往届试卷14-15期末数分卷附答案

—二三四五六七八—二三四五六七八1lim√𝑛√𝑛52lim(1

+

1) 3、lim( −)𝑥→0sin 4lim√1tan𝑥−√1sin 𝑥cos𝑥 21、𝑦=arcsin(𝑒−𝑥22、𝑦ln𝑥√𝑥2𝑎23、𝑦=(cos4、对参数形式的函数{𝑥𝑎𝑒𝑡

d𝑦d2𝑦（10分 𝑦= d𝑥 𝑥2𝑒−𝑥2,|𝑥|≤三、求函数𝑓(𝑥)={1,|𝑥|> 的导函数.（10分四、证明方程𝑥=𝑎sin𝑥𝑏(𝑎𝑏>0)至少有一个正根（10分五、设𝑓(𝑥)在[𝑎𝑏]上定义𝑥1𝑥2∈[𝑎𝑏]满足|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤证明：𝑓(𝑥)在[𝑎𝑏]上恒为常数（10分 六、证明以下数列收敛：𝑎𝑛=2(2sin2𝑥3(3sin3𝑥𝑛(𝑛sin𝑛𝑥10分 𝑎𝑛− 七、设𝑎>1,𝑛≥1,证明不等式：(𝑛+1)2 ln <𝑛2.(10分八、设𝑓(𝑥)在𝑈0(𝑥0𝛿0)有定义𝐴∈𝑅,lim𝑓(𝑥)=𝐴的充要条件是：对𝑈0(𝑥0内任何以𝑥0为极限的数列{𝑥𝑛}lim𝑓(𝑥𝑛)=𝐴10分1lim√𝑛√𝑛+5√𝑛)=

=

𝑛→∞√𝑛+5+1

𝑛→∞√1 + 1 2【解】因为1≤(1 +⋯

≤

11由lim√𝑛=1以及迫敛性定理得lim(1 +⋯)=

→ 𝑥−sin𝑥等价替 𝑥−sin𝑥( 1−cos𝑥( lim −)= ⇒ ⇒lim =𝑥→0sin 𝑥→0𝑥sin 𝑥→0 14、【解】当𝑥0时sin𝑥~𝑥1cos𝑥√1+tan𝑥−√1+sin

2

tan𝑥−sin 𝑥cos𝑥

= 𝑥→0𝑥cos𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥(√1+tan𝑥+√1+sin=

tan𝑥(1−cos𝑥→0𝑥cos𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥(√1+tan𝑥+√1+sin tan𝑥∙1 𝑥→0𝑥3cos𝑥(√1+tan𝑥+√1+sin=

2𝑥→0𝑥cos𝑥(√1+tan𝑥+√1+sin2=

𝑥→02cos𝑥(√1+tan𝑥+√1+sin =1

2 ∙√1−

) ∙(−𝑥√1−22= √1−2𝑦′=(ln(𝑥√𝑥2

′ ′ ∙(𝑥+√𝑥2+ 𝑥+√𝑥2+ 2 𝑥+√𝑥2+ = ∙(1+ ∙(𝑥+𝑎)) = 𝑥+√𝑥2+ 2√𝑥2+ 𝑥+√𝑥2+ √𝑥2+ √𝑥2+)=cos3【解】𝑦′=((cos𝑥)𝑥)′=(𝑒𝑥lncos𝑥 )𝑥∙(𝑥ln)=cos1=(cos𝑥)𝑥∙[𝑥′lncos𝑥+𝑥(lncos𝑥)′]=(cos𝑥)𝑥∙(lncos𝑥+𝑥∙ ∙(coscos=(cos𝑥)𝑥∙(lncos𝑥−𝑥tan两边取对数得ln𝑦=𝑥lncos𝑥两边对𝑥求导得∙𝑦′=(𝑥lncos𝑥)′=lncos𝑥−𝑥tan𝑥于是𝑦′=𝑦∙(lncos𝑥−𝑥tan𝑥)=(cos𝑥)𝑥∙(lncos𝑥−𝑥tan

=d𝑡⁄d𝑥

=𝑎𝑒−𝑡∙

=−

d

𝑏2𝑡(−𝑒

=−𝑒2𝑡∙ )

(−𝑒2𝑡)=

d𝑥d𝑥

𝑎𝑒−𝑡∙ 1【解】当|𝑥|>1时𝑓′(𝑥)=()

=)= 当|𝑥|<1时,𝑓′(𝑥)=(𝑥2𝑒−𝑥2 (2)′∙𝑒−𝑥2+𝑥2∙)= =2𝑥𝑒−𝑥2+𝑥2𝑒−𝑥2∙(−𝑥2)′=−2𝑥𝑒−𝑥2(𝑥2−当|𝑥|=1,即𝑥=1或1时𝑓(𝑥)−𝑓′(1)= = 𝑥−′2 ′

2 𝑓′(1)=

𝑓(𝑥)−𝑓(1)=

𝑥

−𝑒(

(𝑥

𝑥−

𝑥−

(𝑥−=lim(−2𝑥𝑒−𝑥2(𝑥2−1))=𝑓′(−1)=lim𝑓(𝑥)−𝑓(−1)= 𝑥−

2 1 2 1𝑒𝑓′(−1)=lim𝑓(𝑥)−𝑓(−1)=lim𝑥 (

lim(𝑥 − 𝑥− 𝑥+ (𝑥+=lim(−2𝑥𝑒−𝑥2(𝑥2−1))=由于𝑓′(1)=𝑓′(1)=0𝑓′(−1)=𝑓′(−1)= 所以𝑓′(1),𝑓′(−1)存在且𝑓′(1)=𝑓′(−1)=

0,|𝑥|≥1= −2𝑥𝑒−𝑥(𝑥2−1),|𝑥|<【证明】构造函数𝑓(𝑥)=𝑎sin𝑥−𝑥+𝑏(𝑎𝑏>因为𝑓(0)=𝑏>0𝑓(2𝑎𝑏)=𝑎sin(2𝑎𝑏(2𝑎+𝑏𝑏=𝑎[sin(2𝑎+𝑏2]<即𝑓(0𝑓(2𝑎𝑏)<0且𝑓(𝑥)在[0,2𝑎𝑏]内连续∃𝑥0∈(0,2𝑎+𝑏)满足𝑓(𝑥0)=因此方程𝑥=𝑎sin𝑥+𝑏(𝑎𝑏>0)至少有一个正根∈|𝑓′(𝑥)|=lim

)∩(𝑎, |,𝑥∈𝑈 𝑥−≤由|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)|≤(𝑥−𝑥)𝟐得−|𝑥−𝑥 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)|≤|𝑥−𝑥≤ 𝑥− 𝑓(𝑥)−又lim|𝑥−𝑥|=0,由迫敛性定理得|𝑓′(𝑥)|=lim )= |0即𝑓 𝑥−由𝑥0的任意性得∀𝑥∈(𝑎𝑏)𝑓′(𝑥)≡同理可得𝑓′(𝑎)=0,𝑓′(𝑏)= ,1∀ε>0,∃N=[]+1,当𝑛>N时𝑝∈𝑁sin(𝑛+ sin(𝑛+|𝑎𝑛+𝑝−𝑎𝑛|=| +⋯+ (𝑛+1)[(𝑛+1)+sin(𝑛+1)𝑥] (𝑛+𝑝)[(𝑛+𝑝)+sin(𝑛+𝑝)𝑥]≤| sin(𝑛+1)𝑥 |+⋯+| sin(𝑛+𝑝)𝑥 (𝑛+1)(𝑛+1)+sin(𝑛+ (𝑛+𝑝)[(𝑛+𝑝)+sin(𝑛+ ≤(𝑛+1)𝑛+⋯+(𝑛+𝑝)(𝑛+𝑝−1)=𝑛−𝑛+𝑝<𝑛<根据收敛准则得,数列{𝑎𝑛}收敛 1【证明】构造函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑥≥1(𝑎> ln𝑓′(𝑥)=

𝑎𝑥ln,𝑓′′(𝑥)

𝑎𝑥ln𝑎(1

𝑥

>由日中值定理有,∃ξ∈(𝑛,𝑛+ 𝑎𝑛−𝑎𝑛+1=𝑓(𝑛)−𝑓(𝑛+1)=又𝑓′(𝑥)在(𝑛𝑛+1)上单调递增即𝑓′(𝑛)<𝑓′(ξ)<𝑓′(𝑛+ 𝑎𝑛11所以 <𝑓′(ξ)< (𝑛+ 𝑎𝑛− 即(𝑛+1)2 ln <𝑛2 【注意】本题也可以构造函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥,做简单的放缩即可lim𝑓(𝑥)=𝐴,设{𝑥𝑛}⊂𝑈0(𝑥0𝛿0)lim𝑥𝑛=𝑥0lim𝑓(𝑥𝑛)= lim𝑓(𝑥)=𝐴有ε>0,∃δ>0(≤𝛿0)使∀𝑥∈𝑈0(𝑥0𝛿)有|𝑓(𝑥−𝐴|<又由于{𝑥𝑛}⊂𝑈0(𝑥0𝛿0)lim𝑥𝑛=𝑥0所以对上述的δ>0,∃N>0n>N𝑥𝑛∈𝑈0(𝑥0𝛿)即有|𝑓(𝑥𝑛)−𝐴|<εlim𝑓(𝑥𝑛)=充分性：设{𝑥𝑛}⊂𝑈0(𝑥0𝛿0)lim𝑥𝑛=𝑥0lim𝑓(𝑥𝑛)=𝐴lim𝑓(𝑥)= lim𝑓(𝑥)≠𝐴则∃ε0>0,δ>0(≤𝛿0)𝑥𝛿∈𝑈0(𝑥0