高考数学刷题首秧第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试35基本不等式文含解析

考点测试35基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读认识基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1．“a>0且b>0”是“a＋b2≥ab”建立的( )A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案Aa>0且b>0?a＋ba＋bab?/a>0且b>0，只好推出a≥0且b≥0.分析2≥ab，但2≥2．已知0<x<1，则x(3－3x)获得最大值时x的值为( )1132A.3B.2C.4D.3答案B分析∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤x＋1－x2313＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时等号建立．242113．若函数f(x)＝x＋x－2(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )A．1＋2B．1＋3C．3D．4答案C分析∵＞2，∴－2＞0，∴(x)＝＋1＝(x－2)＋1＋2≥2x－2·1＋xxfxx－2x－2x－2122＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝x－2，即(x－2)＝1时等号建立，解得x＝1或3.又∵x＞2，∴x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处获得最小值，应选C.1)4．函数f(x)＝x＋(x<0)的值域为(xA．(－∞，0)B．(－∞，－2]C．[2，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案B111分析f(x)＝－－x－≤－2－x·－x＝－2，当且仅当－x＝－x，即x＝－1x时，等号建立．5．设0<x<2，则函数y＝x4－2x的最大值为( )22A．2B.C.3D.2答案Dx＋2－x分析∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤2·＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号．x2＋2x＋26．函数y＝(x>－1)的图象的最低点的坐标是( )x＋1A．(1，2)B．(1，－2)C．(1，1)D．(0，2)答案D2x＋12＋11分析y＝x＋1＝(x＋1)＋x＋1≥2，当x＝0时取最小值．7．设0<<，则以下不等式中正确的选项是()abA．<<a＋bB．<a＋bbab<ab<<ab2a2a＋ba＋bC．a<ab<b<2D.ab<a<2<b答案Ba＋b分析∵0<a<b，∴a<2<b，A，C错误；ab－a＝a(b－a)>0，即ab>a，D错误．应选B.8．已知a>0，>0，，的等比中项是1，且11，则＋的最小值是( )＝＋，＝＋bbabmbanamnA．3B．4C．5D．6答案B分析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1＝2b，n＝a＋1＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4，ab当且仅当＝＝1时取等号．ab9．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]答案Dxyxy1分析∵1＝2＋2≥22x·2y＝22x＋y当且仅当2＝2＝2，即x＝y＝－1时等号成1x＋y1立，∴2x＋y≤2，∴2≤4，得x＋y≤－2.10．以下函数中，最小值为4的是()A．y＝x2＋9x2＋534B．y＝sinx＋sinx(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋4logx3答案C分析对于A，因为x2＋5≥5，所以y＝x2＋5＋4的最小值不是4，所以不x2＋5444知足题意；对于B，令sinx＝t∈(0，1]，则y＝t＋t，y′＝1－t2＜0，所以函数y＝t＋t在(0，1]上单一递减，所以y≥5，所以不知足题意；对于C，y≥2ex·4e－x＝4，当且仅当ex＝4e－x，即x＝ln2时取等号，故知足题意；对于D，当x∈(0，1)时，log3x，logx3<0，所以不知足题意．11．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备花费为800元．若每批生产x件，则平x1元．为使均匀到每件产品的生产准备费均储存时间为8天，且每件产品每日的储存花费为用与储存花费之和最小，每批应生产产品( )A．60件B．80件C．100件D．120件答案B分析800x若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备花费是元，储存花费是元，总x8800x800x800x的花费y＝x＋8≥2x·8＝20，当且仅当x＝8时取等号，得x＝80(件)．应选B.111，且a＋b＋c＝1，a，b，c∈(0，＋∞)，则M的取值范－1－1－112．设M＝abc围是________．答案[8，＋∞)b＋ca＋ca＋b2bc·2ac·2ab1分析M＝a·b·c≥abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝3时取等号．二、高考小题4x2－x＋3，x≤1，13．(2017·天津高考)已知函数f(x)＝2设a∈R，若对于x的x＋x，x＞1.x不等式f(x)≥2＋a在R上恒建立，则a的取值范围是( )474739A．－16，2B．－16，1639C．[－23，2]D．－23，16答案Ax2x分析①当x≤1时，对于x的不等式f(x)≥2＋a在R上恒建立等价于－x＋x－3≤2＋2212321a≤x－x＋3在R上恒建立，即有－x＋2x－3≤a≤x－2x＋3在R上恒建立．由y＝－x＋21114723x－3图象的对称轴为x＝44＜1，可得在x＝4处获得最大值－16；由y＝x－2x＋3图象的对333394739称轴为x＝44＜1，可得在x＝4处获得最小值16，则－16≤a≤16.x2x2②当x>1时，对于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒建立等价于－x＋≤＋a≤x＋在2x2x32x2>1，所以－323x2R上恒建立，即有－＋≤≤＋在R上恒建立，因为x2x＋≤－2·2xxa2xx2x2时获得最大值－21212＝－23，当且仅当x＝3；因为x>1，所以x＋≥2x·＝2，当32x2x且仅当x＝2时获得最小值2，则－23≤a≤2.47由①②可得－≤a≤2.应选A.1614．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋1的最小值为________．8b1答案4a1a－3b1分析由已知，得2＋8b＝2＋2≥22a·2－3b＝22a－3b＝22－6＝4，当且仅5a－3b时等号建立，由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，故当a＝－3，b＝1当2＝2a11时，2＋8b获得最小值4.15．(2015·重庆高考)设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．答案32分析令t＝a＋1＋b＋3，22则t＝(a＋1＋b＋3)＝a＋1＋b＋3＋2a＋1·b＋39＋a＋1＋b＋3＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时，3即a＝2，b＝2时，等号建立，所以t的最大值为32.16．(2017·江苏高考)某企业一年购置某种货物600吨，每次购置x吨，运费为6万元/次，一年的总储存花费为4万元．要使一年的总运费与总储存花费之和最小，则x的值是x________．答案30600900900分析设总花费为y万元，则y＝x×6＋4x＝4x＋x≥240，当且仅当x＝x，即x＝30时，等号建立．17．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1的最小值为________．ab答案4分析∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”建立)，∴a4＋4b4＋1ab4a2b2＋11111≥ab＝4ab＋ab，因为ab＞0，∴4ab＋ab≥24ab·ab＝4当且仅当4ab＝ab时“＝”6a2＝2b2，a4＋4b4＋1建立，故当且仅当1时，的最小值为4.4ab＝abab三、模拟小题18．(2018·廊坊一模)已知m>0，n>0，2m＋n＝1，则12)＋的最小值为(4mn9A．4B．22C.2D．16答案C12125n4m5＋2n4m分析∵m>0，n>0，2m＋n＝1，则＋n＝(2m＋n)·＋＝＋＋≥·n4m4mn24mn24m＝9，当且仅当n＝2，＝1时取等号．应选C.23m6x2y19．(2018·山东日照模拟)若实数x，y知足xy>0，则x＋y＋x＋2y的最大值为()A．2－2B．2＋2C．4＋22D．4－22答案Dx2yxx＋2y－xxxxy分析x＋y＋x＋2y＝x＋y＋x＋2y＝1＋x＋y－x＋2y＝1＋x＋yx＋2y＝1＋xy＝1＋1，因为xy>0，所以x>0，y>0.由基本不等式可知x＋2y≥22，x2＋3xy＋2y2x2yyxyx3＋y＋x当且仅当x＝2y时等号建立，所以111＋x2y≤1＋3＋22＝4－22.3＋y＋x20．(2018·四川资阳诊疗)已知>0，>0，且2＋＝，则＋2b的最小值为( )abababaA．5＋22B．82C．5D．9答案D7bb分析∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝b－2>0，解得b>2，即b－2>0，则a＋2b＝b－22＋2b＝1＋b－2＋22(b－2)＋4≥5＋2b－2·2b－2＝9，当且仅当b＝3，a＝3时等号建立，其最小值为9.2121．(2018·江西九校联考)若正实数x，y知足(2xy－1)＝(5y＋2)·(y－2)，则x＋的最大值为( )32A．－1＋2B．13332C．1＋2D.2答案A分析由(2xy－1)2＝(5y＋2)·(－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2y2x－1＋2＋222x＋1＋22＋(2y＋2)2＝9y2，得2x－12＋2＋22＝9，又2x－12＋2＋22≥yyy，当2＝2yyyy121211且仅当2x－y＝2＋y时等号建立，所以2x＋y＋2≤18，得2x＋y≤32－2，所以x＋2y32－2132≤，所以x＋的最大值为－1＋.应选A.22y2m22．(2018·南昌摸底)已知函数y＝x＋x－2(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________．答案4分析由x>2，知x－2>0，又>0，则y＝(x－2)＋m＋2≥2mx－2m＋2，取等号的条件为x－2＝x－2.进而依题意可知2m＋2＝6，解得

mx－2x－2＋2＝2mm＝4.1216y12123．(2018·邯郸模拟)设x>0，y>0，且x－＝x，则当x＋取最小值时，x＋＝yyy28________.答案12分析∵x>0，y>0，∴当x112获得最小值，∵x＋12212x＋取最小值时，x＋y＝x＋＋，yyy2y又x－12＝16y，∴2＋1＝2x＋16y，∴x＋12＝4x＋16y≥24x·16y＝16，∴x＋1≥4，yxxy2yxyyxyxy当且仅当4x＝16y，即x＝2y时取等号，∴当x＋1取最小值时，x＝2y，x2＋1＋2x＝16，∴yxyy2y212×2y21x＋y2＋y＝16，∴x＋y2＝16－4＝12.一、高考大题本考点在近三年高考取未波及本题型．二、模拟大题1．(2018·河北唐山模拟)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.1求x＋y的最小值；能否存在x，y知足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明原因．11x＋yx2＋y22xy1解(1)因为x＋y＝xy＝xy≥xy＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号建立，所以x＋1y的最小值为2.不存在．原因以下：因为x2＋y2≥2xy，222x＋y)．所以(x＋y)≤2(x＋y)＝2(又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.x＋1＋y＋12进而有(x＋1)(y＋1)≤≤4，9所以不存在x，y知足(x＋1)(y＋1)＝5.2．(2018·河南驻马店检测)某地需要修筑一条大型输油管道经过240km宽的荒漠地带，该段输油管道两头的输油站已建好，余下工程是在该段两头已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修筑增压站(又称泵站)．经估算，修筑一个增压站的花费为400万元，铺设距离为xkm的相邻两增压站之间的输油管道的花费为x2＋x万元．设余下工程的总花费为y万元．(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修筑多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解(1)设需要修筑k个增压站，240则(k＋1)x＝240，即k＝x－1.所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)240240x2＋x＝400－1＋x()x96000＝＋240x－160.x因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0<x<240.故y与x的函数关系是96000y＝＋240x－160(0<x<240)．x(2)y＝96000＋240x－160≥296000·240x－160xx2×4800－160＝9440，96000当且仅当＝240x，即x＝20时等号建立，x240－1＝240此时k＝－1＝11.x20故需要修筑11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．103．(2018·保定诊疗)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装饰费为1万元，此后每年增添2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．若扣除投资和各样装饰费，则从第几年开始获得纯收益？若干年后该商人为了投资其余项目，对该工作室有两种办理方案：①年均匀收益最大时，以46万元销售该工作室；②纯收益总和最大时，以10万元销售该工作室．问该商人会选择哪一种方案？解(1)设第n年获得收益为y万元．n年付出的装饰费组成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装饰费之和为nn－12n×1＋×2＝n，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，∴收益y＝30n－n2－81(n∈N*)．令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，解得3<n<27(n∈N*)，∴从第4年开始获得纯收益．(2)方案①：年均匀收益t＝30n－81＋n2n＝30－81－n＝30－8181·nn＋n≤30－2nn12(当且仅当81＝n，即n＝9时取等号)，n∴年均匀收益最大时，以46万元销售该工作室共获收益12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯收益总和y＝30n－2－81＝－(－15)2＋144(n∈N*)，nn当n＝15时，纯收益总和最大，为144万元，∴纯收益总和最大时，以10万元销售该工作室共获收益144＋10＝154(万元)，两种方案盈余同样，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．(2018·南京质检)为了净化空气，某科研单位依据实验得出，在必定范围内，每喷洒1个