演示文稿斯托克斯公式

演示文稿斯托克斯公式当前1页，总共50页。（优选）斯托克斯公式当前2页，总共50页。一、斯托克斯公式有向曲面的正向边界曲线：的正向与的侧符合右手法则，如图.

是有向曲面的正向边界曲线右手法则当前3页，总共50页。设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面,如果函数一阶连续偏导数,则或定理10.8斯托克斯公式当前4页，总共50页。

将斯托克斯公式分为三式首先证明第一式.证明思路:第二类曲面积分第一类曲面积分二重积分第二类曲线积分第二类曲面积分当前5页，总共50页。证方向为上侧与平行z

轴的直线只交于一点,

当前6页，总共50页。当前7页，总共50页。注当前8页，总共50页。同理可证其余二式:三式相加可得当前9页，总共50页。(2)曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交在每一部分上应用斯托克由于沿辅助曲线方向相所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.于一点的几部分,然后相加,斯公式,反的两个曲线积分相加刚好抵消,当前10页，总共50页。注

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.1º斯托克斯公式的实质:2º斯托克斯公式便于记忆的形式:或coscoscosdS当前11页，总共50页。3º斯托克斯公式是格林公式的推广斯托克斯公式格林公式特殊情形是xOy面上的有向闭区域时xyzO=L当前12页，总共50页。xyzO=LD当前13页，总共50页。这正是格林公式.4°何时采用斯托克斯公式？的积分曲线的参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用斯托克斯公式.当前14页，总共50页。

在斯托克斯公式中，是以为边界的任意分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可).5º如何选取？

通常，取为平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.当前15页，总共50页。利用斯托克斯公式计算例1其中为平面x+y+z=1

被三坐标面所截三角形的整个边界,

它的正方向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.记三角形域为,取上侧,解当前16页，总共50页。利用轮换对称性当前17页，总共50页。利用斯托克斯公式计算曲线积分例2解当前18页，总共50页。当前19页，总共50页。当前20页，总共50页。为柱面与平面y=z

的交线从z

轴正向看为顺时针,计算解(方法1)

则其法线方向余弦例3设为平面z=y

上被所围椭圆域且取下侧,当前21页，总共50页。(方法2)将：参数化：当前22页，总共50页。当前23页，总共50页。二、环量与旋度定义向量场称为注改变Γ的环行方向时,环量要变号.1.环量当前24页，总共50页。为定义当函数一阶连续偏导数时,称向量2.旋度由哈密尔顿算符的定义当前25页，总共50页。注3º

利用旋度,可将斯托克斯公式写为4º

斯托克斯公式的物理解释:等于向量1º2º当前26页，总共50页。设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M

的线速度为5º旋度的力学意义当前27页，总共50页。线速度场中任一点处的旋度等于刚体旋转角速度的2倍，这就是“旋度”一词的由来.除去一个常数因子2外，恰好等于物体旋转的角速度.当前28页，总共50页。.M根据斯托克斯公式和积分中值定理当前29页，总共50页。.M当前30页，总共50页。称环量对面积的变化率向量场的旋度是一个向量,此向量的方向是使方向旋量取最大值的方向,此方向的模是该点处最大方向旋量的值.当前31页，总共50页。三、空间曲线积分与路径无关的条件连续偏导数定理10.9

设空间闭区域G是一个一维单连通域,

要条件是即★G内的任一闭曲线总可张一片完全含于G内的曲面当前32页，总共50页。注当成立时或用定积分表示为当前33页，总共50页。当前34页，总共50页。例4与路径无关,并求函数解

令验证曲线积分积分与路径无关,因此选择特殊路径当前35页，总共50页。当前36页，总共50页。例5求电场强度的旋度.解

(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.当前37页，总共50页。保守场：而与从A

到B

的路径无关.当前38页，总共50页。内容小结1.斯托克斯公式当前39页，总共50页。当前40页，总共50页。4.向量即当前41页，总共50页。本章小结

梯度:散度:旋度:则1.场论中的三个重要概念当前42页，总共50页。场论中的三个重要定理（1）格林公式（2）斯托克斯公式（3）高斯公式当前43页，总共50页。本章知识结构图当前44页，总共50页。当前45页，总共50页。备用题

例1-1

相交的圆弧连接而成