2015年普通高等学校全国统一考试数学理试题卷含解析

2015年普通高等学校招生统一考试数学理试题（卷，含解析第一部分（选择题共40分一、选择题：本大题共8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项复数i2i1

1

1

1【答案】试题分析：i(2i1xy≤0xy满足xxx

zx

【答案】试题分析：如图，先画出可行域，由于

x2y，则

1x1z，令Z

0 y

开开

B．4

C．4

D．0否否s=x-【答案】设mm⊂m 【答案】试题分析：因为mm⊂m”，则平面、交也可能平行不能推出

//

mm112112正(主)视 侧(左)视525

4

2

55【答案】55试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中

ABC，ABDCD55PD，有55

AB

ABABCABCDPD

1222

12 525

,

BC

1 1525

,三棱锥表面积S

25表5表设an是等差数列.下列结论中正确的若a1a20，则a2a3 B．若a1a30，则a1a2若0a1a2a

a10，则a2aa【答案】考点：1.等差数列通项；2.作差比较f

的图象为折线ACB，则不等式fx

yy2AA．x|1C．x|1x

B．x|1≤xD．x|1【答案】的燃油效率情况.下列叙述中正确的是C80110D80【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行D. 二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）在2x5的展开式中，x3的系数 （【答案】试题分析：利用通项

Cr

xr，令r

3，得出x3的系数为C

r

y2

3xy0，则a 3333在极坐标系中，点2‚πcos3

3sin6的距离 【答案】试题分析：先把

3sin(2,3化为直角坐标方程x

3y

0，利用点到直线距 d

1113 1在△ABC中，a4，b5，c6，则sin2 【答案】

2sinAcosA

b

a2

24253616

25BNMNx在△ABC中，点M，N满足AM2MC ． ，则BNMNx．12试题分析：特殊化，不妨设

AB

AABxAC为y轴，建立直角坐标系， 3MN(2,2

(4,0),AC(0,3)，则(2,12

(2,2，4x

1,x1,y1 设函数fx

2xa

x①若a1，则fx的最小值 f

恰有2个零点，则实数a的取值范围 【答案】

12

或a215（f(x)

sin f(x)f(x)在区间[π，0]（2）试题分析：先用降幂和辅助角进行三角恒等变形，把函数化f(x)

A

)m形式，再利用周

0,则可求出3 4

x

，即

3时，f(x)取得最小值为：1 22422

f(x)

cosx

sin2 2 2sinx22

sin(x(1)f(x)的最小正周

x0,

x

，当x

3f(x)小值为1

1.三角函数式的恒等变形；216.（13A，B两组各有7位，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下A组：10，11B组：12，13，15，16，17，14，假设所有的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的如果a25当a为何值时，A，B两组康复时间的方差相等？（结论不要求证明 【答案（1）（2） （3）

或 17.（14AEFCB△AEFAEFEFCBEF

，BC4

若 AFOFOEB（2）

（3）3AEFEFCB

平面BE零，列方程求出法向量，再根据二面角求出法向量的余弦值；第三步由于AOBE，要想BEBE

OC，利用向 的坐标，借助数量积为零，求出a的值，根据实际AEFEFCB△AEFO

AO

EFCB，又

CB中点D，OD,以O原点，分别以OE、OD、OA为x、y、z轴建立空间直角坐33

3EB3EB

3a,0)，由于平面

与y轴垂直，则设平面

n1n13

的法向量

AE,ax-

0,x 3nEB,(2nEB,(2222

1

n

1

5nn 5nn FAEB为钝二面角，所以二面角FAEB的余弦值为 33

OCEB33EB33

BE

2(2a)

0a2或a

，由于a3

2，则a4318.（13fxln1x1求曲线yfx在点0，f0处的切线方程x0

时fx2x

x333设实数kfxkx

x3对

恒成立，求k（Ⅰ）2x

（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅰ）

ln1x,x1x

1x

03yfx在点0，f0处的切线 2x 3（Ⅱ）x0

时fx2x

x3 f(x f(x)

，对

x xF(x)

2(x )ln(1x)ln(1x)2(x

1

1x

x

F(x0，故F(x)在（0，1）F(x)

F(0)

0，因此对

f(x)

x3

1 x（Ⅲ）使fx

x

，等价于F(x)

1

k(x

)03x0 k4 k4F(x) 当k[0,2]F(x

0，函数在（0，1）F(x

F(0)

00当 时，令F(x)0

0,x

kk

x0x0(x0-0+F(xF(x)

F(0)k19.（1422已知椭圆C22

22y21ab0的离心率 ，点P02y

Am，nm

C PAxM求椭圆CM的坐标（mn表示设OBAxPBxNy轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．22试题分析：椭圆C22

22y21ab0的离心率 ，点P02y

组，解出待定系数

2,b

1，写出椭圆方程；由点P0，1和点Am，nm0，写出PA0线方程，令y0xxP(0,1),B(m,n)，写出直线PB0程，令y

0xNQ(0,y0求出0

ONQ, ，则存在点

求出tan使得OQMONQ

和tanONQ

（Ⅰ） 1ab0过点P0

且离心率

b2 x2e2 2

，

2，椭圆C

y2

n

，令

m1M( 20.（13）已知数列

满足：a ，a≤36，且

2a36，a记集合Ma

若a16MM3M3M61,24}（2）（3）8 （Ⅰ）由a6，可知a12,

12,则M{612,24}（Ⅱ）合M3ak3nk，ank1M3k1

2ak1或2ak

所以2ak1是3的倍数，于是ak1是3的倍数，类似可得，ak2 a1都是3的倍数，从而对任 an3M3

3所以不妨设

3

，用数学归纳法证明对任意

k，an3

因为第二个数必定为偶数an的定义可知第三个数及后面的数必定是4的倍数定义可知an1和2an除以9余数一样，分an中有3倍数和an中没有3的倍数两种情况，研究集合M中的元M8.（Ⅰ）

a6,a12,a

2a36，a

M

3

3

2an，an≤18，