自动控制原理二阶系统的数学模型及单位阶跃响应公开课获奖课件

二、二阶系统数学模型及单位阶跃响应定义：由二阶微分方程描述系统称为二阶系统。第1页二阶系统数学模型二阶系统微分方程一般式为：二阶系统反馈构造图第2页二阶系统传递函数开环传递函数：闭环传递函数：第3页二阶系统特性方程为解方程求得特性根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解形式为：式中为由r(t)和初始条件确定待定系数。s1,s2完全取决于，n两个参数。第4页此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面左半部。①特征根分析—

（欠阻尼）经典二阶系统暂态特性第5页②特性根分析—（过阻尼）此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面负实轴上。第6页③特性根分析—（临界阻尼）此时s1,s2为一对相等负实根。

s1=s2=-n第7页④特性根分析—（无阻尼）此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。S1,2=jn第8页⑤特性根分析—（负阻尼）此时s1,s2为一对实部为正共轭复根，位于复平面右半部。第9页⑥特性根分析—（负阻尼）此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面正实轴上。第10页二阶系统单位阶跃响应1.过阻尼二阶系统单位阶跃响应取C(s)拉氏反变换得：由得第11页过阻尼系统单位阶跃响应与一阶系统阶跃响应比较tc(t)0二阶过阻尼系统一阶系统响应1第12页过阻尼二阶系统分析衰减项幂指数绝对值一种大，一种小。绝对值大离虚轴远，衰减速度快，绝对值小离虚轴近，衰减速度慢；（指数关系）衰减项前系数一种大，一种小；二阶过阻尼系统动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不一样样于一阶系统；离虚轴近极点所决定分量对响应产生影响大，离虚轴远极点所决定分量对响应产生影响小，有时甚至可以忽视不计。第13页过阻尼二阶系统阶跃响应指标分析对于过阻尼二阶系统响应指标，只着重讨论，它反应了系统响应过渡过程长短，是系统响应快速性一个方面，但确定表示式是很困难，普通取相对量及经计算机计算后制成曲线或表格。第14页2.欠阻尼二阶系统单位阶跃响应第15页欠阻尼二阶系统单位响应系统输出拉氏反变换得：第16页欠阻尼二阶系统输出分析二阶欠阻尼系统单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量构成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。右图为二阶系统单位阶跃响应通用曲线第17页依据右图分析系统结构参数、对阶跃响应影响平稳性（％）结论：越大，ωd越小，幅值也越小，响应振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越小，ωd越大，振荡越严重，平稳性越差。第18页当＝0时，为零阻尼响应，具有频率为不衰减（等幅）振荡。阻尼比和超调量关系曲线在一定情况下，越大，振荡频率

也越高，响应平稳性也越差。结论：对于欠阻尼二阶系统而言，大，小，系统响应平稳性好。第19页迅速性从图中看出，对于5％误差带，当时，调整时间最短，即快速性最好。同时，其超调量<5％，平稳性也很好，故称为最正确阻尼比。总结：越大，调整时间越短；当一定时，越大，快速性越好。第20页稳态精度从上式可看出，瞬态分量随时间t增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统单位阶跃响应稳态误差为零。第21页补充阐明：稳态分量（steadystateponent）即周期性鼓励作用于有损、线性和时不变动态电路时，电路中所出现与鼓励周期相似响应分量。

瞬态分量（transientponent）周期性鼓励作用于有损、线性和时不变动态电路时，从全响应中减去稳态分量剩余部分。

稳态分量就是时间趋向正无穷，也就是电路稳定期量。瞬态分量就是开关打开或闭合后瞬时值。第22页欠阻尼二阶系统

单位阶跃响应性能指标1.上升时间：令，则因此：第23页根据极值定理有：该项不也许为零2.峰值时间：取n=1得:第24页3.超调量：将峰值时间代入下式得:因此:第25页4.调整时间写出调整时间表达式相称困难。在分析设计系统十，常常采用如下近似公式。当阻尼比时第26页二阶系统特性参数与暂态性能指标之间关系由阻尼比判断一种二阶系统暂态品质：过阻尼时，单调线性，无超调，无振荡，时间长。不不小于等于零时，有等幅振荡或发散振荡，系统不稳。一般欠阻尼工作。阻尼比过小，超调量大，振荡次数多，调整时间长，品质差。最大超调量只与阻尼比有关，由其来选择阻尼比。调整时间与阻尼比和自然振荡角频率乘机成反比。阻尼比在之间，此时超调量在1.5%-25%第27页三、改善二阶系统响应措施1.误差信号比例－微分控制第28页系统开环传函为：闭环传函为：等效阻尼比：可见，引入了比例－微分控制，使系统等效阻尼比加大了，从而克制了振荡，使超调减弱，可以改善系统平稳性。微分作用之因此能改善动态性能，由于它产生一种初期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一种修正作用。第29页前面图对应等效构造由此懂得：第30页和及大致形状以下一方面，增加项，增大了等效阻尼比，使曲线比较平稳。其次，它又使加上了它微分信号，加速了c(t)响应速度，但同时削弱了等效阻尼比平稳作用。第31页总结：引入误差信号百分比－微分控制，能否真正改进二阶系统响应特征，还需要适当选择微分时间常数。若大一些，使含有过阻尼形式，而闭环零点微分作用，将在确保响应特征平稳情况下，显著地提升系统快速性。第32页2.输出量速度反馈控制将输出量速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一种内回路，称为速度反馈控制。如下图示。第33页闭环传函为：等效阻尼比：等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统平稳性。第34页3.比例－微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例－微分控制线路构造比较简朴，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统平稳性，在相似阻尼比和自然频率下，采用速度反馈局限性之处是其会使系统开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件非线性特性、参数漂移等不利影响大大减弱。第35页四、二阶系统举例2设位置随动系统，其构造图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响应特性性能指标：峰值时间tp，调整时间ts和超调量，并分析比较之。第36页例题解析(1)输入：单位阶跃闭环传递函数：第37页例题解析(2)当KA

＝200时系