指数对数的导数复习

求指数、对数函数的导数求下列函数的导数:1.Iy=ln、；x2+1；2.y=log(2x2+3x+1)；23.y=esin(ax+b)； 4.y=a3xcos(2x+1).分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行.求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数.解：1.解法一：可看成y=lnu,u=\；v,v=x2+1复合而成.111-、—•v2•(2x)u21 1/n1c, •—(x2+1)2•2xxX2+12\：X2+1•X2+1解法二：y=lnvx2+1x.x2+1]1 —=^=(%x2+1)'xx2+11 1一1一.—(x2+1)-2•(x2+1)'、/x2+12%x2+12yx2+1解法三：y=lnvx2+1=11n(x2+1)，y'=—tn(x2+1)]=—•—i—•(x2+1)'=2 2x2+12.解法一：设y=10g2u，u=2x2+3x+1，y'=y'•u'=—•loge•(4x+3)xuxu2•loge

2-(4x+3)=(4x+3)」0gle2x2+3x+1解法二：y'=kg(2x2+3x+1)]=log2loge

2 2x2+3x+1•(2x2+3x+1)'x+3)=(4x+3)l0g2e2x2+3x+1.解法一：设y=eu,u=sinv,v=ax+b，则((3)y=esinxln(tanx)]sin(ax+b]sin(ax+b) =esin(ax+b)・ax+b)1y二(tanx)sinx；y=x2-x-6y'=y'•u'•u'=eu•cosv•axuvx=acos(ax+b)•esin(ax+b)解法二：y'==esin(ax+b)•cos(ax+b)•(ax+b)=acos(ax+b)•esin(ax+b),y'=[a3xcos(2x+1)]'=(a3x)'cos(2x+1)+a3x-[cos(2x+1)]'=a3x•lna•(3x)'cos(2x+1)+a3x[-sin(2x+1)](2x+1)'=3a3xlna•cos(2x+1)-2a3x•sin(2x+1)=a3x[3lna•cos(2x+1)-2sin(2x+1)].说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开.变形函数解析式求导例求下列函数的导数:(1)(2)y(1)分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量.解：(1)y=x2—x+1—x(2x—1) r —x2+1yy=1+ =1+ (x2-x+1)2 (x2-x+1)2(2)y=；[ln(1-x)-ln(1+x)],11(—1 1) 11+x+1—x1y- - =- = 211-x1+x) 2(1-x)(1+x) x2-1y'=esinxin(tanx)[sinxln(tanX)]'二(tanx二(tanx)sinxcosxln(tanx)+sinx tanx(tanx)'=(tanx=(tanx)sinxcosxln(tanx)+cosVcosJ/ 、i/ 、cos2x-sinx(一sinx)=cosx(tanx)sinxIln(tanx)+ cosx=cos=cosx(tanx)sinxln(tanx)+-1-cosx(4)J-(4)J-x2+x+6,xeL2,3]x2-x-6, xe[-2,3].J-2x+1,xe(2,3),[2x-1, xe(-8,-2)Y(3,+s).当x=-2,3时y'不存在.P(x)说明：求y= -(其中P(x)、Q(x)为多项式)的导数时，若P(x)的次数不小于Q(x)Q(x)的次数，则由多项式除法可知，存在s(x)、R(x)，使P(x)=Q(x)S(x)+R(x).从而P(x)一 R(x)=S(x)+ ,这里S(x)、R(x)均为多项式，且R(x)的次数小于Q(x)的次数.再R(x) Q(x)求导可减少计算量.对函数变形要注意定义域.如y=lg(x-1)-ln(x+1),则定义域变为xe(1,+8),所1 1 2x, ,1-x,,一,，以虽然y=ln(x-1)+ln(x+1)的导数+ = 与y=ln的导数x—1 x+1x2—1 1+xE结果相同,但我们还是应避免这种解法.1+x(1—x)1+x—(1+x)—(1—x)E结果相同,但我们还是应避免这种解法.1—xV1+xJ1—x(1+x)2函数求导法则的综合运用例求下列函数的导数：1.y=xJ1+x2；2.y=(x2—2x+3)-e2x；

工,二口；4k3口分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．TOC\o"1-5"\h\z: 7解：1.取y的绝对值，得|引=叶%；X2+1,两边取寻数，得ln|y|=ln|x|+-lnxx2+1.根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x求导，得2x 2x2+1—,y——+ - ,yx2(x2+1)x(x2+1), 2x2+1 ,——-2x2+1 2x2+1；・y—y• —xxx2+1• ―x(x2+1) x(x2+1) %：x2+12.注意到y>0,两端取对数，得lny—ln(x2—2x+3)+lne2x—ln(x2—2x+3)+2x..1.1.y，-(x2-2x+*2-•y丁一y x2-2x+32x-2 +2-2(x2-x+2)•y，-2(x2-x+2)•y-2(x222).(x2-2x+3)•e2xx2-2x+3 x2-2x+3-2(x2-x+2)•e2x..两端取对数,得ln|y|=ln|3x-2|-ln|2x+3|,两端对x求导，得1,(3x-2)'(2x+3)' 3 2一•y- - - - y 3x-2 2x+3 3x-22x+313- .(3x-2)(2x+3).两端取对数,得ln|y|--(ln|x|-ln|1-x|)两边对x求导，得1 11 -1 1 1—•y——(—— )- y3x1-x3x(1-x).,_1 1 _ 1 XT~一y―3•x（T^x）•）―3x（i—x）3匚x•说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应