2022年高考数学尖子生强基校考讲义专题11：三角函数综合培优【原卷版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题11三角函数综合真题特点分析：【2021中科大5】求函数的取值范围．2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（）A.B.C.D.，，成等差数列3.【2020年武大15】设函数，则下列错误的是（）A.方程有解B.方程在内解的个数为偶数C.的图像有对称轴D.的图像有对称中心二、知识要点拓展一．两角和、差的三角公式：1.正弦：2.余弦：3.正切：二．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。，三．二倍角公式：1.余弦：2.正弦：、（3）正切：四．辅助角公式：►注意：有实数解五．半角公式（万能公式）：六．正弦定理：（为三角形外接圆的半径）七．余弦定理：八．三角形面积公式：三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下：三倍角公式：，，。►注意：利用三倍角公式可以推导出这一特殊值：令，则，，。显然，（舍去负根）。常见三角不等式：1.若，则；2.若，则.3..三．和差化积与积化和差公式：和差化积积化和差四．三角形中的一些三角恒等式：在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩。以上十个式子中，前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得到。⑦式与⑧式是等价的，⑨式与⑩式也是等价的。这里尤其值得一提的是⑦式：。这是一个非常有用的式子，在自主招生考试中经常用到，希望引起足够的重视。►注意：锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。五．三角恒等式：三、典例讲解例1．（清华）函数的值域是。例2．（复旦）在中，，求。例3．（北京）求使得在有唯一解的。例4．（北京）的三边满足，为的内角。求证：。例5．（清华）、、为的内角，且不为直角三角形。求证：；当，且的倒数成等差数列时，求的值。例6．的三个内角成等差数列，求证：．例7．在中，猜想的最大值，并证明之。例8．（清华）求的值。例9．（上海交大）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的两倍；最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由。四、真题训练1.（复旦）已知，则（）。（B）（C）（D）2.（复旦）已知函数，其中x为实数且k为整数，在的最小正周期是（）（B）（C）（D）3.（复旦）当和取遍所有实数时，函数所能达到的最小值为（）（A）1（B）2（C）3（D）44.（复旦）已知是关于x的方程的两个根，这里，则（）（B）（C）（D）5.（武大）如果，那么的取值范围是（）。（B）（C）（D）6.（复旦）设。且满足，则的取值范围是（）（B）（C）（D）7.（上海交大）若，则。8.（南大）。9.（复旦）设，设，若存在，使恒成立，在的范围为。10.（南开）实数A、B、C满足，，求证：。11.（复旦）在中，，AD是A的角平分线，且。求k的取值范围；若，问k为何值时，BC最短？12.（五校联考）中，，求。训练1.三个数a,b,c，且满足，，，按从小到大的顺序排列这三个数．2.已知：定义在R上的函数为奇函数，且在上是增函数．若不等式对任意恒成立．求实数的取值范围．3.在非直角中，边长满足．证明：；是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件