演示文稿等差数列前项和的公式

（优选）等差数列前项和的公式ppt讲解当前1页，总共52页。复习回顾(1)等差数列的通项公式:

已知首项a1和公差d,则有:

an=a1+(n-1)d

已知第m项am和公差d,则有:

an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）

(2)等差数列的性质:

在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q

(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq返回当前2页，总共52页。

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现

问题1下一页当前3页，总共52页。

问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）

这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以x=5050.高斯下一页当前4页，总共52页。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？

下一页当前5页，总共52页。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。下一页当前6页，总共52页。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

123212120191获得算法：下一页当前7页，总共52页。问题3:求:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1下一页当前8页，总共52页。设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是

Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

Sn=n(a1+an)/2

下面将对等差数列的前n项和公式进行推导下一页当前9页，总共52页。由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。正所谓：知三求二下一页当前10页，总共52页。迅速作答（2）1+3+5+…+（2n-1）=（1）1+2+3+…+n=（3）2+4+6…+2n=上面习题的答案在以后会经常用到。n（n+1）/2n（n+1）n2=Sn==SnSn当前11页，总共52页。

1.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令当前12页，总共52页。㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫

；②等差数列的前n项和公式类同于

；③{an}为等差数列

，这是一个关于

的没有

的“

”

倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）当前13页，总共52页。例1

如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔。当前14页，总共52页。例2：在等差数列{an}中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n-1)0.7=32n=26（1）a3=-2，a8=12，求S10解：（1）a1+a10=a3+a8=10当前15页，总共52页。由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.练一练已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?例3:已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.

求前16项的和?解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18sn=16/2×18=144

答:前16项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式当前16页，总共52页。例4

等差数列-10，-6，-2，

2，…前多少项的和是54？

本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.下一页当前17页，总共52页。解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10,d=－6－(－10)=4

根据等差数列前n项和公式：解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.设该数列前n项和为54下一页得当前18页，总共52页。例5

已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.解：

S10=310，S20=1220当前19页，总共52页。巩固练习1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S202、凸n边形各内角成等差数列，公差为10º，最小内角为100º，则n等于（

）（A）7

（B）8

（C）9

（D）8或9a6+a9+a12+a15=192，a6+a15=a9+a12=a1+a20a1+a20=96由题意，得:解得n=8或n=9（舍）

B当前20页，总共52页。3.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四项和是67，求这个数列的和。当前21页，总共52页。4

求集合M={m|m=7n,n是正整数,且m<100}的元素个数,并求这些元素的和.解:由7n<100得n<100／7,由于满足它的正整数n共有14个,∴集合M中的元素共有14个.即7,14,21,…,91,98.这是一个等差数列,各项的和是答:

集合M中的元素共有14个,它们的和为735.=735返回当前22页，总共52页。等差数列的前n项和公式：

熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题．

小结当前23页，总共52页。返回当前24页，总共52页。2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:(1)若项数为偶数2n,则

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2dnd当前25页，总共52页。性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则

S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),

此时有:S奇－S偶=

,两等差数列前n项和与通项的关系性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质3:为等差数列.an当前26页，总共52页。例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B3.等差数列{an}前n项和的性质的应用当前27页，总共52页。当前28页，总共52页。当前29页，总共52页。2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A3.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为

.5当前30页，总共52页。例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.等差数列{an}前n项和的性质的应用当前31页，总共52页。例5.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例6.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.10153等差数列{an}前n项和的性质的应用当前32页，总共52页。练习：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值当前33页，总共52页。等差数列前n项和的性质5当前34页，总共52页。例题讲解当n>1时：①

当n=1时：

也满足①式.当前35页，总共52页。变式训练当n>1时：

①

当n=1时：

不满足①式.点评：分类讨论思想当前36页，总共52页。例:若数列{an}的前ｎ项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。巩固练习当前37页，总共52页。

观察上面的式子,我们可以看出它是关于n的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形如:

将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值:

a1<0,d>0

a1>0,d<0最大值无有最小值有无nsnnsna1<0,d>0,最小值

a1>0,d<0,最大值等差数列前n项和再认识:当前38页，总共52页。例6：已知数列{an}是等差数列，且a1=21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。等差数列的前n项的最值问题当前39页，总共52页。等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.当前40页，总共52页。等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn当前41页，总共52页。等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得当前42页，总共52页。∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0当前43页，总共52页。例7的变式题一：等差数列{an}中，首项a1>０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？例7的变式题二：等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn，Sm=Sl,问:n为何值时，Sn最大？当前44页，总共52页。的前n项和为②当n为何值时，最大，①数列的通项公式

已知求：变式3设等差数列当前45页，总共52页。例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0当前46页，总共