一次函数应用例题精讲

一次函应例题精函数的应用是灵活运用函数的知识去解决实际问题，题中的信息有的是利用表格提供，要善于从图文、表格中准确获取信息，用函数的知识分析和解决问题。复习中要提高分析、审题能力和建立数学模型的能力。例．为了保护境，某业决定购买10污水处理设，现有A、B两种型号设备，其中每台价格、月处污水量年消耗费如表：价格（万元台）

A12

B10处理污量（吨月）年消耗（万元台）

24020011经预算该企业购买备的资不高于105万元。（1）购买设的资金y万与购买型的函数系，并设计企业有种购买方案（2）企业每产生的污水为2040，利用数的知说明，应选哪种购方案；（3）第（2问的条下，若每台备的使年限10年，污厂处理水费为每吨10元，请计算，该企自己处污水与将污排到污厂处理相比，10年约资金多少万？（注：企处理污的费用包括买设备资金和消耗）解1）

购买污水处理设备A型台，则Byxy即

(10)

台，由题意知：y∵∴

≤105又∵

x

是非负整数∴x可0、1、2∴有三种购买方案：①购，B型10台；②购A1台，B型9；③购A型2台，B型8台；（2）由题意得∴1或2

240

，解得x≥1

∵

y2100

得k=2>0，y随

的增大而增大，为了节约资金，应选购A型1台，型9台。（3）10年企业自己处理污水的总资金为：102＋10×10＝202（万元）若将污水排到污水厂处理，10年所需费用为：2040×12×10×10＝2448000（元）＝244.8（万元）∵－202＝42.8（万元）∴能节约资金万元。例2某饮料生产一饮料，经测，用1吨水生的饮料获利润（元）1吨水的价格x（元）一次函数．（l）据下表供的数据，与的函数关式；当价为每吨元时，l吨生产出的饮料获的利润是少？1水价格x（元用1吨生产的饮料获

42

61利润y（元）

00

98（2）节约用，这个市规：该厂用水量不超20吨时，价为每元；日水量超过20时超过部按每吨40元收费已知该厂日水量不于20吨，该厂日水量为t，当日获利润W求与函数关式；该厂加管理，极节水，使日用量不超过吨，但不少于，求该的日润的取范围解：(1)函数式为：

用1吨水生产的饮料所获利润（元）是1吨水的价格x（元）的一次ykx

，根据题意得：k6k解得：

∴所求一次函数式是：

y当x=10时，－10+204＝194（元）（2）当1吨水的价格为40元时，所获利润是：＝－40＋204＝164（元∴W与t的函数关系式是：

w200即：

wt

∵20≤t≤25，∴4000≤w≤4820一次函数解析式的一般形式是y＝kx＋b(k≠0)，利用这一关系式可以解决一些实际问题或几何题．现举例说明如下．例3某储蓄的月利是0％，今存入金100，求本息和本金与息的和y(与所存数x之间的函数关系，并计算5月后的息和分析∵利息＝本金×月利率×月数，∴y＝100＋100×0．36％×＝100＋0．36x．当x＝5时，y＝100＋．36×5＝101．8，即5个月后的本息和为．8元．例2托运行李P千克(P整数)的费用为C，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)增加费用5角，则计算托运行李费用C的公式是______，托运重量为28．4千克的行李需付_____元．(1996年安徽省中考题)分析由题意知C＝＋0．5(P－1)．(P为自然数根据题意，28．4千克应按千克计算，则当P＝29时，C＝2＋0．5(29－1)＝16(元)．例3如图，直角梯ABCD中∠45，上底AD3下底BC，CD任意一点，若用示，四边ABPD面积用表示．(1)求与之间的数关系；(2)当四边ABPD的面积是形ABCD面的一半，求点P的置．分析(1)过D，P分别作DE⊥BC，PF⊥，垂足为E，F．∵∠C＝45°，∴DE＝EC＝BC－AD＝5－3＝．在Rt△PFC中，PC＝x，∠C＝45°，

(2)当四边形ABPD的面积是梯形面积一半时，则例4A和分别有种库存机器台和6，现决支援村10台，D8，已知从A市运一台机器C村村的运费别是400和800元，市调运一机器到C和D村的运分别是300元．(1)B运往村机器台，求总费关于的函数关式；(2)要求总费不过9000元，有几种调运案？(3)求出总运最低的运方案，最低运是多少元？分析由已知条件填出下表：(1)依题意得函数式：W＝300x＋500(6－x)＋400(10x)＋800[8－(6－x)]＝200x＋8600．(2)由W＝200x＋8600≤9000，得≤2，∴x＝0，1，2，共有3种调运方案．(3)当x＝时，总运费最低，即A市调台给C村，调2台给村，B市调6台给D村，为总运费最低的调运方案，最低运费为元．函数的综合应用题往往综合性强，覆盖面广，包含的数学思想方法多。它能真正考查学生运用所学知识解决实际问题的能力一次函数的综合应用题常出现于销售收费、行程等实际问题当中，通常是以图象信息的形式出现。1成本与利润题。例1一次时表演会算中票价定每张，容观众人不超过2000，毛利润（百元关于观众人x（百人）之间的函图象如所示，当观人数超人时

表演会织者需向保公司交定额平安保费5000元（不列成本费）请解下列问题：⑴求当众人数不超1000人时，毛润（百元关于观人数（百人的函解析式和成本用s百元关于观人数x（百）的函解析式；⑵若要这次表演会得36000的毛利，那要售出少张门票？支付成费用多少元？（：当观众人不超过1000人时，表演的毛利润门票收入成本费；当观众人数超过1000人时，表演的毛利=门票收入—本费用平安保险费y（百元）850400350O-100

1020

x（百人）解析：⑴由图象可知：当0≤x≤时，设y关于x的函数解析，∵（10，400）在上，∴400=10k-100，解得∴y=50x-100，s=100x-(50x-100)∴s=50x+100⑵当10<x≤20时，设y关于x函数解析式为y=mx+b，∵（10，350850）在y=mx+b上，∴10m+b=350

解得m=5020m+b=850b=-150∴y=50x-150∴s=100x-(50x-150)-50∴s=50x+100∴y=50x-100(0≤x≤10)50x-150(10<x≤20)令y=360

当0≤x10时，解得x=9.2s=50x+100=50

当10<x20时解x=10.2s=50x+100=50×10.2+100=610。要使这次表演会获得36000的毛利润.要售出920张或1020张门票，相应支付的成本费用分别为元或元。点评：此题是借助函数图象确定函数关系式，从而进行经济决策的经济问题。题中需注意提示和分段函数的分情况讨论。2行程问题。

乙例2：甲乙两名同进行登比赛图中表甲乙沿相同路线同从山脚出发达山顶程中，自行进的路随时间化的图象，据图象的有关数据答下列题：乙⑴分别出表示甲、两同学山过程中路（千米与时间（时）函数解析式不要求写自变量的取范围）⑵当甲达山顶时，行进到路上的某点A处，A点距山顶距离；⑶在⑵条件下，设同学从A点继续登，甲同学到山顶后息1小时，沿原路下山，在点与乙同相遇此时点B山顶距为米相遇后甲、各自沿原路山和上山求乙到大山时，甲山脚的距离多少千？12

S（千米）C甲

DB

E乙623Ft（小时）解析：⑴设甲、乙两同学登山过程中，路（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为s=kt，s=kt。甲乙由题意得：k，6=3k，解得：k=3，k=2∴s=3t，s=2t212甲⑵当甲到达山顶时，s=12（千米∴12=3t甲

解得：∴s=2t=8（千米）乙⑶由图象可知：甲到达山顶宾并休息小时后点D的坐标为（5，12）由题意得：点B的纵坐标为12-

32121=，代入s=2t，解得：t=222121∴点B（，过B、D两点的直线解析式为，由题意得42121t+b=4

解得：k=-65t+b=12b=42∴直线BD的解析式为s=-6t+42∴当乙到达山顶时，s=12，得，把代入乙s=-6t+42得s=6（千米）点评：助函数图象达题目的信息，读图象是键。3饮水问题。例3：室里放有一饮水机饮水机上有个放水。课间同学到饮水前用茶杯接水。假设水过程水不发生泼，每学声所接的量是相的两个放管同

时打开，它们的流相同放水时打开一个水，一会再开第二个水，放水过程阀门一直开。饮水的存水量升）与水时间x(钟)的数关系下图所：y（升）18178O

212

x（分钟）⑴求出水机的存水y（升与放水间钟)（≥2）的函数关系；⑵如果开第一个水后，钟时恰好有4个学接水接束则前22个同学接水束共需要几分？⑶按⑵放法，求出课间10钟内多有多个同学能及接完水解析：⑴设存水量y与放水时间的函数解析式为y=kx+b,把（2，178）代入y=kx+b,得17=2k+b8=12k+b994188∴y=-x+(2≤x≤)109

解得k=-

994b=10⑵由图象可得每个同学接水量为0.25升22个同学需接水0.25×（升存水量y=18-5.5=12.5（升）∴12.5=-

994x+10

解得x=7∴前22个同学接水共需要7分钟。⑶当x=10时，存水量y=-

99449×10+=，用去水18-=8.2（升）1058.2÷0.25=32.8