第二章2.12一椭圆的简单几何性质

(c＝(c＝x轴、y轴知识点 椭圆的离心思 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画答 小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆梳 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝c，叫做椭圆的离心率a(2)e的取值范围是(0,1)e1e0，椭圆a类型 椭圆的几何性例 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 于是 16－9＝∴2a＝8e＝c＝7x 4∴F1(－7，0)F2(A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率 把椭圆的方程化为标准方程9＋4xa＝3，短半轴长b＝2.又得半焦距 9－4＝2a＝62b＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0).顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2).e＝c＝ 的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.训练 设椭圆方程 点坐标及顶点坐标

1 椭圆方程化为标准形式为4＋m＝1，且0<m<44,23，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－3)，B2(0，m>4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F1(0，－233)，F2(0，233)，类型 求椭圆的离心命题角度 利用焦点三角形性质求椭圆的离心 例 正三角形的另两条边，则椭圆的离心率 答 解 方法 如图NDF2 4c2－c2＝则由椭圆的定义可知∴∴e＝c＝ ＝ 方法 注意到焦点三角形NF1F2中＝ sin ＝ sin∠NF1F2＋sin sin90° sin30°＋sin＝ 1＋ ＝＝与感 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c求解 训练 △F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 答 2解 如图，设直线x＝3a交x轴于D点2因为△F2PF130°的等腰三角形，因为所以所以 即3a－c＝1×2c ⇒即 44命题角度 利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围 例 答案3 解 直线AB：x＝c，代入b2by＝a bb bb--a -∴kBF

1

∴直线b2bx＝0 a

由 b2∴3b2＝2ac，即∴3e22e－－2± 4－4－2± 4－4××－2222 2

＝

＝

2233则椭圆的离心率e的取值范围 [2 解 椭圆F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则c≥b，即c2≥b2，e21e2，

2e的取值范围是[2与感悟a，ca，b，ca2＝b2＋c2a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.训练 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率 答 55 由题意知2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝3或e＝－1(舍去).5类型 利用几何性质求椭圆的标准方＝例 6，求椭圆的标准方程＝(2)xFB1，B2的连线互相垂A的距离为10－5，求这个椭圆的方程. ①x轴上时，(3,0)∵e＝c＝6，∴c＝6＝6×3＝ 3 ∴b2＝a2－c2＝32－( ∴椭圆的标准方程为93②y轴上时，(3,0)∵e＝c＝6，∴c＝6 3

综上可知，椭圆的标准方程是93＝1或279 又B1F⊥B2F，，即|FA|＝10－a－c＝10－5将上面三式联立，得a－c＝10－ 与感 训练 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程(1)2倍，且过点(2)x (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为

解得

∴椭圆方程为y 椭圆方程为故所求的椭圆方程为

148＋37＝1或 ∴所求的椭圆方程为 33

B.

C.

22答 22

解 由2x＋3y＝m(m>0)，得 ∴c2＝m－m＝m，∴e2＝1，∴e＝ 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是

2＋4 B.x＋6

C.6＋y 答 解 由已知c＝5，b＝1，故方程为6＋x 答 解 y2y

已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围 答 [4－23，4＋2

解 的取值范围|x|≤3，|y|≤22，因此|m|≤3，即－3≤m≤32m＋4∈[4－222 答案(0，±解析y轴上，且a＝13，b＝10c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69).量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.40分钟作，椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长，短轴长，离心率依次是 ，， 3，， ，答

35 5， ，解 b＝2，a＝7，c＝3714,4，37 3已知焦点在y轴上的椭圆m＋y＝1，其离心率为2，则实数m的值是 或 或

22答 解 ∵焦点在y轴上 3 1－m＝244焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为 C.6＋4 答 解 依题意得c＝2 ，又a2＝b2＋c2，从而解得 所以所求椭圆的方程为椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是 －2 A.2－2 2 2C.

答

1 m解 椭圆方程可简化为1＋1＝1，由题意知

<m，∴a＝m，∴m2a＝2m

22 C.3＋4 答 解 由题意知 由①② a2－c2＝2 ∴椭圆的标准方程为 从椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)PxF1，Ax半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心 2323 答 解 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距 ∵OP∥AB，∴－y0＝－b a

2a2P(－ca)代入椭圆方程，得a2

b2∴c

2(a)＝2，∴e＝a＝2 AB是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)AB100AB 答 解析≤ 3，则长轴长的取值范围是 ≤答 1解 1－1≤ 若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程 答案41＝1或41 解 由题意可知1＋b2＝4b2 则此椭圆的标准方程为41＝1或14 答 解 ∴tan∠BAO＝tan即b＝c，得 e2＋e－1＝0，22

→OF分别为椭圆43＝1P的最大值 答 解 由题意，得F(－1,0)，设点 则有0＋0＝1y2＝3(1－ FP＝(x＋FP＝(x＋1，y)，OP＝(x，y

→ → 所以OP·FP＝x0(x0＋1)＋y2＝ x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，→ OP·FP取得最大值4

y轴上 (1)由椭圆C1：100＋64＝1，可得其长半轴长为58，焦点坐标(6,0)，(－6,0)5 离心率55 设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别