压杆稳定问题

压杆稳定问题第1页/共115页2本章主要研究：

压杆稳定概念

压杆临界载荷的确定

压杆稳定条件与合理设计第2页/共115页3强度条件是否适用于下列拉压杆？1.问题的提出§11-1

引言FFFF短粗杆FFFF细长杆结论：对于细长压杆，必须研究稳定问题第3页/共115页4赵州桥历千年风雨（隋）Tacoma海峡大桥弱不经风（1940年破坏）Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）2.稳定问题的研究历史与工程实例科学理论的重要性；社会生产实践推动科学理论研究第4页/共115页5老Tacoma海峡大桥新Tacoma海峡大桥考虑与未考虑稳定问题的设计对比未考虑稳定问题考虑了稳定问题第5页/共115页63.各种各样的失稳现象第6页/共115页7窄高梁弯曲薄壁件受外压薄壁圆筒轴向受压3.各种各样的失稳现象（续1）第7页/共115页8左侧为风速低于颤振速度，结构振动稳定；右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。风洞颤振试验照片3.各种各样的失稳现象（续2）第8页/共115页9航空科学的重要课题：飞机颤振问题研究3.各种各样的失稳现象（续3）第9页/共115页104.平衡的稳定性——刚体

（1）刚性面上的刚性球a.合力FR指向平衡位置稳定平衡b.FR为0c.FR偏离平衡位置不稳定平衡临界(随遇)平衡第10页/共115页115.平衡的稳定性——刚杆弹簧系统稳定平衡临界(随遇)平衡不稳定平衡临界载荷驱动力矩恢复力矩刚杆－弹簧系统稳定性演示第11页/共115页12

6.平衡的稳定性——受压弹性细长杆F<Fcr

稳定平衡F＝Fcr

临界状态压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳F>Fcr

不稳定平衡压杆在任意微弯位置均可保持平衡临界载荷－Fcr:

压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时的轴向压力值。压杆失稳：当轴向压力达到某一值时，压杆直线形式的平衡突然改变（破坏）的现象。第12页/共115页13§11-2两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支压杆临界载荷实验测定两端铰支压杆失稳动画演示第13页/共115页14

一、简化模型：刚杆-扭簧系统，弹簧常数k*1.模型一个实际背景：下肢。举重运动员为何可能腿晃？第14页/共115页152.刚杆-扭簧系统分析，弹簧常数k*FMBFBCq研究临界平衡状态，画BC段受力图驱动力矩（小变形）：恢复力矩：由平衡条件：存在非零解条件：平凡解，不稳定平衡位置弹性压杆：连续直线分布的扭簧系统FABC第15页/共115页16

二、(弹性压杆）临界载荷的欧拉公式两端受压简支杆FM(x)xFFFFF临界平衡状态驱动与恢复内力矩驱动力矩恢复内力矩第16页/共115页17驱动内力矩恢复内力矩压杆稳定微分方程FF通解：位移边界条件：

存在非零解的条件：第17页/共115页18设：

n=1临界载荷欧拉公式FF注意到：第18页/共115页19

三、两端简支压杆临界载荷的欧拉公式的几点讨论1.欧拉公式的适用范围Q

压力沿杆件轴线Q

小挠度(小变形)Q

线弹性Q

理想均质材料,细长杆FF第19页/共115页203.临界载荷与压杆几何与材料性质的关系——压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡。2.临界平衡挠曲轴曲线特征可有任意的微弯程度,但轴线形状一定临界载荷与截面抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比。FFxw第20页/共115页21问题：结构在哪个平面内失稳？解：临界载荷四、例：球形铰，确定图示压杆的临界载荷(h>b)bhyzxaFFOxyz压杆在x-z平面内失稳第21页/共115页22§11-3两端非铰支细长压杆的临界载荷

解析法与类比法确定临界载荷：

固支-自由压杆铰支-固支压杆固支-固支压杆欧拉公式的统一表达式：

相当长度与长度因数例题第22页/共115页23一、解析法与类比法确定临界载荷FABFAB（1）解析法：根据微弯临界平衡状态建立微分方程令1.固支-自由压杆FxMF第23页/共115页24通解：考虑位移边界条件：FAB或存在非零解的条件：第24页/共115页25取n=1,得固支-自由压杆的临界载荷：FAB存在非零解的条件：注意到：得：第25页/共115页26FFF（2）类比法观察：受力与变形与两端铰支压杆左半部分相同类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于长2l的对应铰支压杆的临界载荷。与解析法结果相同第26页/共115页272.一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷FFFRxFwF通解：（1）解析法：根据微弯临界平衡状态建立微分方程第27页/共115页28Fx通解：考虑位移边界条件：如何建立求临界载荷的数学方程？第28页/共115页29FxA,B,FR存在非零解的条件：第29页/共115页30Fx思考讨论题：力学模型（有条件的随遇平衡）、数学方程（微分方程）、有条件的随遇平衡的数学表达（齐次方程的非零解）之间的对应关系。第30页/共115页31（2）.类比法FcrABFcr0.7lFcrBCFcr拐点ABC变形曲线观察：与B端相距约0.7l处有一拐点C类比：拐点C处弯矩为零，将C点坐标转动到变形前位置，BC段类比铰支压杆。第31页/共115页323.两端固支压杆：类比法BA拐点拐点EDC（1）根据对称性，AB中点C可视为固定端（2）根据AC与CB的反对称性，两段中点D、E为拐点（3）根据对称性，DE段可类比为两端铰支杆（4）临界载荷：分析关键：寻找与两端铰支杆受力相同的杆段第32页/共115页33二、欧拉公式的统一表达式：ml——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度m——长度因数:支持方式对临界载荷的影响欧拉公式可以写成统一形式：第33页/共115页34CFaBA习题10-3：AB刚性杆，BC弹性梁，弯曲刚度EI，求Fcrq1q2F解：考虑梁杆结构的临界平衡，B为刚性接头，在B处由杆，B处内力偶由梁，B处转角第34页/共115页35CFaBAqqFFqF讨论下面两力学问题的相似处左图：右图：结论：梁段BC相当于弹簧常数为k=3EI/l的碟形弹簧第35页/共115页36

作业2版：10-2，4，5，83版：11-2，4，5，8第36页/共115页37上一讲回顾1．弹性平衡稳定性的概念

受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。

2．压杆的临界载荷

使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳定的轴向压力值。

3、两端铰支细长压杆稳定微分方程

4、两端铰支细长压杆的临界载荷第37页/共115页385、欧拉公式的统一表达式：ml——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度m——长度因数:支持方式对临界载荷的影响第38页/共115页39§11-4中、小柔度杆的临界应力问题：欧拉公式适用范围？研究欧拉公式适用范围，从何入手？ 如何处理欧拉公式适用范围之外的压杆失效？欧拉公式一般表达式欧拉公式适用范围第39页/共115页40一、临界应力与柔度临界应力定义——截面的惯性半径，只与截面形状相关——压杆的柔度或长细比，无量纲量

欧拉公式可以写成

综合反映了压杆长度l，支撑方式与截面几何性质i对临界应力的影响。第40页/共115页41二、

Euler公式的适用范围令Euler公式的适用条件：p

的压杆，称为大柔度杆p：材料常数，仅与材料弹性模量E及比例极限p有关第41页/共115页42三、临界应力的经验公式的压杆－非细长杆，属于超过材料比例极限的稳定问题，通常用经验公式计算。（I）直线型经验公式(合金钢、铝合金、铸铁与松木等)

式中a,b为材料常数，单位MPa,可查表。

临界应力不能小于材料的极限应力scu，令:p，大柔度杆；l0≦l<lp，中柔度杆；

<0，小柔度杆（塑）（脆）第42页/共115页43临界应力总图——临界应力（或极限应力）随柔度变化的曲线小柔度杆中柔度杆大柔度杆第43页/共115页44适用于结构钢与低合金结构钢等（II）抛物线型经验公式a1,b1为材料常数第44页/共115页45中柔度杆采用欧拉公式计算临界应力，结果可能不安全。中柔度杆采用欧拉公式计算临界应力，结果安全，偏于保守。大柔度杆采用中柔度杆公式计算临界应力，结果可能不安全。大柔度杆采用中柔度杆公式计算临界应力，结果安全，偏于保守。答：A、C大柔度杆中柔小柔例：下述表述正确的是______。第45页/共115页461.计算钢管实际柔度与临界柔度，确定用何公式。Dd例：，，，，，，求不失稳允许的温度。分析：2.解静不定问题确定允许温升。第46页/共115页47解:

(1)、计算钢管临界柔度钢管实际柔度：Dd例：，，，，，，求不失稳允许的温度。第47页/共115页48大柔度杆，用Euler公式

(2)计算临界失稳时温升设温度增加温度应力令Dd第48页/共115页49解：（1）先求作用FN2与F的关系例2：刚性梁，两大柔度杆EI（1）求失稳（2）求结构失稳21刚性梁AD绕A点转动由刚性梁AD的平衡静不定结构稳定性分析第49页/共115页50正确解答：解：（2）求结构失稳时，下述解法是否正确？21由变形图由刚性梁AD的平衡结构失稳时，答：不正确，在结构临界失稳时而是由AD梁平衡第50页/共115页51解：（1）解除杆约束变形协调条件：由梁静力平衡例3：弹性梁两大柔度杆EI，设两杆拉压强度足够，且轴向拉压变形可忽略。（1）求失稳（2）求结构失稳B点反力FB引起C点弯矩Fa引起21EI0第51页/共115页52杆2首先失稳，临界载荷故结构临界载荷思考:1.考虑梁变形，杆2失稳时外载F临界值变大还是变小?2.考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小?21EI0第52页/共115页53答：不变。结构失稳时，无论梁变不变形，杆1和杆2承载都达到各自临界值。21思考:1.考虑梁变形，杆2失稳时外载F临界值变大还是变小?答：临界载荷变小，因为杆2达临界失稳时杆1受拉。2.考虑梁变形，结构失稳时外载F临界值变大还是变小?第53页/共115页54§11-5压杆稳定条件与合理设计一、稳定条件：稳定许用压力：稳定许用应力

：稳定安全因数

选择稳定安全因数时，除了遵循确定强度安全因数的一般原则外，还应考虑加载偏心与压杆初曲等因素。一般：稳定安全因数>强度安全因数。第54页/共115页55二、折减系数法[s]－许用压应力压杆稳定条件稳定许用应力曲线－折减系数或稳定系数第55页/共115页56三、压杆的合理设计依据：欧拉公式经验公式临界应力总图1.合理截面形状：

选择惯性矩较大的截面形状注意失稳的方向性第56页/共115页57注意失稳的方向性在x-y平面失稳在x-z平面失稳mz>my，设计Iz>Iy;等稳定设计：第57页/共115页58例6：大柔度立柱，刚性板，失稳时结构如何运动？可能的失稳形式截面实际发生的失稳形式第58页/共115页59

2.合理选择材料：大柔度压杆：E较高的材料，

scr

也高，各种钢材（或各种铝合金）的E基本相同依据：欧拉公式中柔度压杆：强度较高的材料，scr

也高小柔度压杆：按强度要求选择材料高强度钢一般不提高E，从而不提高结构稳定性钢与合金钢:E=200~220GPa铝合金:E=70~72GPa第59页/共115页603.合理安排压杆约束与杆长:依据：欧拉公式第60页/共115页61F4.稳定性是整体量，可以不计局部削弱，局部加强也收效甚微课后讨论题试比较梁的合理强度设计、合理刚度设计、压杆的合理稳定性设计。合理设计依据，三者的共同或相似处，三者的不同处。依据：压杆稳定微分方程的积分解答是整体量

第61页/共115页62例：梁，长l=2m,截面正方形，边长b=150mm，经验公式，，两端铰支，求许可载荷。柱AB截面圆形、直径d=36mm,长l’=0.8m,lp=99.3,l0=57，ABPCdbbD求解思路：对梁AB进行强度分析，对压杆CD进行稳定性分析，取两许可载荷较小者。第62页/共115页63解：(1)对梁的强度分析ABPCdbbD(2)对柱AD的稳定性分析对柱采用中柔度杆公式计算第63页/共115页64ABPCdbbD(2)对柱采用中柔度杆公式计算注意：对压杆，必须先判断是大柔度、中柔度、还是小柔度杆，才能选用合适的公式计算。第64页/共115页65四、大挠度理论与实际压杆1.简化模型：刚杆-扭簧系统，弹簧常数k*FMBFBCq恢复力矩：由平衡条件：驱动力矩（大变形）：FABC第65页/共115页66实际临界载荷不是随遇平衡小变形理论给出合理简化OCAB大变形理论小变形理论简化模型小挠度理论简化模型大挠度理论第66页/共115页672.大挠度理论与实际压杆DOCAB精确压杆稳定微分方程（求解大挠度问题）理想压杆小挠度理论与大挠度理论及实验结果比较大挠度理论小挠度理论实验结果由大挠度理论，F=1.015Fcr,

wmax=0.11l.

比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。第67页/共115页68例1：试用类比法求临界载荷解（1）失稳曲线特征分析：（2）类比方式两端转角为零，A端允许水平位移，B端允许垂直位移。类比长为2l的两端固支杆。AB

类比法的应用第68页/共115页69例1：试用类比法求临界载荷（2）类比方式类比长为2l的两端固支杆。（3）关键寻找与已知失稳载荷的杆中受力相同的杆段。（4）思考类比为长l、一段固定、一端自由杆。第69页/共115页70作业2版：10-13,14,153版：11-13,14,15第70页/共115页71一、临界应力总图小柔度杆中柔度杆大柔度杆上一讲回顾第71页/共115页72二、压杆稳定条件三、压杆的合理设计依据：欧拉公式经验公式临界应力总图1.合理截面形状：

2.合理选择材料：3.合理安排压杆约束与杆长:4.稳定性是整体量，可以不计局部削弱与局部加强。第72页/共115页73一、显现与潜在失稳形态两个稳定问题讨论二、高速水流管道失稳第73页/共115页74两个稳定问题讨论之一一、显现与潜在失稳形态2007年06月14日广州黄埔大桥脚手架坍塌

第74页/共115页75例：下列结构OA，BC为大柔度杆， AB为刚性杆。求失稳临界载荷。第75页/共115页76（1）分析:弹性杆-弹簧系统有两种失稳形式：a.弹簧变形，杆保持直线偏转失稳；b.弹簧变形，杆弯曲失稳。实际发生·潜在失稳形式。在临界状态，载荷引起的偏转力矩与弹簧力的恢复力矩平衡。解：（a）设微干扰后杆OA保持直线偏转失稳。第76页/共115页77解：

（b）弹簧不变形，杆弯曲失稳。较小临界载荷所对应的失稳形式是结构实际失稳形式。杆OA相当于两端铰支杆(a)(b)第77页/共115页78（2）分析：悬臂梁BC相当于一弹簧，为了求当量弹簧常数k*，设刚性杆AB上作用一水平力F*，则悬臂梁BC水平位移d为当量弹簧常数（2）解：（a）设微干扰后，OA杆保持直线偏转失稳。类比（1）的解法：第78页/共115页79（a）（2）解：（b）设微干扰后，OA杆弯曲失稳。对比杆（1）结构（2）失稳临界载荷第79页/共115页80进一步讨论：根据欧拉公式，大柔度压杆当n>1时，上述解答有无实际意义？的启示解把握潜在失稳形式的重要性第80页/共115页81高阶解的意义：展示高阶解的小实验：1，2，3个半波的波形失稳第81页/共115页82高阶解的讨论与工程应用FF增加在失稳过程中一直不受力的相应零力约束，能使临界载荷提高n2倍。南京电视台脚手架失稳不同学科问题对比：化学催化剂自身不参加反应，提高反应速度工程应用：脚手架，加中间约束第82页/共115页83反映不同运动形式内在联系的稳定系列实验从“不识庐山真面目，只缘身在此山中”到“会当凌绝顶，一览众山小。”右图：随质量块振动频率变化，系统或左右摇摆，或上下振动上图：随流速变化从层流到湍流的转捩实验第83页/共115页84一、观察与思考两个稳定问题讨论之二握高压水枪的手为什么会颤抖？洗衣机排水管为什么会在地面摆动？第84页/共115页85例：流体截面积A，密度

r，管弯曲刚度EI，求临界流速vcr解：管微弯后，流体动反力为此动反力引起（驱动）弯矩其中rc(x)为曲率半径高速水流管道失稳问题第85页/共115页86例：流体截面积A，密度

r，管弯曲刚度EI，求临界流速vcr曲率表示的弯曲变形公式建立了弹性恢复力矩与曲率的关系又：或第86页/共115页87方程的通解对于四阶微分方程要考虑位移与力的边界条件，铰支端力的边界条件可表示为注意到：铰支端力的边界条件可改写为第87页/共115页88问题边界条件可写为代入方程的通解得第88页/共115页89组合变形实验应力分析（参考16章）一、应变片及其转换原理敏感栅的电阻变化率与正应变成正比应变片应变灵敏度第89页/共115页90二、电桥测量原理1.全桥读数应变惠斯登电桥电阻应变仪第90页/共115页912.半桥读数应变与温度补偿R3和R4，内部相同的固定电阻。工作片补偿片最好能在桥路中自补偿；否则，要用绝对不受力的温度补偿片。

R1和

R2都是工作片R1，工作片。R2，补偿片。温度补偿问题第91页/共115页923.半桥测量例a.工作片贴1，补偿片贴不受力件b.1和2两工作片工作片补偿片工作片1工作片2不需补偿片，灵敏度提高一倍。第92页/共115页93三、组合变形实验方案设计与测量1.弯扭组合轴E，μ，d，试由四个应变片测量M，T。设计布片方案和桥路，写出计算公式。例：方案1.全桥测M扭转切应力不对应变片发生影响方案评价：可测弯矩，不能测扭矩，测弯矩灵敏度为贴单片时的4倍。第93页/共115页94方案2.半桥测T、M方案评价：只利用了两应变片，灵敏度为贴单片的两倍。(1)由应变片a、b测M第94页/共115页95(2).半桥测Tc、d两点应变包括了弯曲应变eM和扭转应变eT

第95页/共115页96方案3.全桥测T

、

M此桥路消除M的影响方案评价：充分利用4应变片，灵敏度提高4倍。思考：如果存在轴力，此一布片方案和桥路如何测T。(1)测T第96页/共115页97方案3.全桥测M方案评价：自行补充。(2)测M第97页/共115页982、图示两端开口的薄壁圆筒，内压p，扭力偶矩T，圆筒内径d，壁厚t，材料的弹性模量E和泊松比μ。测p和T,建立压力p、扭力偶矩T与所测正应变之间的关系。哪种方案合理?(1)轴向和环向，测出e0和e90

。（2）与轴线成45o角方向，测出

e45和e-45。，Tp（2）（1）l解:(1)轴向与环向应力方案(1)贴片不能测切应力，也就不能测扭矩，故不合理。第98页/共115页99解:(2)与轴成45o方向应力Tp（2）（1）l由广义胡克定律：第99页/共115页100主应力方向未知时，须由三独立量才能确定一点应力状态。三片45°应变花0°45°90°三片60°应变花0°60°120°四、应变花第100页/共115页10145°x

y

例

用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。解：

1.首先计算切应变第101页/共115页10245°x

y

2.计算最大正应变例

用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。0

max

第102页/共115页103例：薄壁筒内径D、厚δ，和宽b板条滚压，内压p，焊口要求，，确定b的取值范围。分析：,是的函数，先确定的取值范围。是b的