人教A版高中数学选修1-1学案设计全册配套

第一章常用逻辑用语

世界文学名著《唐•吉诃德》中有这样一个故事：

唐・吉诃德的仆人桑乔・潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王.他颁布了一条奇怪的

法律:每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，

就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死.

对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架.有多少人敢冒死到这

岛上去玩呢？

一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到

这里来是要被绞死的.”请问桑乔•潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？

如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要

被绞死”是错话.既然他说错了，就应该被处绞刑.但如果桑乔・潘萨要把他绞死呢？这时

他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该

让他在岛上玩.

小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏.他思索

再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废.

1.1命题及其关余

1.1.1命题

自主预习•探新知

情景引入

著名的“理发师悖论”是伯特纳德・罗素提出的：一个理发师的招牌上写着：“城里所

有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸.”日常生活中也经常出现类

似的逻辑错误，因此逻辑用语的学习是很有必要的.

我们接下来就从命题开始学习.

新知导学

1.一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以一判断真假一的陈述句叫做命题.

2.判断为真的语句叫真命题.，判断为假的语句叫假命题..

3.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有

真假之分,而定理是命题.

4.命题常写成“一若p,则q_”的形式，其中命题中的p叫做命题的小生-，4叫

做命题的

V

V

V

预习自测

1.下列语句不是命题的是（A）

A.今天的天真蓝呀！

B.100KH是整数

C.方程9/一1=0的解是

D.2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年的日子

［解析］根据命题的定义知，选项A不是命题.

2.语句“若a泌，则〃+06+。”是（B）

A.不是命题B.真命题

C.假命题D.不能判断真假

［解析］a>b=>a+c>b+c成立，故选B.

3.由命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”改写的等价命题是（B）

A.若一个数不能被6整除，则这个数不一定能被3整除

B.若一个数能被6整除，则这个数一定能能被3整除

C.若一个数能被6整除，则这个数不一定能被3整除

D.若一个数不能被6整除，则这个数一定能被3整除

［解析］由命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”改写为“若p,则的形式

为：若一个数能被6整除，则这个数一定能被3整除，故选B.

4.命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是(C)

A.余弦值B.第二象限

C.一个角是第二象限角D.没有条件

［解析J命题可改写为：若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0,故选C.

5.下列语句中是命题的有①④.(填序号)

①一个数不是正数就是负数；

②0是自然数吗？

③22020是一个很大的数；

④若两个平面平行，则这两个平面无公共点.

［解析］②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判

断真假，不是命题.

互动探究•攻重难

互动探究解疑

命题方向❶

命题概念的理解

■典例1判断下列语句是否是命题，并说明理由.

(1)求证：小是无理数；

(2)f+4x+420；

(3)你是高一的学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果.

［思路分析］由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说

明理由.解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念.

［解析］(1)是祈使句，不是命题.

(2)X2+4X+4=(X+2)2^0,对于X6R,可以判断为真，它是命题.

(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题.

(4)是命题，可以判断为真.人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人.

『规律方法』判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：

1.必须是陈述语句.祈使句、疑问句、感叹句都不是命题.

2.其结论可以判定真或假.含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题.另外，

并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比俞、形容等词的词义模糊不清的，

都不是命题.

II跟踪练习L■

判断下列语句是不是命题，并说明理由.

(1)函数4x)=3\xGR)是指数函数；

(2)f-3x+2=0；

(3)函数)，=cosx是周期函数吗？

(4)集合｛a,b,c｝有3个子集.

［解析］(1)是命题，满足指数函数的定义.

(2)不是命题，不能判断真假.

(3)不是命题，是疑问句.

(4)是命题.符合命题的定义.

命题方向❷

命题真假的判断

■典例2判断下列命题的真假：

(1)形如a+巾b的数是无理数；

(2)负项等差数列的公差小于零；

(3)关于x的方程av+1—x+2有惟一解.

I思路分析I运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断.

I解析］(1)假命题.如当。=1,人=也时，〃+也方是有理数.

(2)假命题.如数列一10,-8,-6,-4,-2,它的公差是2.

(3)假命题.关于x的方程ar+1=x+2即(a—l)x=1,当a=l时，方程无解；当“W1

时，方程有惟一解，所以是假命题.

『规律方法』1.命题真假的判定方法

真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推

理的一个过程.可以根据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正

确的逻辑推理进行判断.

要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可.

2.一个命题的真假与命题所在环境有关.对其进行判断时，要注意命题的前提条件，

如“若a_Lc,b-Lc,则a〃6”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题.

3.从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A

={x|p(x)成立},B={x|q(x)成立},就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，

8是能使条件g成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p,则为真，当且仅

当4aB时满足.

II跟踪练习2一■

给出下列命题：

①函数产sinx的最小正周期是兀；

②函数y=2?是指数函数；

③一次函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标为(-1,0)；

④Ax)=f在R上是偶函数，也是增函数.

其中假命题的个数为(C)

A.1B.2

C.3D.4

［解析］函数y=sinx的最小正周期7=牛=2兀，所以①是假命题；易知②是假命题；

令x+l=0,得x=-1,所以一次函数y=x+l的图象与x轴的交点坐标为(一1,0),所以③

是真命题；./U)=f在R上是偶函数，但不是增函数，所以④是假命题.故假命题的个数为

3,故选C.

命题方向❸

命题结构分析

■典例3指出下列命题的条件与结论.

(1)负数的平方是正数；

(2)正方形的四条边相等.

［思路分析I由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式.②找出命题

的条件和结论.

解答本题的关键是正确改变命题的表述形式.

［解析］(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：”一个数是

负数”；结论为：“这个数的平方是正数”.

(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”.

条件为：“一个四边形是正方形”；

结论为：“这个四边形的四条边相等”.

『规律方法』1.数学中的命题大多是：”若p,则的形式，其中p叫做命题的条

件，q叫做命题的结论.而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p,则q”的形式，但

是将它的表述作适当改变，也可以写成“若p,则/'的形式，因此，在研究命题时，不要

受其形式的影响.

2.“若p,则q”形式的命题中，〃和q本身也可为一个简单命题.

3.并非所有的命题都可写成“若p,则q”型，如是有理数”，“5>3”.

II跟踪练习3_■

把下列命题表示为“若人则的形式，并判断真假.

(1)相似三角形的面积相等；

(2)平行于同一个平面的两平面平行；

(3)正弦函数是周期函数.

［解析］(1)若两个三角形相似，则它们的面积相等.假命题.

(2)若两个平面平行于同一个平面，则这两个平面平行.真命题.

(3)若一个函数为正弦函数，则它是周期函数.真命题.

学科核心素养

命题的真假与其他知识的综合应用

命题的概念中有两个要点：①陈述句：②可以判断真假.利用这两点可借助于函数的奇

偶性、单调性、对称关系来解决一些开放性问题.

■典例4把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.

若函数/U)=3+log2X(Q0)的图象与8(x)的图象关于x轴对称,则函数g(x)=-3

一1。W(x>0).(注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)

［思路分析］本题答案不惟一.空中可以依次填入X轴，一3—10g2X(X>0).

［解析］若函数与g(x)的图象关于x轴对称，则可将函数y=/(x)=3+log2x(x>0)中的

(x,y)用(x,—y)代换，得一y=3+k»gx(x>0),所以g(x)=-3一代g2X(x>0).

『规律总结』解答此类题目，首先要审清题意，弄明白求什么，然后根据所学知识选

择合适的答案.

II跟踪练习4_■

已知p：5x-\>a,q：x>\,请选择适当的实数。，若命题“若p,则q"为真命题，则

a的取值范围为14,+8)..

I解析I命题“若p,贝为“若)>手，则x>l"，由命题为真命题，可知

解得a24,故a的取值范围为［4,+°°).

易混易错警示

命题条件不明致误

■典例5将命题“已知c>0,当a泌时，aobc：,改写为“若p,则q”的形式.

［错解］若c>0,a>b,则ac>bc.

［错解分析］错误的根本原因是将％>0”作为已知条件，实际上“已知c>0”是大前提,

条件应是不能把它们全认为是条件.

［正解］已知c>0,若a>b,贝！Jac>bc.

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系

自主预习•探新知

情景引入

汉语是世界上美丽的语言.对于同样的儿个字、几个词，不同的排列方式，往往产生不

同的效果.在我们的校园里有着这样的宣传语：为了一切的孩子、为了孩子的一切、一切为

了孩子，每一种表述有着不一样的意义.同样地，数学也是美丽的语言，这其中是否也有着

同样的文字，但不同的排列含义是否不一样呢？

新知导学

1.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

件，那么我们把这样的两个命题叫做.互逆命题一，其中一个命题叫做.原命题.，另一个

叫做原命题的一逆命题一.

2.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否

定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做.原命题，

另一个叫做原命题的一否命题_.

3.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否

定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做一互为逆否命题一，其中一个命题叫做

题一，另一个叫做原命题的_逆否命题一.

4.四种命题的相互关系

5.（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真.

（2）原命题为真，它的否命题不一定为真.

（3）原命题为真，它的逆否命题三为真.

即互为逆否的命题是等价命题，它们同真同暇，同一个命题的逆命题和否命题

是一对互为3^的命题，它们同真同假.

预习自测

1.设。，力是向量，命题“若a=-6,则|。|=步|"的逆命题是（D）

A.若aW—b,则|a|W|b|

B.若a=-b,则⑷沟同

C.若同#步|,则

D.若同=|可，则a=一力

［解析］原命题的条件是“a=—b"，结论是"|。|=|例"，根据原命题与逆命题的关系

知，选D.

2.当命题“若p,则为真时，下列命题中一定是真命题的是（C）

A.若g,则pB.若Y，则rg

C.若rq,则rpD.若rp,则q

［解析】•；“若P，则为真，,其逆否命题“若F，则rp”一定为真.

3.若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r,则命题4是命题「的（C）

A.逆命题B.否命题

C.逆否命题D.以上都不对

［解析］同一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，故选C.

4.命题“对于正数m若el,则lga>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中，

真命题的个数为（D）

A.0B.1

C.2D.4

［解析］原命题”对于正数m若。>1,则lga>0”是真命题；逆命题”对于正数a,1g

«>0,则是真命题；否命题“对于正数”，若则IgaWO”是真命题；逆否命题

“对于正数m若IgaWO,则aWl”是真命题.

5.（2020.山西太原高二期末）命题“若则一的逆否命题是若xW-l

或xNl,则fNL.

［解析］/<1的否定为一1<X〈的否定为或—1,故命题“若W<1,

则一1<X<1”的逆否命题是“若xW-l或则.

互动探究•攻重难

V

V

互动探究解疑

命题方向❶

命题的四种形式之间的转换

■典例1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题.

(1)负数的平方是正数；

(2)正方形的四条边相等.

［思路分析］此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p,则q”的形

式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题.

［解析］(1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”.

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数.

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.

(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.

逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.

逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形.

『规律方法』关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：

首先：把原命题整理成“若p,则4”的形式.

其次：(1)“换位"(即交换命题的条件与结论)得到“若4，则p"，即为逆命题；

(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p,则非

q”即为否命题；

(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作

为新命题的结论)得到“若非q,则非//'即为逆否命题.

关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写.

II跟踪练习1一■

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.

⑴若#+y2=0,则x、y全为0；

(2)若a+b是偶数，则人b都是偶数.

［解析］⑴逆命题：若X、y全为0,则/+尸=0；

否命题：若f+JWO,则x、y不全为0；

逆否命题：若x、y不全为0,则d+Jwo.

(2)逆命题：若〃、〃都是偶数，则〃+〃是偶数；

否命题：若a+b不是偶数,则〃、6不都是偶数；

逆否命题：若“、b不都是偶数,则〃+〃不是偶数.

命题方向❷

四种命题的关系及真假判断

例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.

(1)若AC8=A,则A38；

(2)垂直于同一条直线的两直线平行；

(3)若ab=O,则<7=0或b=0.

［思路分析］找准原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题.

［解析1⑴逆命题：若AUB,则AAB=A.真命题；

否命题：若ACBWA,则A0B.真命题；

逆否命题：若A0B,则4D8W4.真命题.

(2)逆命题：若两条直线平行，则它们垂直于同一条直线.真命题；

否命题：若两条直线不垂直于同一条直线，则它们不平行.真命题；

逆否命题：若两条直线互相不平行，则它们不垂直于同一条直线.假命题.

(3)逆命题：若a=0或匕=0,则出?=0.真命题；

否命题：若漏#0,则a#0且人力。.真命题；

逆否命题：若“W0,且则abWO.真命题.

『规律方法』1.由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤

其是写否命题和逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结

论的真假性上进行否定，而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题

同真假”进行检验.

2.当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到

目的.

II跟踪练习2一■

设原命题：若则八匕中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情

况是(A)

A.原命题为真，逆命题为假

B.原命题为假，逆命题为真

C.原命题与逆命题均为真命题

D.原命题与逆命题均为假命题

［解析|因为原命题“若a+心2,则〃、人中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若

。、6都小于1,则。+6<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a+6》2,则a、b

中至少有一个不小于1”的逆命题为“若小6中至少有一个不小于1,则，是假

命题，反例为4=1.2,8=0.3,故选A.

命题方向❸

正难则反，等价转化思想

我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，

来间接地证明原命题为真命题.

■典例3证明：已知函数兀V)是(-8,+8)上的增函数，。、6CR,若人")+

宓一.)十大一6),则a+b^O.

I思路分析|已知函数式x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化,

本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转化为证明其逆否命题.

［解析I原命题的逆否命题为“已知函数次x)是(-8,+8)上的增函数，a,h^R,若

a+b<0,则火“)+犬力勺(_4)+犬_6).”

证明如下：

若«+/?<0,贝！］a<-b,b<~a,

又1TU)在(-8,+8)上是增函数，

二犬。)+犬力勺(一4)十大一份，

即逆否命题为真命题.

二原命题为真命题.

II跟踪练习3一■

判断命题“已知〃、x为实数，若关于x的不等式f+(2a+l)x+a2+2>0的解集是R,

则的逆否命题的真假.

［解析］先判断原命题的真假如下：

：久x为实数，关于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2>0的解集为R,且抛物线

+(2a+l)x+/+2的开口向上，所以A=(2a+1)2—4(a2+2):=44i—7<0,

7

.所以原命题是真命题.

又♦.•互为逆否命题的两个命题同真同假，...原命题的逆否命题为真命题.

学科核心素养

命题的间接证明

当一个命题的真假不容易证明时，常借助它的逆否命题的真假来证明；利用原命题与逆

否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断.

■典例4关于命题“若抛物线）=/+版+。的开口向下，则｛川/+云+”0｝去

0”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是（D）

A.都真B.都假

C.否命题真D.逆否命题真

［解析］原命题“若抛物线y=ar2+/>x+c的开口向下，贝为真

命题；逆命题“若｛冰/+汝+”0｝彳0,则抛物线y=o?+公+c的开口向下，，为假命题，

因为抛物线的开口也可能向上3>0）;根据命题间的等价关系可知其否命题为假，逆否命题

为真.故选D.

『规律方法』由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当我们证明或判断原命题感到

困难时，可考虑证明它的逆否命题成立，这样也能达到证明原命题成立的目的.这种证法叫

做逆否证法.

II跟踪练习4_■

求证：当/+反=02时，如庆c不可能都是奇数.

［解析］证明：构造命题p：若/+62=C2,则”，6,c不可能都是奇数.

该命题的逆否命题是：若a,b,c都是奇数，则〃2+序#02.下面证明逆否命题是真命题.

由于a,6,c都是奇数，则户，,2都是奇数，于是J+从必为偶数，而c.2为奇数,

所以有/+/工,2,故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题.

易混易错警示

分清命题的条件与结论

■典例5写出命题“已知4、6、c、d是实数，如果a=b,c=d,则a+c=b+d”

的逆命题、否命题，并判断它们的真假.

［错解］逆命题：如果n+c=b+d,则a、b、c、d是实数，且a=b,c=d.假命题.

否命题：如果a、b、c、d不是实数,a于b,c#d,则“+c关.假命题.

I错解分析I上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“。、从c、d是实数”充当了条

件.

［正解］逆命题：已知“、b、c、4/是实数，如果〃+c=6+d,则a=b,c=d.假命题.

否命题：已知a、b、c、d是实数，如果“Wb,或cWd,则a+cWZ?+d.假命题.

1.2充分条件与必要条件习题课

自主预习•探新知

情景引入

某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独

立控制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”开关.A开关闭合时B灯一定亮吗？B灯亮时

A开关一定闭合吗？

新知导学

1.x<13是x<5的_必要不充分一条件.

2.x>2是f-3x+2>0的充分不必要条件.

3.设与命题p对应的集合为A={x|p(x)},与命题q对应的集合为B={x|q(x)},

若AM8,则〃是〃的.充分_条件,°是〃的必要一条件.

若A=8,则"是。的充要.条件.

若AB,则〃是〃的—充分不必要一条件.。是〃的_必要不充分一条件.

若A£B,则〃不是。的一充分一条件,q不是p的必要一条件.

4.p是q的充要条件是说，有了p成立，就一一定有一。成立.p不成立时，_一定有

_q不成立.

预习自测

1.(2020•湖南湘潭市高二期末)“x>2”是匕>1”的(A

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］结合题意可知x>2可以推出x>l,但x>l并不能保证x>2,故为充分不必要条

件，故选A.

2.“xVO”是“lna+l)VO"的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］ln(x+］)<O^O<x+1<1-1<x<0,而(一1,0)是(一8,0)的真子集，所以。

V0”是“ln(x+l)VO”的必要不充分条件.

3.设p：x<3,q：-l<r<3,则〃是夕成立的(C)

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

［解析I若一l<x<3成立，则x<3成立；反之，若尤<3成立，则一l<x<3未必成立，如

x=-2,所以p是q的必要不充分条件.

4.“igx>ig)产是的一充分不必要一条件.

［解析］由lgx>lgy今x>y>Oo也>充分条件成立.

又由m成立，当y=0时，lgx>lgy不成立，必要条件不成立.

5.(202。山东昌平高二检测)已知条件p：A={x|f—(〃+1)工+。<0},条件q：B={x\x'

f+2W0},当〃为何值时，

⑴p是q的充分不必要条件；

(2)〃是q的必要不充分条件；

(3)p是4的充要条件.

［解析］A={x\jr-(a+l)x+〃W0}={x\(x-1)。一〃)WO},B={x\^-3x+2^0］=

{R10W2},

(1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB,而当〃=1时，A={1},显然成立，当

a>l9A=［l,a］,需l<a<2,

综上可知1<〃<2时，〃是q的充分不必要条件.

(2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA,

故4=［1,a］,且a>2,

所以〃>2时，〃是q的必要不充分条件.

(3)因为p是4的充要条件，所以A=B,故a=2.

互动探究,攻重难

互动探究解疑

命题方向❶

利用图示法进行充分、必要条件判断

■典例1已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件.那

么：

(l)s是〃的充要.条件?

(2),一是q的条件？

(3)p是q的.必要条件?

［解析］根据题意得关系图，如图所示.

Per<=5

(1)由图知：,:s今「0q,

--s是q的充要条件.

(2)'：r^q,q0s0丫,

是q的充要条件.

(3)：g>s=>7•今p,

■•p是q的必要条件.

『规律方法』对于多个有联系的命题(或两个命题的关系是间接的)，常常作出它们的

有关关系图表，根据定义，用“今”“<=”"o”建立它们之间的“关系链”，直观求解，

称作图示法.

II跟踪练习L■

已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s

的必要条件，现有下列命题：

①s是q的充要条件；

②0是q的充分条件而不是必要条件；

③;■是q的必要条件而不是充分条件；

④r是s的充分条件而不是必要条件.

则正确命题的序号是(B)

A.①④B.①②

C.②③④D.②④

［解析］由题意知，

噂r<=q

号/

故①②正确；③④错误.

命题方向❷

利用集合法进行充分、必要条件的判断

51

--

■典例2设p、q是两个命题，p：logi(|x|-3)>0,q：66

2

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

I思路分析］p、4都是不等式的解集，解不等式可得其解集，利用集合之间的子集关系

即可判断出P是q的什么条件.

［解析］由10gl(|x|-3)>0得，0<|x|-3<l,

3<|x|<4,3<x<4或—4<r<一3,

显然(3,4)U(—4,-3)(—8,1)U(1,+8),

；.p是q的充分不必要条件.故选A.

『规律方法』如果条件p与结论q是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、

参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化

为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行.

II跟踪练习2一■

设命题甲为0<r<5,命题乙为|x—2|<3,那么甲是乙的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］由|x-2|<3得一K5,

令A={.r|0<x<5},S={x|—l<x<5},

3,...甲是乙的充分不必要条件.

命题方向❸

利用充要性求参数范围

■典例3已知p：实数x满足f—4〃X+3〃2<0,其中〃<0；q：实数无满足x2—x

—6W0或f+2x—8>0,且p是4的充分条件，求。的取值范围.

I思路分析］先分别求出命题p、9中x的取值范围，再探求符合条件的〃的取值范围.

［解析］p：由4以+3〃2<0,其中4Vo得，3a<x<a；

q：由x2—x—6<0或X2+2X—8>0,得x<—4或

2.

♦：p是q的充分条件，

［3心一2

二•aW—4或彳，

［a<0

、2

二•aW—4或一§Wa<0.

2

综上可知a的取值范围是aW—4或一gWcivO.

『规律方法』利用条件的充要性求解参数问题，关键是将条件属性转化为适当的解题

思路，如数集类问题，一般是将条件属性转化为集合包含关系，借助数轴列出不等式(组)，

从而求解.

II跟踪练习3—■

己知p：—1W3W3,q：f—2无+1—〃?2W0(〃z>0),若〃是夕的必要不充分条件，求

实数机的取值范围.

Y—1

［解析］由p：—1—<3得一2WxW10,

由q：2工+1—〃?2<0（加>0）得一加Wx—IWm,

/.1-tnWxW1+m.

,:p是q的必要不充分条件,

1+机W10

、,・“W3,

1-tn，一2

又V/??>0,0<mW3.

学科核心素养

数学中的等价转化

1.证明充要条件一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方

面.解题时要避免将充分性当作必要性来证明的错误，这就需要分清条件与结论，若“条件”

今“结论”，即是证明充分性，若“结论”n“条件”，即是证明必要性.

2.等价法：就是从条件开始，逐步推出结论，或者是从结论开始，逐步推出条件，但

是每一步都是可逆的，即反过来也能推出，仅作说明即可，必要性(或者充分性)可以不再重

复证明.

■典例4已知数列｛%｝的前n项和S,尸的"+b(a#O,q是不等于0和1的常数)，

求证：数列｛斯｝为等比数列的充要条件是a+b=O.

I解析］(1)先证充分性：

=0»：.Sn=aq"+b=aq"—a,

当n=l时，a\=S\=aq-a\

n1］

当〃22时，an=Sn—Sn-\=(aq—a)—(aq—a)

=a(q-1)・夕〃7(〃22).

:・ai=aq-a,a2=aq2-aq,

2

.a2aq-aq.。〃+1

••7=^7=“'且二T=a(q_l)W'T=q'

故数列｛斯｝是公比为q的等比数列.

(2)再证必要性：

:数列｛斯｝为等比数列，

.„>")_aI_“I〃

一、1~q1—q］_q4'

'：S„^aq"+b,二。=一7£1-,b=-r~,：.a+b=O.

?\—q\_q

故数列｛斯｝为等比数列的充要条件是a+b=O.

『规律方法』有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”

今“结论”是证命题的充分性，由“结论”今“条件”是证命题的必要性.证明分为两个环

节：一是充分性；二是必要性，证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进

行由条件到结论，由结论到条件的两次证明.

II跟踪练习4一■

已知集合4=｛小2—4烟+2相+6=0｝,8=｛小<0｝,若命题“AC1B=0”是假命题，求

实数，”的取值范围.

［解析］因为“408=0”是假命题，所以ACBW0.

设全集"=｛〃"△=(一4,"尸一4(2加+6)20｝,则

(、31

t/=Jm—1或m2手.

假设方程x2—4"LT+2/M+6=0的两根的，工2均非负，

mGU,fme(7,

则有“两+M20，即14机20,

、即刀2,012机+620

3

解得m

又集合卜|〃?》/关于全集U的补集是{，汕MW-1}.

所以实数，〃的取值范围是(一8,-1J.

V

V

易混易错警示

转化要保持等价性

■典例5已知方程x2—2(m+2)x+m2—1=0有两个大于2的根，试求实数m的

取值范围.

［错解］由于方程d—2(机+2)尤+步一1=0有两个大于2的根，设这两个根为内、乃，

则有

A=4(m+2)2-4(ZM2—1)^0

«XI+X2=2(〃?+2)>4,解得,心小.

.%1%2=^2—1>4

所以当，"6(小，+8)时，方程f—2("?+2)x+〃P-1=0有两个大于2的根.

\x\+应>4

I错解分析J若内>2,怒>2,则有：，成立；

UIX2>4

［%1+X2>4\X\+X2>4

但若-，则不一定有X|>2,X2>2成立，即•，是X|>2,数>2的必要不

lX|X2>4UIX2>4

充分条件.

［正解］由于方程f—2(,〃+2)x+〃/一1=0有两个大于2的根，设这两个根为内、*2，

则有

(A=4(n?+2)2-4(w2-1)》0

|%|+*2=2("?+2)

3因-2)+(必—2)>0，结合2，解得，”>5.所以，"的取值范围

\x\X2=m-1

.(xi—2)(x2—2)>0

为(5,+°°).

1.2充分条件与必要条件

1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件

自主预习•探新知

情景引入

古代有一次考画师的题目是“深山藏古寺”，考生的画面上有的是崇山峻岭，松柏深处

有座寺庙；有的是山峦之间露出寺庙的一角……而有一个考生的画面上只有起伏的山峦，密

密的松林，一个和尚正从山脚下沿着一股小道担水上山，却没有寺庙.最后，这幅画被评为

第一名.

和尚担水上山与深山古寺之间有什么逻辑关系呢？（如果有和尚担水上山，那么山里就

有庙……）

新知导学

1.如果命题“若p,则/为真，则记为〃今。，“若p则为假，记为D9q.

2.如果已知则称。是4的_充分条件一，4是〃的一必要条件一.

3.如果既有p今q,又有q今p,则〃是“的_充要条件一，记为.

4.如果且则〃是。的.既不充分也不必要条件..

5.如果p今4且9»0，则称p是q的—充分不必要—条件.

6.如果p汾q且q今p,则称〃是“的_必要不充分一条件.

预习自测

1.直线x—y+m=0与圆x2+y2-2x=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是

(A)

A.—1</H<0B.-4</w<2

C.m<lD.-3<m<\

I解析I圆方程整理得（工一1尸+^=1,

即圆心为（1,0）,半径r=1.

二•直线x~y+m=Q与圆x2+y2-2x=0有两个不同交点，

二直线与圆相交，二五皆<1,即依+1|〈也，解得一啦一1<杨<啦一1.故结合选项

得直线x—y+m=0与圆x2+y2-2x=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是一1Vw<

0,故选A.

2.（2020•天津卷，2）设aWR,则“心1”是喈>/的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］由a2>a得«>1或a<0,反之，由a>\得cr>a,则%>1"是"ai,"的充分不必要

条件，故选A.

3.（2019•浙江卷，5）若tf>0,bX）,则“a+6W4”是“W4”的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］a>0,b>0,若a+6W4,/.2gWa+bW4.

abW4,此时充分性成立.

当a>0,h>0,出?W4时，令a=4,b=1,贝!Ia+8=5>4,

这与〃+bW4矛盾，因此必要性不成立.

综上所述，当。>0,冷0时，“a+%W4”是“MW4”的充分不必要条件.故选A.

4.设点P（x,y）,则“x=—3,y=l”是“点P在直线/：x-y+4=0上”的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］由x=-3,y=10x—y+4=0成立，而由x—y+4=0%x=—3,y=1成立，

故选A.

5.已知p：1—x<0,q：.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是u

VI..

［解析］ptx>l,q；x>a,是q的充分不必要条件.二

互动探究•攻重难

互动探究解疑

命题方向❶

充分条件的判断

■典例1下列“若P，则9”形式的命题中，哪些命题中的P是4的充分条件？

(1)若x>l,贝(J—3x<—3；

(2)若x=l,贝1」/_3尤+2=0；

X

(3)右y(x)=一则兀0为减函数；

(4)若x为无理数，则f为无理数；

(5)若/|〃，2，则―跖

I思路分析I判断命题''若p,则q”的真假，从而判定p是否是q的充分条件.

［解析］由定义知：若p0q(即原命题为真时)，则p是q的充分条件.易知(1)(2)(3)是

真命题；当x=小时，¥=2,所以(4)是假命题；当/|〃/2时，可能斜率都不存在，故(5)为

假命题.即命题(1)(2)(3)中的p是q的充分条件.

『规律方法』1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p,则/'为真命题.

2.p是q的充分条件说明：有了条件。成立，就一定能得出结论4成立.但条件p不

成立时，结论q未必不成立.

例如，当x=2时，f=4成立，但当xr2时，彳2=4也可能成立，即当x=-2时，X2

=4也可以成立，所以“x=2”是“f=4”成立的充分条件，“》=一2"也是“f=4”成