2.4.1 圆的标准方程 教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆的标准方程教学设计教学目标（1）类比直线方程的建立过程，通过回顾确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程，发展逻辑推理素养。（2）会根据圆心坐标和半径长写出圆的标准方程，并能根据圆的标准方程判断点与圆的位置关系，进一步体验坐标法的思想。（3）会根据具体问题的条件求圆的标准方程，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。教学重点与难点教学重点：圆的标准方程及坐标法的思想.教学难点：圆的方程的求解.教学过程设计复习回顾提出问题问题1上一章，我们是怎样用代数方法研究直线这种几何图形的？追问我们应该怎样研究圆呢？师生活动：通过复习回顾直线的研究方法：先由确定直线的几何要素建立直线的方程，再通过方程研究直线，类比得到圆的研究方法和研究内容：先由确定圆的几何要素建立圆的方程，再通过方程研究圆.设计意图：从知识形成的最近发展区出发，设置有价值的问题，激发学生的探索欲望.通过问题1获得本章研究方法，明确本章研究内容，顺势引入新课.类比探索建立方程问题2在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？师生活动：结合圆的定义，学生思考得出确定一个圆的几何要素：圆心和半径.设计意图：明确确定圆的几何要素，为圆的标准方程的建立做好铺垫.问题3若圆心为，半径为，你能建立的方程吗？师生活动：学生先自主探索圆的方程，教师再用“曲线与方程”的思想结合推导过程的等价性解释：（1）圆上的点的坐标都满足方程；（2）坐标满足方程的点都在圆上.最后给出圆的标准方程.设计意图：经历圆的方程的建立过程，认识曲线与方程之间的关系，体会解析几何的一般研究方法，发展逻辑推理素养.同时，引导学生体验圆的标准方程的对称美和简洁美.辨析理解认识方程问题4你能说写出下列圆的方程吗？（1）圆心为(0,0)，半径为r；（2）圆心为(1,2)，半径为3；（3）圆心为(1,-2)，且过点（1,1）.追问反过来，上述方程表示什么图形？为什么？师生活动：学生口答完成，教师点评总结，引导学生进一步认识圆的标准方程的特征.设计意图：初步认识圆的标准方程，了解圆的标准方程的结构特点.思考交流应用方程例1写出圆心为，半径等于5的圆的方程，并判断点，，是否在这个圆上.师生活动：学生自主完成，教师适时点拨.设计意图：为加深对圆的标准方程的理解，教材设置了例1.例1分为两部分，首先根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程从几何到代数；然后根据点的坐标是否满足圆的方程，来判断点与圆的位置关系从代数到几何，充分体现了坐标法的思想.探究一般地，怎样判断点与圆的位置关系？师生活动：学生交流，得出结论（为圆心，为半径）：设计意图：将结论推广到一般，加深对圆的标准方程的理解.在例1的基础上，“探究”迎刃而解.例2△的三个顶点的坐标分别是，，，求它的外接圆方程.追问你还能用其它方法求它的外接圆方程吗？试比较不同方法的特点.师生活动：先思后说，先练后讲.教师启发引导学生比较、归纳得出求任意三角形外接圆的方程的两种方法.在分析过程中，突出图形在在分析问题中的辅助作用.设计意图：为巩固圆的标准方程，教材设置了例2.用待定系数法和数形结合法分别求解圆的标准方程，让学生比较发现，借助图形的辅助作用可以简化运算，使学生体会数与形结合的重要性和优越性.因此，我们既要重视“代数求解”，也要重视“几何直观”.教学时，要引导学生先用几何眼光观察思考，再用坐标法推证求解.变式练习（教材例3）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求该圆的标准方程.师生活动：要求学生用两种方法完成，然后生生纠错互评.设计意图：在例2的基础上完成变式练习（教材例3），让学生体验成功的喜悦.反思小结深化提升学生交流讨论：（1）学到了什么知识？（2）解决了什么问题？（3）用到了什么方法？（4）还有什么疑问？设计意图：课堂小结除了总结知识，还应该站在方法论的角度总结整节课的学习过程和研究路径，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对圆的标准方程认识的再次深化.目标检测设计（1）教材121页练习3.设计意图：考查圆的标准方程的求解及应用.（2）教材121页练习4. 设计意图：根据不同问题的特点，选择合适的方法求圆的标准方程.课后作业设计（1）书面作业：教材124页习题4.1A组第2-6题.（2）探究作业：把圆的标准方程展开后是什么形式?方程在什么条件下表示圆？设计意图：作业分两个层次，既面向全体学生，巩固双基，又为学有余力的学生留出自由发展的空间，把探索和研究推向更加广阔的空间.教学反思为了帮助学生科学地构建数学知识体系,首先，要帮学生明确解析几何的研究对象和研究方法.解析几何的研究对象是几何图形，几何图形的研究方法有综合几何法、解析几何法、向量几何法.解析几何的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数（有序数对或数组）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.所以，解析几何的本质是用代数方法研究几何图形的性质，解析几何的基本方法就是坐标法，解析几何的研究路径（过程）就是：认识曲线的几何特征——建立曲线的标准方程——通过方程研究曲线的性质——应用.其次，教师在备课时首先要明确本单元在整个数学知识体系中的地位,比如《圆的方程》这一单元在解析几何的地位，本单元与其他单元之间有何关系；其次要研究《圆的方程》这一单元与各部分之间的逻辑结构,找出全单元由哪些部分有机地组成,同时也要研究各部分之间的逻辑结构是怎样形成的,是横向的结构,还是纵向的结构.只有让学生从结构上掌握这种系统的科学知识,才能在学生头脑中形成他们自己的知识体系.在第一课时4.1.1圆的标准方程的教学中，例1分为两部分，首先根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程从几何到代数；然后根据点的坐标是否满足圆的方程，来判断点与圆的位置关系从代数到几何，充分体现了坐标法的思想.在教学中，把教材例1的两个点改为三个点，它们分别在圆上、圆内、圆外，并且点的坐标比较特殊，不含根号，运算量较小.这样就将重心放在了利用代数结果判断几何关系上，注重少一点算、多一点想，以发展学生的理性思维.由特殊到一般，例1后的“探究”：判断点与圆的位置关系就迎刃而解.对于例2，用待定系数法求圆的方程，突出了解析几何最基本的研究方法坐标法.因为“用代数方法研究几何问题”具有普适性和程序性，所以，坐标法是学生学习解析几何首先要掌握的方法.而对于例3（教学中，我把教材例3作为例2的变式练习处理），求圆的标准方程，在强调坐标法的基础上，充分利用图形的性质来简化运算.为什么有些同学认为解析几何难，就是因为没有画好图形，没有充分利用图形的几何性质来简化运算.所以，在教学中，要引导学生用两种方法分别求解例2与例3，两种方法都是重点，相互不可替代.解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，所以坐标法是解析几何最基本的研究方法.解析几何的学习，无论是斜率、截距等概念的形成，还是每种曲线方程的建立，以及利用方程研究曲线的性质、位置关系等问题，都应该在坐标法思想的引领下进行，即坐标法要“统领”整个解析几何专题的学习.解析几何的研究对象是几何图形，所以把握几何图形的基本特征（性质）才是首要的，然后才是代数方法的研究.如果只把注意力集中在代数角度，虽能达到细致入微的境界，但没有直观形象的支撑，最后还是不能很好地把握几何性质.因此，我们既要重视“代数求解”，也要重视“几何直观”,要注意“代数求解”与“几何直观”的相互为用.对于第一课时例3，在强调坐标法的基础上，引导学生充分利用图形的性质来简化运算，让学生体会数形结合的数学思想.再比如，2020年新高考=1\*ROMANI卷22题：已知椭圆，的离心率为，且过点.（1）求的方程；（2）点在上，且为垂足，证明：存在点使得为定值.本题第（2）问这是一道典型的圆锥曲线定点、定值问题，综合性强，运算量大.（1）合理转化，明确思路.根据目标要从“形”的角度去找思路，由于为定值，为动点，为定点，所以点的轨迹是圆，点是该圆的圆心。（2）利用性质，简化运算.设出点的坐标，在斜率存在时设直线的方程为，联立直线方程与