《高等代数与解析几何》教学大纲（信计）

“高等代数与解析几何”课程教学大纲课程编号：高等代数与解析几何（1）08022011高等代数与解析几何（2）08022012课程名称：高等代数与解析几何AdvancedAlgebraandAnalyticalGeometry学时：高等代数（1）98学时学分：高等代数与解析几何（1）5学分高等代数（2）98学时高等代数与解析几何（2）5学分适用专业：信息与计算科学开课学期：第1学期，第2学期开课部门：数学与计算机科学学院先修课程：初等代数、初等几何考核要求：闭卷考试（平时考核成绩占30%、期末考试成绩占70%）使用教材及主要参考书：北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，王萼芳、石生明修订，《高等代数》（第四版），高等教育出版社，2015年。吕林根、许子道编《解析几何》（第四版）高等教育出版社，2016年。同济大学数学系《高等代数与解析几何》第一版，高等教育出版社，2015年。一、课程的性质和任务《高等代数与解析几何》是信息与计算科学专业的基础课程，本课程具有较强的抽象性和逻辑性，通过本课程的学习，使学生掌握基本理论和方法，进一步加强空间想象能力和运用代数与几何方法研究解决几何问题的能力，为学生以后学习其他课程做准备。二、教学目的与要求通过本课程的学习，使学生较好地掌握代数基本理论知识，增强学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力，提高学生的数学修养和素质，为今后从事中学数学教学或其它科学工作或继续深造打下良好的基础。学时分配高等代数与解析几何（1）章节课程内容学时1行列式182空间解析几何与向量代数223线性方程组204矩阵225二次型16合计98高等代数与解析几何（2）章节课程内容学时6多项式157线性空间228线性变换249欧几里得空间2410双线性函数13合计98四、教学中应注意的问题教师在教学中应严格按照本课程教学大纲的要求去做，严谨治学，对学生严格要求，保质保量完成教学任务。五、教学内容第一章：行列式1．基本内容排列：排列、逆序、奇偶排列的概念；对换与排列的关系；连加号Σ的应用。n级行列式：n级行列式的定义、基本性质；矩阵的概念及矩阵的初等变换；用基本性质计算n级行列式。行列式的展开：行列式按行（列）展开；拉普拉斯展开及行列式乘法规则；余子式与代数余子式的概念，范德蒙行列式；克兰姆法则及其应用。2．教学基本要求正确理解本章各概念、定义及有关定理；熟练掌握行列式的基本性质及用基本性质计算n级行列式；掌握行列式的拉普拉斯展开及行列式乘法规则；理解并掌握克兰姆法则及其应用；掌握范德蒙行列式的计算方法。3．教学重点、难点行列式的基本性质；用基本性质或拉普拉斯展开计算n级行列式；克兰姆法则及其应用。4．教学建议拉普拉斯定理·行列式的乘法规则为选学内容。教师可自行决定选择与否。本章安排两课时练习课。第二章：空间解析几何与向量代数1.基本内容向量相关概念及线性运算；空间直角坐标系、方向角；数量积；数量积；空间直线方程；空间各类特殊曲面方程，如，旋转曲面、柱面、二次曲面等。教学基本要求熟练掌握向量定义、向量的加法、向量的分解、向量的数量积和两向量的向量积等基本概念和定义；掌握用代数的方法定理研究空间最简单又最基本的图形：平面与空间直线，熟练掌握它们各种形式的方程，掌握它们之间位置关系的解析表达式以及距离、交角等计算公式；熟练掌握几种常见曲面的形状及方程。3．教学重点、难点向量在轴上的射影，两向量的数量积，两向量的向量积，三向量的混合积；平面的方程、空间直线的方程，空间点、直线与平面之间的位置关系；曲面、抛物面、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。4．教学建议三向量的混合积，曲面的方程及参数方程则为选学内容。教师可自行决定选择与否。本章安排两课时练习课。第三章：线性方程组1．基本内容线性方程组的消元法；n维向量空间：n维向量的定义、基本运算和运算的性质；向量组的线性相关性和线性无关性及其判定；向量组的极大线性无关组，秩及其等价关系；矩阵的秩及充要条件。方程组的解及其结构：线性方程组有解判别定理；齐次线性方程组解的结构和基础解系；非齐次线性方程组解的结构。*二元高次方程组的结式及其解法。2．教学基本要求正确理解本章各概念、定义、基本运算和运算的性质及有关定理；熟练掌握线性方程组的解法及解的结构。3．教学重点、难点齐次线性方程组解的结构和基础解系；非齐次线性方程组解的结构。4．教学建议用（*）注出了一些选学内容。教师可自行决定选择与否。本章安排两课时练习课。第四章：矩阵1．基本内容矩阵及其运算：矩阵的概念；运算和运算规律；几种特殊矩阵（对角矩阵、对称（反对称）矩阵，数量矩阵等）；矩阵乘积的行列式与秩。矩阵的逆：可逆矩阵的定义及简单性质；伴随矩阵及求逆矩阵的方法；克兰姆法则的矩阵形式。矩阵的初等变换：初等矩阵的定义；矩阵的等价；初等矩阵与初等变换的关系；初等变换求逆矩阵的方法。矩阵的分块：矩阵分块的定义及其运算；分块乘法的初等变换及其应用。2．教学基本要求正确理解本章各概念、定义、基本运算和运算的性质及有关定理，掌握用伴随矩阵和用初等变换求逆矩阵的方法；掌握分块矩阵乘法的初等变换及其应用。3．教学重点、难点求逆矩阵的方法；矩阵分块乘法的初等变换及其应用。4．教学建议矩阵分块乘法的初等变换及其应用一节较难，建议教学进度放慢。本章安排两课时练习课。第五章：二次型1．基本内容二次型的矩阵表示：二次型的矩阵与秩；二次型与对称矩阵的对应关系；二次型的等价与矩阵的合同。标准形及唯一性：标准形的定义；化二次型为标准型的配方法和合同变换法；复系数二次型的规范型；实系数二次型的惯性定理。正定二次型（正定矩阵）：正定二次型（正定矩阵）的概念；实二次型（实对称矩阵）正定的充要条件；介绍负定、半正定、半负定、不定二次型（矩阵）的概念。2．教学基本要求正确理解本章各概念、定义及有关定理；理解二次型与对称矩阵的对应关系；理解二次型的等价与矩阵的合同；掌握化二次型为标准形的配方法和合同变换法；理解并掌握化复系数二次型为规范形的方法；掌握实系数二次型的惯性定理及其应用；掌握实二次型（实对称矩阵）正定的充要条件及其应用。3．教学重点、难点化二次型为标准形的配方法和合同变换法。4．教学建议建议教学抓住本章重点、攻克本章难点。本章安排两课时练习课。第六章：多项式1．基本内容预备知识：集合的简单知识；数域的概念。一元多项式：一元多项式的定义，运算及运算性质；多项式的整除、互素的概念及性质；最大公因式的概念；多项式的带余除法和辗转相除法。因式分解定理：因式分解与数域的关系；不可约多项式、重因式、多项式函数的概念；因式分解及唯一性定理；复系数多项式与实系数多项式的因式分解定理及标准分解式；有理系数多项式不可约的判定（艾森斯坦因判别法）。2．教学基本要求正确理解本章各概念、定义及有关定理；熟练掌握多项式的带余除法和辗转相除法；较好掌握复系数多项式与实系数多项式的因式分解方法及有理系数多项式不可约的判定；掌握多元多项式的运算；掌握将对称多项式表为初等对称多项式的多项式的方法。3．教学重点、难点多项式的带余除法和辗转相除法；复系数多项式与实系数多项式的因式分解；将对称多项式表为初等对称多项式的多项式。4．教学建议教师可自行决定选择其中带有教材（*）内容授课。本章安排两课时练习课。第七章：线性空间1．基本内容线性空间：线性空间的定义与简单性质；线性空间中的维数、基与坐标的概念；基变换与坐标变换，过渡矩阵的概念。线性子空间：线性子空间的定义及其判定、扩基定理；子空间的交与和运算及其性质，维数公式；子空间的直和及充要条件。线性空间同构的定义及充要条件。2．教学基本要求正确理解本章各概念、定义、运算及有关定理；掌握线性空间（子空间）的判定方法；掌握线性空间的基变换与坐标变换及其应用；掌握子空间的交与和运算、性质及维数公式；理解并掌握线性空间同构的定义及充要条件。3．教学重点、难点线性空间中的基变换与坐标变换；子空间的交与和运算及其性质；维数公式。4．教学建议建议教学抓住本章重点，攻克本章难点。本章安排3课时练习课。第八章：线性变换1．基本内容线性变换：映射和变换的概念；线性变换的定义、运算及运算性质；线性变换的矩阵，坐标变换公式；线性变换在不同基下的矩阵，矩阵的相似关系；过渡矩阵的概念。特征值与特征向量：特征值、特征向量、特征多项式的定义，特征值与特征向量的求法，相似矩阵有相同的特征多项式，哈密尔顿—凯莱定理。对角矩阵：属于不同特征值的特征向量之间的关系；特征子空间的维数与所属特征根重数关系；矩阵可对角化的条件。不变子空间：不变子空间的定义，不变子空间与矩阵可对角化的关系；线性变换的值域与核，线性变换的秩与零度的关系。若当标准形与最小多项式：若当块矩阵与若当形矩阵的定义，矩阵的若当标准形；矩阵的最小多项式概念，最小多项式与矩阵可对角化的关系。2．教学基本要求正确理解本章各概念、定义及有关定理；掌握特征值与特征向量的求法；理解并掌握矩阵可对角化的条件；理解不变子空间与矩阵可对角化的关系，线性变换的值域与核，线性变换的秩与零度的关系；会求矩阵的最小多项式；理解最小多项式与矩阵可对角化的关系。3．教学重点、难点特征值与特征向量的求法；矩阵可对角化的条件；哈密尔顿—凯莱定理的证明。4．教学建议建议教学抓住本章重点，攻克本章难点。本章安排3课时练习课。第九章：欧几里得空间1．基本内容欧氏空间：欧氏空间的定义和简单性质；柯西—布涅柯夫斯基不等式，向量的长度、夹角、距离、度量矩阵的概念及性质，欧氏空间的同构。标准正交基：向量正交基的概念，正交向量组的性质；施密特正交化方法，正交矩阵的概念及简单性质；标准正交基的过渡矩阵与正交矩阵的关系。正交变换：正交变换的定义和基本性质，正交变换的等价命题，正交变换的类型；子空间的正交概念；实对称矩阵特征值的性质，用正交替换变二次型为标准形的计算。*酉空间：简单介绍酉空间的定义和基本性质，厄米特矩阵的概念。2．教学基本要求正确理解本章各概念、定义、性质及有关定理；掌握施密特正交化方法，理解并掌握标准正交基的过渡矩阵与正交矩阵的关系；掌握用正交替换变二次型为标准形的计算方法；了解酉空间的定义和基本性质。3．教学重点、难点施密特正交化方法；用正交替换变二次型为标准形的计算方法。4．教学建议用（*）注出了一些选学内容。教师可自行决定选择与否。本章安排两课时练习课。第十章：双线性函数1．基本内容线性函数：线性函数的定义及简单性质；线性函数与线性空间一组基的关系。对偶空间：对偶空间的定义；对偶基的定义；基到基的过渡矩阵与对偶基到对偶基的过渡矩阵的关系；线性空间到其对偶空间的对偶空间的同构映射。双线性函数：双线性函数的定义，双线性函数在一组基下的度量矩阵的定义；非退化双线性函数的定义，非退化双线性函数与其度量矩阵非退化的关系。*辛空间：辛空间的一些性质，辛空间的子空间及辛自同构（