弹性力学之平面问题的极坐标解答

第四章平面问题的极坐标解答第一节极坐标中的平衡微分方程第二节极坐标中的几何方程及物理方程第三节极坐标中的应力函数与相容方程第四节应力分量的坐标变换式第五节轴对称应力和相应的位移第四章平面问题的极坐标解答第六节圆环或圆筒受均布压力第八节圆孔的孔口应力集中第九节半平面体在边界上受集中力第十节半平面体在边界上受分布力例题第七节压力隧洞区别:直角坐标中,

x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。

极坐标中,坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。直角坐标(x,y)与极坐标比较：坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。应用§4－1极坐标中的平衡微分方程在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体--由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x

轴向y轴方向转动为正。注意：平衡条件：平衡条件考虑通过微分体形心C的向及矩的平衡，列出3个平衡条件:注意：

--通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得--通过形心C的向合力为0，整理，略去三阶微量，得同理，由通过形心C的向合力为0可得：极坐标下的平衡微分方程：几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的的几何关系式。。§4－2几何方方程及物理方程极坐标系中的几何何方程可以通过微微元变形分析直接接推得，也可以采采用坐标变换的方方法得到。下面讨讨论后一种方法。。根据直角坐标与与极坐标之间的关关系，有注意：可求得根据张量的坐标变变换公式对平面问题：几何方程由此可得比较可知极坐标中的物理方方程直角坐标中的物理理方程是代数方程程，且x与y为正交，故物理方程形式相相似。物理方程极坐标中的物理方方程也是代数方程程,且与为正交，平面应力问题的物物理方程：物理方程对于平面应变问题，只须作如下同样样变换，边界条件--应用极坐标时，弹弹性体的边界面通通常均为坐标面，，即：边界条件故边界条件形式简简单。以下建立直角坐标标系与极坐标系的的变换关系，用于于：§4－3极坐标中的应力函函数与与相相容方程1、物理量的转转换;2、从直角坐标系系中的方程导出极极坐标系中的方程。函数的变换：将式或或代入入，坐标变量的变换：反之1.从直角坐标系系到极坐标系的变变换坐标变换或矢量的变换：位移坐标变换将对的的导数，变换为为对的的导数：可看成是，，而又又是的的函数，即是是通过中中间变量，，为的的复合合函数。有:坐标变换导数的变换：而代入，即得一阶导数的变换公公式,一阶导数，。展开即得：二阶导数的变换公式，可以从式(e)导出。例如二阶导数拉普拉斯算子的变换：由式（f）得二阶导数3.极坐标中应力力用应力函数表表示示可考虑几种导出方方法：2.极坐标中的相相容方程从平衡微分方程直直接导出（类似于于直角坐标系中方法法）。相容方程应力公式(2)应用特殊关系系式，即当x轴转动到与轴重合时，有:(3)应用应应力变换公式（下下节）应力公式(4)应用应应力变换公式（下下节），而代入式(f)，得出的的公式。比较两式的的的系数，便便得出的的公式。。应力公式当不计体力时应力力用应力函数表示示的公式应力公式4.极坐标系中按按应力函数求求解，应满足：(1)A内相容方程(2)上上的应力边界界条件（设全部为为应力边界条件）。(3)多连体中的位移单单值条件。按求解应力分量不仅具有有方向性，还与其其作用面有关。应力分量的坐标变换关系：：§4－4应力分分量的坐标变换式式1、已知，，求。。（含））的三角形微分体，厚度为1，如下下图A，考虑其平衡条件。。取出一个包含x、y面(含)和面得同理，由得类似地取出包含x面,y面和面的三角角形微分体，厚度度为1，如图B，考虑其平衡条件，，得应用相似的方法，，可得到2、已知，，求3、可以用前面得得到的求一点应力力状态的公式推出出。也可以用应力坐标标变换公式得到轴对称，即绕轴对称，凡凡通过此轴的任何何面均为对称面。。轴对称应力问题：：§4－5轴对称称应力和相应的位位移轴对称应力问题应力数值轴对称--仅为的函数数，应力方向轴对称--展开为相应的应力函数，，所以应力公式为：（1）相容方程的通解这是一个典型的欧拉方程，引入变量，则。则原方程变为

此方程解的形式为代入整理得特征方程为

由此可得应力函数的通解为

（4-10）(2)

应力通解：（4-11）将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，应变通解：将应力代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变也为轴对称。(4)求对应的位移：分开变量，两边均均应等于同一常量F,将代代入第三式，由两个常微分方程程，其中代入，，得轴对称应力对应的的位移通解，I，K—为x、y向的刚体平移，H—为绕o点的刚体转动角度度。位移通解（4-12）说明（2）在轴对称应力条件下，形变变也是轴对称的,但位移不是轴轴对称的。（3）实现轴对称称应力的条件是，，物体形状、体力和面力应为轴轴对称。（1）在轴对称应力条件下，(4-10、11、、12),为应力函数、应力力和位移的通解，，适用于任何轴对称称应力问题。说明(4)轴对称应应力及对应的位移移的通解已满足相相容方程，它们还还必须满足边界条条件及多连体中的的位移单值条件，，并由此求出其系系数A、B及C。说明(5)轴对称应应力及位移的通解解，可以用于求解解应力或位移边界界条件下的任何轴轴对称问题。(6)对于平面面应变问题，只须须将换换为圆环(平面应力问问题)和圆筒(平平面应变问题)受受内外均布压力，，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应应力问题的通解。。§4－6圆环环或圆筒受均布压压力问题问题边界条件是边界条件考察多连体中的位移单单值条件：圆环或圆筒，是有有两个连续边界的的多连体。而在位位移解答中，式(b)中的条条件是自然满足的的，而其余两个条条件还不足以完全全确定应力解答(a)。单值条件是一个多值函数：：对于和和是是同一点，，但式(c)却得出两个位移值值。由于同一点的的位移只能为单值值，因此B=0。单值条件由B=0和边界条件(b)，便可得出拉梅解答，单值条件(4-13)解答的应用：（1）只有内压力力（2）只有内压力力且且，，成为具有圆孔的无限大大薄板（弹性体））。（3）只有外压力力单值条件单值条件的说明：：（1）多连体中的的位移单值条件，，实质上就是物体的连连续性条条件（即位移移连续性性条件）。。（2）在在连续体体中，应应力、形形变和位位移都应为单值值。单值条件件按位移求求解时：：取位移移为单值值，求形形变（几几何方程程）也为为单值，，求应力力（物理理方程））也为单单值。按应力求求解时：取应力力为单值值，求形形变（物物理方程程）也为为单值，，求位移移（由几几何方程程积分）），常常常会出现现多值项项。所以，按按应力求求解时，，对于多多连体须须要校核核位移的的单值条条件。单值条件件对于单连连体，通通过校核核边界条条件等，，位移单单值条件件往往已已自然满满足；对于多连连体，应应校核位位移单值值条件，，并使之之满足。。§4－7压压力隧洞洞本题是两两个圆筒筒的接触问题题，两个均均为轴对对称问题题（平面面应变问问题）。。1.压力力隧洞--圆筒埋在在无限大大弹性体体中，受受有均布布内压力力。圆筒筒和无限限大弹性性体的弹弹性常数数分别为为压力隧洞洞因为不符符合均匀匀性假定定，必须须分别采采用两个个轴对称称解答：：圆筒无限大弹弹性体压力隧洞洞应考虑的的条件：：（1）位位移单值值条件：：（2）圆圆筒内边边界条件件：（3）无无限远处处条件，，由圣维维南原理理,压力隧洞洞由（1））—（4）条件件，解出出解答（（书中式式（4-16））。。（4）的的接触条件件，当变形形后两弹弹性体保持连续续时，有有压力隧洞洞2.一般般的接触触问题。。(1)完全接触触：变形后两两弹性体体在s上仍然保保持连续续。这时时的接触触条件为为：在s上当两个弹弹性体，，变形前前在s上互相接接触，变变形后的的接触条件件可分为几几种情况况：接触问题题(2)有摩阻力力的滑动动接触：变形后后在S上法向保保持连续续，而切切向产生生有摩阻阻力的相相对滑移移，则在在S上的接触触条件为为其中C为凝聚力力。接触问题题(4)局部脱离离：变形后后某一部部分边界界上两弹弹性体脱脱开，则则原接触触面成了了自由面面。在此此部分脱脱开的边边界上，，有(3)光滑接触触：变形后后法向保保持连续续，但切切向产生生无摩阻阻力的光光滑移动动，则在在s上的接触触条件为为接触问题题在工程上上，有许许多接触触问题的的实际例例子。如如机械中中轴与轴轴承的接接触，基基础结构构与地基基的接触触，坝体体分缝处处的接触触等等。。一般在在接触边边界的各各部分，，常常有有不同的的接触条条件，难难以用理理论解表表示。我我们可以以应用有有限单元元法进行行仔细和和深入的的分析。。接触问题题3.有有限值条条件图（a）设图（a）中半径为为r的圆盘受受法向均均布压力力q作用，试求其解解答。有限值条条件引用轴对对称问题题的解答答，并考考虑边界界上上的的条件，，上述问问题还是是难以得得出解答答。这时时，我们们可以考考虑所谓有限值条条件，即除了了应力集集中点外外，弹性性体上的的应力应应为有限限值。而书中式式(4-11)的应力力表达式式中，当当时时，和和中中的第一一、二项项均趋于于无限大大，这是是不可能能的。按按照有限限值条件件，当当时时，必须须有A=B=0。有限值条条件在弹性力力学问题题中，我我们是在在区域内内和边界界上分别别考虑静静力条件件、几何何条件和和物理条条件后，，建立基基本方程程及其边边界条件件来进行行求解的的。一般地说说，单值值条件和和有限值值条件也也是应该该满足的的，但是是这些条条件常常常是自然然满足的的。而在在下列的情情形下须要进行校核核：(1)按应力求求解时，，多连体体中的位位移单值值条件。有限值条条件在弹性力力学的复复变函数数解法中中，首先先排除不不符合单单值条件件和有限限值条件件的复变变函数，，从而缩缩小求解解函数的的范围，，然后再再根据其其他条件件进行求求解。(2)无应力集集中现象象时，和和，，或或处的应力的有有限值条条件(因为正正、负幂幂函数在在这些点点会成为为无限大大)。有限值条条件工程结构构中常开开设孔口口最简单单的为圆圆孔。本节研究究‘小孔口问问题’，应符符合（1）孔孔口尺寸寸＜＜弹弹性体尺尺寸，孔口引起起的应力力扰动局局限于小小范围内内。§4－8圆孔孔的孔口口应力集集中小孔口问问题（2）孔孔边距边边界较远远（＞1.5倍孔孔口尺寸寸）孔口与边边界不相相互干扰扰。当弹性体体开孔时时，在小小孔口附附近，将将发生应力集中中现象。小孔口问问题1.带小小圆孔的的矩形板板，四边受均均布拉力力q，图(a)。双向受拉拉内边界条条件为，，将外边界界改造成成为圆边边界，作作则有利用圆环环的轴对对称解答答，取且R＞＞r，得应力解答答：双向受拉拉（4-17）2.带带小圆孔孔的矩形形板，x,y向分别受受拉压力力，图(b)。所以应力力集中系系数为2。内边界条条件为最大应力力发生在在孔边，，作圆圆，，求出外外边界条条件为双向受拉拉压应用半逆解法法求解（非非轴对称称问题））:由边界条条件，假假设设代入相容容方程，，由~关关系，，假设，，所所以设双向受拉拉压除去，，为典典型欧拉拉方程，，通过与与前面§4－5相同的处处理方式式，可以以得解然后代回回式（d),即可求出出应力。。双向受拉拉压校核边界界条件(b),(c)，，求出A,B,C,D，得应力解答答：在孔边，，，，最大大、最小小应力为为，，应应力集中中系数为为。。双向受拉拉压（4-18）3.带小小圆孔的的矩形板板，只受x向均布拉拉力q。单向受拉拉应用图示示叠加原原理（此此时令））得应力解答答:单向受拉拉（4-19）讨论：（1）孔孔边应力力，最大应力力3q，最小应力力-q。单向受拉拉（2)y轴上上应应力，可见，距距孔边1.5D处，，由于于孔口引引起的应应力扰动动<5%。单向受拉拉（3）x轴上上应应力，同样，距距孔边1.5D处，，由于于孔口引引起的应应力扰动动<5%。单向受拉拉4.小孔孔口的应应力集中中现象（1）集中性--孔口附近近应力>>远处处的应力力，孔口附近近应力>>无孔孔时的应应力。（2）局部性--应力集中中区域很很小，约约在距孔孔边1.5倍倍孔径（（D）范围内。。此区域域外的应应力扰动动，一般般<5%。应力集中中现象（3）凹角的角角点应力力高度集集中，曲率半半径愈小小，应力力愈大。。因此，工工程上应应尽量避避免接近近直交的的凹角出出现。如正方孔孔的的角点，，角点曲率率半径应力集中中现象5.一般般小孔口口问题的的分析：：（1）假假设无孔孔，求出出结构在在孔心处处的、、、。。（2）求求出孔心心处主应应力（3）在在远处的的均匀应应力场作作用下，，求出孔口口附近的的应力。。小孔口解解法当然，对对于左右右边界受受均匀拉拉力作用用带孔平平板的应应力集中中问题，，还可以以用如下下方法求求解单向受拉拉对于无孔孔板，板板中的应应力为与之相应应的应力力函数为为转为极坐坐标表示示为单向受拉拉现参照上上述无孔孔板的应应力函数数来选取取一个应应力函数数，使它它适用于于有孔板板。即代入相容容方程得得：解得：单向受拉拉由此求得得应力分分量为：：解得：单向受拉拉应力分量量为：应用弹性性力学问问题的复变函数数解法，已经解出许多多各种形形状的小小孔口问问题的解解答。复变函数解法法是一种种求解弹弹性力学学解答的的解析方方法，它将复变变函数的的实部和和虚部(均为实实函数)分别表示弹性性力学的的物理量量，将弹弹性力学学的相容容方程(重调调和方程程)也也化为复复变函数数方程，，并结合合边界条件件进行求求解。6.其其他小孔孔口问题题的解答答为了了解解小孔口口应力集集中现象象的特性性和便于工程上上的应用用，我们们把远处处为(压应力场)作作用下，，椭圆类类孔口、、矩形类类孔口和和廊道孔口的应应力解答答表示在在下图中中，它们们的应力力分布情况如如下。-43/2ba11-2.2312/3-1101-311.00-2.5-1.35（1）在(压应力场场)下，孔孔口的最大拉应力发生于孔顶顶和孔底。。椭圆类孔孔口均为,矩形类孔孔口的~,标准廊道孔口为为0.90和0.92q。1.8r-1.7(c)标准廊道孔孔口r0.900.92（2）在（（压应力场场）下，孔孔口的最大压应力力发生在孔侧侧。椭圆类类孔口（垂垂直半轴为为b，水平半轴为为a）中，当成成为一一条裂缝时，；；当；；当，，~。矩形类孔口口从从，，越小，则压压应力集中中系数越接接近1。标标准廊道左左右。半平面体在在边界上受受集中力作作用如图。。它是下图所所示问题当的特殊情况况。§4－9半平面体在在边界上受受集中力半逆解法用半逆解法求解。（1）假设设应力：F为单位宽度度上的力，，按量纲分分析，应力力应为:半逆解法（2）推测测应应为（3）代入入，，得得求出f之解，代入入，，其中前两项项即Ax+By，与应力无关关，删去。。则取应力函函数为（5）考虑虑边界条件件,因有集中力力作用于原原点，故边界条件件应考虑两两部分：（4）由求求应力,(b)在原点O附近，我们们可以看成成是一段小边界。在在此小边界界附近，有有面力的作作用,而面力可以以向原点o简化为作用用于O点的主矢量量F，和主矩为0的情形。将小边界上上的应力边边界条件应应用圣维南原理来进行处理理。圣维南原理理的应用可以有两种方方式：(a)不包含原点点O，则在显然这条件件是满足的的。即,(1)在同一小边边界上，使应力的的主矢量和和主矩,分分别等于对对应面力的的主矢量和和主矩(数值相等等，方向一一致)，共共有3个