）全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个"等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃"表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p（x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p（x0）成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M,綈p（x）知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真,即有真为真．（2）p∧q:p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．（3）綈p:与p的真假相反，即一真一假,真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论"．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p,则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）命题“3≥2”是真命题．（√)（2）命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（√）（4）“全等三角形的面积相等”是特称命题．(×)(5）命题綈(p∧q）是假命题,则命题p，q中至少有一个是真命题．(×）题组二教材改编2．[P18B组]已知p:2是偶数,q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P28T6（4)］命题“正方形都是矩形"的否定是_______________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q,“綈p为真"是“p∧q为假"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假;反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件,故选A.5．下列命题中,为真命题的是（）A．∀x∈R，－x2－1<0B．∃x0∈R，xeq\o\al(2，0)＋x0＝－1C．∀x∈R，x2－x＋eq\f(1，4)>0D．∃x0∈R，xeq\o\al（2，0)＋2x0＋2<0答案A6．若“∀x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,4）)）,tanx≤m"是真命题,则实数m的最小值为________．答案1解析∵函数y＝tanx在eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f（π，4））)上是增函数，∴ymax＝taneq\f（π,4）＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1。

题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p：函数y＝log2（x2－2x)的单调增区间是［1，＋∞）,命题q：函数y＝eq\f(1,3x＋1)的值域为(0,1），则下列命题是真命题的为(）A．p∧q B．p∨qC．p∧（綈q) D．綈q答案B解析函数y＝log2(x2－2x）的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x>0，得0<eq\f（1，3x＋1)〈1,所以函数y＝eq\f（1,3x＋1)的值域为(0,1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题,p∨q为真命题，p∧（綈q）为假命题,綈q为假命题．故选B.2．(2017·山东）已知命题p:∀x＞0，ln（x＋1)＞0；命题q:若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是(）A．p∧q B．p∧（綈q)C．(綈p)∧q D．（綈p)∧(綈q）答案B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln（x＋1）＞ln1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2,而12＝1，(－2)2＝4,此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题,p∧(綈q）为真命题，(綈p)∧q为假命题,（綈p）∧（綈q)为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β,平面γ⊥平面β,则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b,c，若a⊥b，b⊥c,则a∥c。对以上两个命题，有以下命题:①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④（綈p)∨（綈q)为假．其中，正确的是________．(填序号）答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题p、q的真假；（3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假典例(2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是（)A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N＊，(x－1）2>0C．∃x0∈R，lgx0〈1 D．∃x0∈R，tanx0＝2答案B解析当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1）2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B。命题点2含一个量词的命题的否定典例（1)命题“∀x∈R，eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,3）))x＞0"的否定是（）A．∃x0∈R，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，3）））＜0 B．∀x∈R，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3)))x≤0C．∀x∈R，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)）)x＜0 D．∃x0∈R，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，3））)≤0答案D解析全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．（2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x0∈R，1＜f（x0）≤2”的否定形式是(）A．∀x∈R,1＜f（x）≤2B．∃x0∈R，1＜f（x0)≤2C．∃x0∈R，f(x0）≤1或f(x0）＞2D．∀x∈R，f(x）≤1或f(x)＞2答案D解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x)≤1或f(x）＞2”．思维升华（1）判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x）成立；要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0）成立．(2)对全（特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练（1)下列命题中的真命题是(）A．∃x0∈R,使得sinx0＋cosx0＝eq\f（3,2)B．∀x∈（0，＋∞),ex>x＋1C．∃x0∈（－∞,0），2x0〈3x0D．∀x∈（0,π），sinx>cosx答案B解析∵sinx＋cosx＝eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，4)))≤eq\r（2)〈eq\f（3，2)，故A错误;设f（x)＝ex－x－1,则f′（x)＝ex－1，∴f(x)在(0，＋∞）上为增函数，又f（0)＝0，∴∀x∈(0，＋∞),f（x)〉0，即ex〉x＋1，故B正确；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方,故C错误;∵当x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（π，4）))时，sinx〈cosx,故D错误．故选B。(2）（2017·福州质检）已知命题p：“∃x0∈R,－x0－1≤0”，则綈p为()A．∃x0∈R,－x0－1≥0B．∃x0∈R，－x0－1>0C．∀x∈R,ex－x－1>0D．∀x∈R，ex－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为“∀x∈R,ex－x－1〉0”，故选C.题型三含参命题中参数的取值范围典例（1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在［3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．答案［－12,－4］∪［4，＋∞）解析若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12。∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞）．（2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g（x)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2））)x－m,若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2］，使得f(x1）≥g(x2）,则实数m的取值范围是________________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，4），＋∞））解析当x∈［0,3］时，f(x)min＝f(0）＝0，当x∈［1,2]时，g(x）min＝g（2）＝eq\f(1，4)－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥eq\f（1,4）－m，所以m≥eq\f（1,4）.引申探究本例(2）中，若将“∃x2∈［1，2］”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变,则实数m的取值范围是________________．答案eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2），＋∞）)解析当x∈［1,2］时,g（x）max＝g(1）＝eq\f（1，2)－m，由f（x）min≥g(x）max,得0≥eq\f(1,2)－m,∴m≥eq\f(1，2).思维升华(1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假,利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练（1）已知命题“∃x0∈R，使2xeq\o\al（2，0)＋（a－1）x0＋eq\f（1，2）≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（－∞，－1) B．（－1,3)C．（－3，＋∞) D．(－3,1）答案B解析原命题的否定为∀x∈R,2x2＋（a－1)x＋eq\f（1，2)＞0，由题意知,其为真命题,即Δ＝(a－1)2－4×2×eq\f（1，2）＜0，则－2＜a－1＜2,即－1＜a＜3。(2）已知p：∃x0∈R，mxeq\o\al(2，0）＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞） B．（－∞,－2]C．（－∞，－2］∪［2，＋∞) D．［－2,2］答案A解析依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时,mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时,则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2。因此由p,q均为假命题，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m≥0,,m≤－2或m≥2,))即m≥2。常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断典例1(1)(2017·佛山模拟）已知a,b都是实数,那么“eq\r(a）＞eq\r(b)”是“lna＞lnb”的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒eq\r（a)＞eq\r(b)，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足eq\r(a）＞eq\r(b），但lnb无意义，所以lna＞lnb不成立,故充分性不成立．答案B(2）(2018届全国名校大联考)已知命题p：∀x∈R,3x〈5x；命题q：∃x0∈R，xeq\o\al(3，0）＝1－xeq\o\al（2,0），则下列命题中为真命题的是（)A．p∧q B．（綈p)∧qC．p∧(綈q） D．（綈p）∧（綈q)解析若x＝0,则30＝50＝1,∴p是假命题，∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，∴(綈p）∧q是真命题．答案B二、充要条件的判断典例2（1）(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考）已知命题甲是“eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（x2＋x，x－1)≥0)))）”，命题乙是“{x|log3（2x＋1）≤0｝”，则下列说法正确的是(）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件解析eq\f（x2＋x,x－1)≥0等价于x（x＋1）（x－1)≥0且x≠1，解得－1≤x≤0或x〉1。由log3(2x＋1）≤0,得0<2x＋1≤1，得－eq\f(1，2）<x≤0。∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B。答案B（2)(2017·湖北七市联考）已知圆C：(x－1）2＋y2＝r2(r＞0)．设p：0＜r＜3，q：圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3）y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析圆C：（x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0）到直线x－eq\r（3）y＋3＝0的距离d＝eq\f(|1－\r(3）×0＋3｜，2)＝2。当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C上没有到直线的距离为1的点;当r＝1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r∈(1，2）时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1;当r＝2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1;当r∈(2,3)时，直线与圆相交,圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈（0，3）时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1,可得0＜r＜3,故p是q的充要条件，故选C.答案C三、求参数的取值范围典例3（1)已知命题p:∀x∈［0，1],a≥ex,命题q：∃x0∈R，xeq\o\al(2，0)＋4x0＋a＝0，若命题“p∧q"是真命题，则实数a的取值范围是__________．解析命题“p∧q”是真命题，p和q均是真命题．当p是真命题时,a≥（ex)max＝e；当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4，所以a∈[e，4]．答案[e,4］（2)已知函数f(x）＝x＋eq\f（4，x），g（x)＝2x＋a,若∀x1∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（1，2），3))，∃x2∈[2，3]使得f(x1）≥g（x2)，则实数a的取值范围是________．解析∵x∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（1，2），3）),∴f（x)≥2eq\r（x·\f（4,x)）＝4,当且仅当x＝2时，f(x）min＝4，当x∈[2，3］时，g（x）min＝22＋a＝4＋a，依题意知f（x）min≥g（x）min，即4≥a＋4,∴a≤0。答案(－∞，0]1．已知命题p：“x〉3”是“x2〉9”的充要条件，命题q:“a2>b2”是“a〉b”的充要条件，则下列判断正确的是(）A．p∨q为真 B．p∧q为真C．p真q假 D．p∨q为假答案D解析∵p假，q假，∴p∨q为假．2．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q:函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f（π,2）对称，则下列判断正确的是(）A．p为真 B．綈q为假C．p∧q为假 D．p∨q为真答案C解析函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f（2π，2)＝π,故命题p为假命题；x＝eq\f(π，2）不是y＝cosx的对称轴，故命题q为假命题,故p∧q为假．故选C.3．（2017·唐山一模)已知命题p:∃x0∈N,xeq\o\al(3，0）〈xeq\o\al（2,0)；命题q:∀a∈(0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝loga(x－1)的图象过点(2，0)，则下列判断正确的是（)A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真答案A解析对∀x∈N，x3≥x2，∴p假，又当x＝2时，f（2）＝loga1＝0，∴f(x)的图象过点（2，0），∴q真．4．（2017·豫西五校联考)若定义域为R的函数f（x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是()A．∀x∈R，f（－x)≠f(x)B．∀x∈R，f（－x)＝－f(x）C．∃x0∈R,f(－x0)≠f(x0)D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)答案C解析由题意知∀x∈R，f(－x）＝f（x)是假命题，则其否定为真命题，∃x0∈R，f（－x0)≠f（x0）是真命题．5．(2017·安庆二模)设命题p：∃x0∈(0，＋∞），x0＋eq\f(1,x0)＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞）,x2＞2x，则下列命题为真的是()A．p∧(綈q) B．(綈p）∧qC．p∧q D．(綈p)∨q答案A解析对于命题p，当x0＝4时，x0＋eq\f（1,x0)＝eq\f(17，4)＞3，故命题p为真命题；对于命题q,当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞),使得＝xeq\o\al（2，0）成立，故命题q为假命题，所以p∧（綈q)为真命题，故选A.6．已知命题p:∃α∈R，cos（π－α）＝cosα；命题q:∀x∈R，x2＋1＞0，则下列结论正确的是()A．p∧q是真命题 B．p∧q是假命题C．綈p是真命题 D．綈q是真命题答案A解析对于p：取α＝eq\f（π，2），则cos(π－α）＝cosα,所以命题p是真命题；对于命题q:因为x2≥0，所以x2＋1＞0，所以q是真命题．由此可得p∧q是真命题．7．下列命题中,真命题是(）A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a，b)＝－1D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件答案D解析因为y＝ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为当x＝－5时，2－5＜(－5）2，所以B不正确；“eq\f（a,b）＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；当a＞1，b＞1时，显然ab＞1，D正确．8．命题p:∀x∈R,ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()A．（0,4］ B．[0,4］C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．（－∞，0)∪(4，＋∞)答案D解析因为命题p:∀x∈R,ax2＋ax＋1≥0，所以綈p：∃x0∈R,axeq\o\al（2,0）＋ax0＋1＜0，则a＜0或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，，Δ＝a2－4a＞0，)）解得a＜0或a＞4.9．命题“∃n0∈N,neq\o\al(2,0)＞"的否定是________________．答案∀n∈N，n2≤2n10．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈（a，b），f(x0)＋f（－x0)≠0"是假命题，则f(a＋b)＝________。答案0解析若“∃x0∈（a,b），f(x0)＋f（－x0）≠0”是假命题,则“∀x∈(a,b)，f（x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f（－x)＝－f（x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0,即f(a＋b)＝f(0）＝0.11．以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2〉0恒成立;②∃x0∈Q，xeq\o\al(2，0)＝2;③∃x0∈R,xeq\o\al（2,0)＋1＝0；④∀x∈R,4x2〉2x－1＋3x2。其中真命题的个数为________．答案0解析∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝（－3)2－4×2>0,∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2〉0才成立,∴①为假命题；当且仅当x＝±eq\r(2）时,x2＝2，∴不存在x0∈Q，使得xeq\o\al（2,0）＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1)2≥0，即当x＝1时,4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0。12．已知命题“∀x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2）a〉0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是____________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5,6），＋∞）)解析由“∀x∈R，x2－5x＋eq\f（15,2）a>0"的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋eq\f（15,2）a>0对任意实数x恒成立．设f(x）＝x2－5x＋eq\f（15，2）a,则其图象恒在x轴的上方，故Δ＝25－4×eq\f（15,2）a〈0，解得a>eq\f（5,6），即实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（5，6),＋∞））。13．已知命题p:－4〈x－a〈4，命题q:(x－2)（3－x)>0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．答案［－1,6]解析p：－4<x－a<4等价于a－4〈x<a＋4;q：（x－2）（3－x）>0等价于2〈x<3.又綈p是綈q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a－4≤2，,a＋4>3，））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4〈2,，a＋4≥3，））解得－1≤a≤6.14．下列结论:①若命题p：∃x0∈R，tanx0＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧（綈q）"是假命题；②已知直线l1:ax＋3y－1＝0，l2:x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是eq\f（a，b)＝－3;③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1"的逆否命题是“若x≠1,则x