五套卷线代题答案

B(

,

1 )

；B(

,

233)

1

1001 2 52 3 所以Bx的通解为k 11

21 1 （1）令k11k22k330，两边通乘AEk11(AE)k22(AE)k33(AE)k1k2k3所以1,2,3线性无关 1（2）A(,,)(,0,)(,,)

1 令P(1,2,3P可逆 1有P1AP 1B，故A与B相似 1 因为EB (1)2 所以B的特征值为0，1，1，则A的特征值为0(BE)0的解向量为

100A的特征值是1的特征向量为

,

10 3 00(B0E)0的解向量为

000A的特征值是0的特征向量为

,

01 3 00所以，当A的特征值为1时，特征向量为k11（其中k10）A的特征值为0时，特征向量为k22（其中k20）.（2）A的二重特征值为1能提供一个线性无关的特征向量k11，所以A不能相似对角化.1（1）1又因为AB0，并且B能够提供两个线性无关的列向量0

23T23P1,2,3Px 23 34 455

，则可由

因为A121A20A30,且由（2）可知5152 所以AnAn(5535 4（1）由（Ⅱ）可知其特解为(1,3110)T，由于（Ⅰ（Ⅱ）是同解，将其代入（Ⅰ）p3q2r2，x13x3由于（Ⅱ）的导出组xx

的系数矩阵的秩为 x 12 3所以的通解为xk 11 1 解 由于A为实对称矩阵，则其不同特征值的特征向量正交，令r的特征向量为(xx x1x2x30x2xx 由于1,2,3正交，则单 1 11,12,1 3

6 2 令Q,,，则由QT 所以

3 313133131

7311313（1）1 1 11(,,

,)

1

a

b a b 0 0

a

5

a 若表示不唯一，则a1,b（2）当a1,b0时(

,

0110111112100000000,) 00所以1,3,4为极大无关组6、解题知A的特征值为211,则A*的特征值为121A的特征值为2的特征向量为1,11A的特征值为1的特征向量为(xxx)T，则xxx

*

2因为 A 2

A2122122则

*A

BA12AB同时左乘A1，右乘ABBA2EB2(E则B的特征值为2,1,1，其对应的特征向量为12223 令P，则P 11所以BPP1 1

故XTBX2xx2xx 0

1 1 7、解（1）由 （2）当a2时，A

5 6

AE

A*

AA1A* 6 所以

同理，当a2时，A

5 则A* ，所以B 28（1）A是实对称AATA22E222又因

A0，且

2E

A224

A2所以A4，则A*的特征值为2

，则0 2 （2）由（1）知f(xxx2x22 12 x 12y

13 13则y 3(x2x)x 3 13 13 x 3yy3

12 12 1321323所以xCy中可逆矩阵C 33

，规范形为y2y2y2 9、解（1）由

A

1a2)(a1)2，则a1或 1 111 111100

11

，此时rA)12，则a2 1所以A 1 2 EB1

b

6,b32）当2不是重根283(b6)k2)2k24,b3（2）由（1）知ab 1

则A 1 B 2 5 32 032 因此可求出A（BBT)32 32 32 3 所32 032 f(x,x,x)(x,x,x)T32 32(x,x,x 32 3 =x23xx2x23xx 1 2 (x3x)217

6x)242 2

17 17yx3

x

3y92 2

2 176

9令

x

x

y

则p

6

17

17 y

x

1

标准形f(xxxy217y242

17 10、解（1）由题知二次型矩阵A 1有特征值0,1,4AA

a3b11

1

1（2）由（1）知A 31,则EA 3 1 11 1 令BEA，若Bx有无穷多解B1 3 1当014时Bx有可能由无穷1）当4111，此时r(B)rB1所以2）当1 0

3

，此时r(B)rB

3 所以3）当011 ，此时r(B11 所综上0时有无穷11、解（1）由于A的第一行不是零向量，所以rA)0此外，由ABOA0，因此rA3，于是有rA)1或rA)2当rA)1时，此时Ax0的基础解系中应该有两个线性无 c 由于此时A等行变换 0，所以Ax0 0 ax1bx2cx3 此外，由ABO可a2b3c 3a6bkc 由②③得c3k0，即c0或c0，但k9 3 当c0时，不妨设a0，则①有解

和00,1T， T T1时Ax0的通解为xC 1

C20,

（其中C1,C2为任意常数 a bc当c0但k9时，①有解1,0, c

和0,1, c c

此时Ax0的通解 a bxC11,0,cC20,1,c

（其中C1,C2为任意常数 ABO知解为(12,3)T因此Ax0的通xC(12,3)T（其中C为任 常数 （2）由（1）知r(A)1且c0时Ax0的基础解系为 ,1,0 0,0,1T，设,,)T与 1aa2 2 a3于是可a2a1

02,10)T，由此可得正交向量组 ,1,2，将其单位化15251525 （3）记yyyy) yTBy yy6yy1 1(y2y3y)2 z1y12y2

y1z13z2

2记

2

yy

2

即yCz其中C 1 0 （可逆矩阵zzzz) 1yTByz2(k1 由此得到B(C1)T k C1，即CTBC k 0 0 12、解（1）由1 (e,e,e)(e,e,e) 312 12

2 得(eeeeee

，所12 12300b2e1e23e311e5e132 2 由此得到xxx

13 , 设A的对应特征值为0的特征向量，0 (EA) 0 0由此得到a1,b0（顺便推出2 （2）将（1）算得的a,b的值代入AAA00由EA 5 (00重 0 0 22)21A有特征值1,2（ 5 由于(2EA) 0的秩为1，因此对应特征值2有两个线性 0 个外，还有对应1的一个特征向量A能与对角阵相似.5A的对应1的特征向量为aaa，5 0

a1(1EA) 0