全国数学三卷文科试题

.2017年一般高等学校招生全国一致考试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。1．已知会合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】由题意可得：AIB2,4.此题选择B选项.2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】由题意：z12i.此题选择B选项.3．某城市为认识旅客人数的变化规律，提升旅行服务质量，采集并整理了2014年1月至2016年12月时期月接待旅客量（单位：万人）的数据，绘制了下边的折线图.依据该折线图，以下结论错误的选项是A．月招待旅客逐月增添;..B．年招待旅客量逐年增添C．各年的月招待旅客量顶峰期大概在7,8月D．各年1月至6月的月招待旅客量相关于7月至12月，颠簸性更小，变化比较安稳【答案】A【分析】由折线图，7月份后月招待旅客量减少，A错误；此题选择A选项.4．已知sincos4=，则sin23A．7B．2C．2D．79999【答案】Asincos217.【分析】sin22sincos19此题选择A选项.3x2y605．设x，y知足拘束条件x0，则z=x-y的取值范围是y0A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]【答案】B【分析】绘制不等式组表示的可行域，联合目标函数的几何意义可得函数在点A0,3处获得最小值z033.在点B2,0处获得最大值z202.此题选择B选项.;..6．函数f(x)=1sin(x+)+cos(x-)的最大值为536A．6B．1C．3D．1555【答案】A【分析】由引诱公式可得：cosxcosxsinx，62331sinx6,则：fxsinx3sinx5353函数的最大值为6.5此题选择A选项.sinx7．函数y=1+x+的部分图像大概为;..A．B．C．D．【答案】D【分析】当x1时，f111sin12sin12，故清除A,C,当x时，y1x，故清除B,满足条件的只有D,应选D.8．履行下边的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．2【答案】D【分析】若N2,第一次进入循环，12成立，S100,M10022成立，第二次进入循环，10，i10;..此时S1001090,M10，i32不可立，因此输出S9091成立，因此输入的正整数N的110最小值是2，应选D.9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3πC．πD．π424【分析】假如，画出圆柱的轴截面2132313AC1,AB，因此rBC，那么圆柱的体积是Vrh，应选B.222410．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC【答案】C;..11．已知椭圆：x2y21，（a>b>0）的左、右极点分别为1212b2a2bxay2ab0相切，则C的离心率为6321A．B．C．D．3333【答案】A【分析】以线段A1A2为直径的圆是x2y2a2，直线bxay2ab0与圆相切，因此圆心到直线的距离2aba，整理为a23b2，即a23a2c22a23c2c22c6db2，即，ea，应选A.a2a23312．已知函数2x1x1f(x)x2xa(ee)有独一零点，则=aA．1B．1C．1D．1232【答案】C;..二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．已知向量a(2,3),b(3,m)，且a⊥b，则m=.【答案】2【分析】由题意可得：233m0,m2.14．双曲线x2y21（a>0）的一条渐近线方程为y3x，则a=.a295【答案】5【分析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：y3x，联合题意可得：a5.a15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________。【答案】75°3bcbsinC62【分析】由题意：，即sinB2c可得B45o，则sinBsinCc3，联合b2;..A180oBC75ox，，116．设函数f(x)x，x，则知足f(x)f(x)1的x的取值范围是__________。202【答案】(1,)4当x1时2xx11恒成立，即x1；当0x1时2xx111【分析】由题意得：22恒成立，2222即0x10时x1x11x11x0；综上x的取值范围是(1)；当x1，即4,2244三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设数列an知足a13a2K(2n1)an2n.（1）求an的通项公式；（2）求数列an的前n项和.2n1;..18．（12分）某商场计划按月订购一种酸奶，每日进货量同样，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价钱当日所有办理完．依据早年销售经验，每日需求量与当日最高气温（单位：℃）相关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确立六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下边的频数散布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频次取代最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这类酸奶一天的需求量不超出300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这类酸奶的收益为Y（单位：元），当六月份这类酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并预计Y大于零的概率．解：（1）需求量不超出300瓶，即最高气温不高于25C，从表中可知有54天，∴所求概率为543P.52）Y的可能值列表以下：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）;..Y100100300900900900低于20C：y200625024504100；[20,25)：y300615024504300；不低于25C：y450(64)900∴Y大于0的概率为P21619090.519．（12分）如图，四周体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．1）证明：AC⊥BD；2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四周体ABCE与四周体ACDE的体积比．（1）证明：取AC中点O，连OD,OB∵ADCD，O为AC中点，ACOD，又∵ABC是等边三角形，ACOB，又∵OBODO，∴AC平面OBD，BD平面OBD，∴ACBD.;..20．（12分）在直角坐标系2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答以下xOy中，曲线y=x+mx–2问题：1）可否出现AC⊥BC的状况？说明原因；2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解：(1)设Ax1,0,Bx2,0，则x1,x2是方程x2mx20的根，因此x1x2m,x1x22，uuuruuur则ACBCx1,1x2,1x1x212110，因此不会可否出现⊥的状况。ACBCx1x2m（2）解法1：过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直均分线上，设圆心Ex0,y0x022，，则x1+x2221x1x212x1x22由EAEC得2x1y02y01y02，因此圆E的方程为，化简得2;..m222121m1xy2222，令x0得y11,y22，因此过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为123，因此因此过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解法2：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x22可知原点O在圆内，由订交弦定理可得ODOCOAOBx1x22，又OC1，因此OD2，因此过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为OCOD3，为定值.21．（12分）已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）议论f(x)的单一性；（2）当a﹤0时，证明f(x)32．4a解：（1）f'(x)2ax2(2a1)x1(2ax1)(x1)(x0)xx当a0时，f'(x)0，则f(x)在(0,)单一递加当a0时，则f(x)在(0,1)单一递加，在(1,)单一递减.2a2a（2）由（1）知，当a0时，f(x)maxf(1)13112a1f((2)ln(1，令ylnt1t（t0）))2a2a2a4a2a则y'110，解得t1t∴y在(0,1)单一递加，在(1,)单一递减∴ymaxy(1)0，∴y0，即f(x)max(32)，∴f(x)32.4a4a;..（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线lx2+t,x2m,的参数方程为m（m为参数）.1的参数方程为（t为参数），直线l2ykt,y,k设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的一般方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径.（1）直线l1的一般方程为yk(x2)直线l2的一般方程为x2ky消去k得x2y24，即C的一般方程为x2y24.（2）l3化为一般方程为xy232xy2x2联立得x2y242y2∴2x2y218254l3与C的交点M的极径为5.23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式f(x)≥1的解集；（2）若不等式f(x)≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围.;..（2）原式等价于存在xR，使f(x