2019版数学（文）教师用书：第二章 第七节 对数与对数函数 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第七节对数与对数函数1．对数概念如果ax＝N(a>0,且a≠1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化:ax＝N⇔x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算法则loga（M·N）＝logaM＋logaNa〉0，且a≠1,M>0，N〉0logaeq\f（M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式换底公式：logab＝eq\f(logcb，logca)(a>0，且a≠1，c>0,且c≠1,b〉0)2。对数函数的图象与性质函数y＝logax(a＞0，且a≠1)图象a＞10＜a＜1图象特征在y轴右侧,过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的性质定义域（0，＋∞)值域R单调性在（0，＋∞)上是增函数在（0，＋∞）上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y<0;当0<x〈1时，y>01．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）函数y＝log2（x＋1）是对数函数．（)(2）log2x2＝2log2x.（)(3）当x＞1时，logax＞0.()（4）函数y＝lneq\f（1＋x,1－x）与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．（）答案:（1）×(2)×(3）×(4）√2．已知a>0，a≠1,函数y＝ax与y＝loga(－x）的图象可能是(）解析:选B函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.3．函数y＝lg|x｜（)A．是偶函数，在区间（－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减C．是奇函数,在区间（0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增解析：选By＝lg｜x|是偶函数,由图象知在(－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞)上单调递增．4．设a＝log2π，b＝logπ,c＝π－2,则a，b，c的大小关系是(）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a解析：选C因为a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2＝eq\f(1，π2）＞0,但c＜1，所以b＜c＜a。5．函数y＝eq\r(log0。54x－3）的定义域为______．解析：要使函数有意义，须满足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4x－3〉0，,log0.54x－3≥0，）)解得eq\f（3,4)<x≤1。答案:eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(3，4），1))6．函数y＝loga（x－1）＋2(a＞0,且a≠1)的图象恒过的定点是________．解析：当x＝2时，函数y＝loga（x－1)＋2（a＞0，且a≠1)的值为2,所以图象恒过定点（2,2)．答案:(2,2）eq\a\vs4\al（考点一对数式的化简与求值）eq\a\vs4\al(基础送分型考点—-自主练透)［考什么·怎么考］对数的运算在高考中常有考查,主要是考查对数运算法则或换底公式的应用，均以选择题、填空题的形式出现，难度比较低.1．（log29)·(log34）＝（）A。eq\f(1,4） B.eq\f（1,2）C．2 D．4解析：选D法一:原式＝eq\f(lg9,lg2）·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2，lg2·lg3）＝4.法二:原式＝2log23·eq\f（log24,log23)＝2×2＝4.2．计算：eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4）－lg25）)÷100＝________.解析：原式＝lgeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,4)×\f(1,25)）)×100＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.答案：－203．计算:log23·log38＋(eq\r(3))＝________.解析：原式＝eq\f(lg3，lg2)·eq\f(3lg2，lg3)＋3log34＝3＋3l＝3＋2＝5。答案:54．已知函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log2x，x＞0，,3－x＋1,x≤0，))则f(f(1))＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（log3\f(1，2）））的值是________．解析：因为f（1）＝log21＝0，所以f（f(1)）＝f(0）＝2。因为log3eq\f（1，2）＜0,所以feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（log3\f(1,2)))＝3＋1＝3＋1＝2＋1＝3.所以f(f（1））＋feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（log3\f（1，2)）)＝2＋3＝5。答案:5[怎样快解·准解］1．解题“2思路”（1）首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2．易错“2提醒”(1）对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的,不能出现log212＝log2［(－3）×（－4)]＝log2（－3）＋log2（－4）的错误．（2）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．eq\a\vs4\al（考点二对数函数的图象及应用)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)在掌握函数图象变换的相关知识的基础上,掌握对数函数的图象或选择利用图象求交点问题，在高考中以选择题、填空题的形式出现,难度不大，属中低档题.[典题领悟]1．函数f（x)＝loga｜x｜＋1(0＜a＜1)的图象大致为(）解析：选A由函数f（x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称．设g（x）＝loga|x｜,先画出x〉0时,g(x)的图象，然后根据g（x)的图象关于y轴对称画出x〈0时g(x)的图象，最后由函数g（x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x）的图象，结合图象知选A.2．已知函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，，3x，x≤0，））关于x的方程f(x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1。答案：（1,＋∞)[解题师说]1．准确审题是关键(1)要识别对数型函数f（x)＝loga|x|＋1的图象，一般从最基本的对数函数y＝logax的图象入手，抓住图象上的三个关键点（a，1）,（1，0)，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a)，－1）），函数的定义域及单调性,并利用平移、对称变换等手段得到所要求的函数图象，特别地要注意a＞1和0＜a＜1的两种不同情况．(2)方程f(x）＋x－a＝0有且只有一实根，采用直接求解无法得到，常把这种问题转化为y＝f(x)与y＝－x＋a两函数图象的关系问题,利用数形结合法求解．2．利用结论是捷径对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a＞1时，图象上升；0＜a＜1时,图象下降．（2）对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0＜c＜d＜1＜a＜b.在x轴上侧,图象从左到右相应的底数由小变大;在x轴下侧,图象从右到左相应的底数由小变大．（无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)［冲关演练]1．函数f(x）＝ln|x－1|的图象大致是（)解析：选B当x〉1时,f(x)＝ln(x－1），又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B。2.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1）（a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是(）A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1解析：选A令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f（x）＝loga（g（x)）是单调递增的，所以必有a＞1.又由函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间,即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，故a－1＜b＜1,因此0＜a－1＜b＜1。eq\a\vs4\al（考点三对数函数的性质及应用)eq\a\vs4\al（题点多变型考点—-追根溯源）高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有.，常见的命题角度有：1比较对数值的大小；2简单对数不等式的解法；3对数函数的综合问题.[题点全练]角度(一）比较对数值的大小1．已知a＝log29－log2eq\r(3），b＝1＋log2eq\r(7）,c＝eq\f(1，2）＋log2eq\r（13），则a，b,c的大小关系为()A．a〉b>c B．b〉a>cC．c>a>b D．c〉b〉a解析：选Ba＝log29－log2eq\r（3)＝log23eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)＝log22eq\r(7)，c＝eq\f(1，2)＋log2eq\r(13）＝log2eq\r（26)，因为函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，且2eq\r（7)〉3eq\r(3）〉eq\r(26)，所以b〉a>c。［题型技法]比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较角度(二）简单对数不等式的解法2．已知不等式logx(2x2＋1)〈logx（3x）〈0成立，则实数x的取值范围是________．解析:原不等式⇔eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0〈x<1，,2x2＋1>3x〉1))①或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x>1,,2x2＋1〈3x〈1)）②，解不等式组①得eq\f(1，3）〈x〈eq\f（1，2)，不等式组②无解，所以实数x的取值范围为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，3）,\f（1,2）)）.答案:eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，3)，\f(1,2)）)[题型技法］求解对数不等式的两种类型及方法类型方法形如logax＞logab借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论形如logax＞b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解角度(三)对数函数的综合问题3．若函数f（x）＝log(－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为()A。eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（4,3），3）) B。eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（4，3)，2）)C.eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4,3)，2）） D.eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4，3)，＋∞)）解析：选C由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2。由复合函数单调性可得函数f(x）＝log(－x2＋4x＋5）的单调递增区间为(2,5)．要使函数f（x）＝log(－x2＋4x＋5）在区间(3m－2，m＋2）内单调递增,只需eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－2≥2，，m＋2≤5，，3m－2＜m＋2，))解得eq\f(4，3）≤m＜2.[题型技法］解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性［题“根”探求]1．无论题型如何变化,都是围绕对数函数的单调性，变换不同的角度来应用．角度（一）与角度(二)是对数函数单调性的直接应用，利用单调性来比较大小、解不等式；角度(三)是对数函数单调性的迁移应用，根据单调性来求参数的范围，所以弄清对数函数的单调性是解题的关键，并注意有时需对底数字母参数进行讨论．2．与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关．对于函数y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1），若定义域为R，则f（x）＞0在R上恒成立；若值域为R，则f(x）能取遍所有正实数．[冲关演练]1．若a＝log0。30。2，b＝logπ3，c＝log0。3e，则a，b，c的大小关系为（A．a>b〉c B．b〉a〉cC．c>a〉b D．b>c>a解析：选A由对数函数的性质可得a＝log0。30.2〉log0。30。3＝1，b＝logπ3∈（0，1)，c＝log0。3e〈0，所以a>b〉c2．设函数f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（41－x,x≤1,,1－logx，x＞1，))则满足不等式f(x）≤2的实数x的取值集合为________．解析：原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≤1,，41－x≤2))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＞1，,1－logx≤2，））解得eq\f(1,2)≤x≤1或1＜x≤4，即实数x的取值集合为eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(,,，））\f（1，2)≤x≤4）)。答案:eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（，，,)）\f(1,2）≤x≤4))3．已知函数f(x）＝loga(8－ax)（a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：当a＞1时，f（x)＝loga(8－ax）在［1，2]上是减函数，由f（x）＞1在［1,2]上恒成立,则f（x）min＝loga（8－2a）＞1解得1＜a＜eq\f(8,3），当0＜a＜1时,f（x)在［1，2］上是增函数,由f（x)＞1在［1,2]上恒成立，则f（x)min＝loga(8－a)＞1，且8－2a＞0，故不存在实数a综上可知，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f（8，3))）。答案：eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，\f（8,3））)(一）普通高中适用作业A级—-基础小题练熟练快1．函数y＝eq\r（log32x－1＋1)的定义域是()A．［1，2］ B．［1,2)C.eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,3),＋∞）） D。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3），＋∞)）解析：选C由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（log32x－1＋1≥0,，2x－1＞0，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log32x－1≥log3\f(1,3)，，x＞\f（1，2），)）解得x≥eq\f(2,3）.2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a〉0，且a≠1）的反函数，且f（2)＝1，则f(x）＝()A．log2x B。eq\f(1,2x）C．logeq\f（1，2）x D．2x－2解析：选A由题意知f(x)＝logax（a>0，且a≠1），∵f(2)＝1,∴loga2＝1，∴a＝2。∴f（x）＝log2x.3．如果logx〈logy<0，那么()A．y〈x<1 B．x<y〈1C．1<x〈y D．1<y〈x解析：选D∵logx〈logy<log1，∴x〉y>1。4．若函数y＝a｜x｜（a＞0，且a≠1)的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝loga|x｜的图象大致是()解析:选A由函数y＝a|x|(a＞0,且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，知0＜a＜1，由此可知y＝loga｜x|的图象大致是A.5．设函数f(x）＝loga｜x｜（a〉0，且a≠1）在（－∞，0)上单调递增,则f（a＋1)与f(2)的大小关系是（）A．f（a＋1)〉f（2） B．f（a＋1）<f（2）C．f(a＋1)＝f(2） D．不能确定解析：选A由已知得0〈a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数,故可以判断f(x）在（0，＋∞)上单调递减，所以f（a＋1)〉f（2)．6．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝lgeq\f(1－x，1＋x),若f(a）＝eq\f(1,2），则f（－a）＝()A．2 B．－2C。eq\f（1，2) D．－eq\f（1,2）解析：选D∵f(x)＝lgeq\f（1－x,1＋x)的定义域为－1〈x〈1，∴f(－x）＝lgeq\f(1＋x，1－x）＝－lgeq\f（1－x，1＋x)＝－f(x）,∴f（x)为奇函数，∴f(－a)＝－f（a）＝－eq\f(1，2)。7．lgeq\r(2)＋lgeq\r(5)＋20＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(5)）2×eq\r（3，5)＝________。解析：原式＝lgeq\r（10）＋1＋5×5＝eq\f(3,2）＋5＝eq\f(13,2)。答案：eq\f（13,2）8．已知函数f(x）＝loga(x＋b）(a＞0,且a≠1）的图象过两点（－1，0）和(0,1），则logba＝________.解析:f（x)的图象过两点(－1,0)和(0，1）．则f(－1)＝loga（－1＋b)＝0，且f（0）＝loga（0＋b)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(b－1＝1,，b＝a，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝2，,a＝2.))所以logba＝1.答案：19．(2018·安徽两校阶段性测试）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x,则f（log49)＝________.解析:因为log49＝log23＞0，又f(x）是定义在R上的奇函数,且当x＜0时，f(x)＝2x，所以f（log49）＝f（log23)＝－2＝－2＝－eq\f(1,3)。答案：－eq\f(1,3)10．设函数f(x）满足f（x）＝1＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）·log2x，则f(2)＝________.解析：因为f（x）＝1＋feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)·log2x,所以feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）))＝1＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2))）·log2eq\f（1,2)，得feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））＝eq\f(1，2），所以f(x)＝1＋eq\f(1,2)log2x，所以f(2）＝1＋eq\f(1,2)log22＝eq\f（3，2）.答案：eq\f（3,2）B级——中档题目练通抓牢1．已知a＝log23＋log2eq\r（3），b＝log227－log23eq\r(3），c＝log32，则a，b，c的大小关系是(）A．a＝b＜c B．a＝b＞cC．a＜b＜c D．a＞b＞c解析：选B因为a＝log23＋log2eq\r（3)＝log23eq\r（3）＝eq\f(3,2）log23＞1,b＝log227－log23eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b>c。2.已知函数y＝loga(x＋c）（a，c为常数，其中a>0,a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是(）A．a〉1，c〉1 B．a〉1,0〈c<1C．0<a<1,c〉1 D．0〈a<1,0〈c<1解析：选D由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga（x＋c）的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的,所以根据题中图象可知0＜c＜1.3．若函数f(x）＝logaeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x2＋\f(3，2)x）)（a＞0,且a≠1）在区间eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2），＋∞））内恒有f（x)＞0，则f（x)的单调递增区间为（）A．(0，＋∞) B．（2，＋∞）C．（1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），＋∞）)解析：选A令M＝x2＋eq\f（3，2)x,则M>0，所以x＞0或x＜－eq\f（3,2）.当x∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)，＋∞))时，M∈（1，＋∞),f(x)＞0,所以a＞1，又M＝x2＋eq\f(3，2）x图象的对称轴为x＝－eq\f（3,4），且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f（x）的单调递增区间为(0,＋∞）．4．设2a＝5b＝m,且eq\f(1，a）＋eq\f（1，b)＝2,则m＝________.解析：因为2a＝5b＝m所以a＝log2m，b＝log5所以eq\f(1，a)＋eq\f（1,b）＝eq\f（1，log2m)＋eq\f（1，log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝eq\r（10）.答案:eq\r(10)5．设函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,log－x，x＜0，)）若f（a)＞f(－a）,则实数a的取值范围是________________．解析：由f（a)＞f（－a）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞loga)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，，log－a＞log2－a，））即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＞0，，log2a＞－log2a））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＜0，,－log2－a＞log2－a.)）解得a＞1或－1＜a＜0.答案：（－1,0)∪(1,＋∞）6．设f（x）＝loga（1＋x）＋loga(3－x）(a＞0，且a≠1)，且f（1）＝2。(1)求a的值及f（x）的定义域;（2）求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（3,2)））上的最大值．解：（1)∵f(1）＝2，∴loga4＝2（a＞0，且a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1＋x＞0，,3－x＞0，））得－1＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为(－1，3）．（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2(3－x)＝log2［（1＋x）（3－x)]＝log2[－(x－1）2＋4］，∴当x∈（－1，1］时，f(x）是增函数；当x∈(1，3)时，f（x)是减函数，故函数f(x）在eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（3,2）））上的最大值是f(1）＝log24＝2.7．已知函数f（x）＝loga(a2x＋t），其中a＞0且a≠1.（1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；(2）若存在实数m，n(m＜n）,使得x∈［m，n］时,函数f（x)的值域也为［m，n］,求t的取值范围．解：(1）∵log2（22x＋t）＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x）恒成立，即t≥g(x)max，∵g(x）＝－22x＋2x＝－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(1,2)))2＋eq\f（1,4),∴当2x＝eq\f（1,2)，即x＝－1时，g（x)取得最大值eq\f（1,4)，∴t≥eq\f（1,4)，故t的取值范围为eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,4)，＋∞))。(2）由题意知f（x)＝loga(a2x＋t)在［m，n]上是单调增函数,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（fm＝m，，fn＝n，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2m＋t＝am，，a2n＋t＝an，))问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等的实根,令ak＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈（0，＋∞）上有两个不相等的实根，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(u1＋u2＞0，,u1·u2＞0,,Δ＞0，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（t＞0，,t＜\f(1，4)，)）得0＜t＜eq\f(1,4）。∴t的取值范围为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,4）））。C级-—重难题目自主选做1．（2018·广东省级名校模拟）已知函数f（x)＝（ex－e－x）x，f（log5x）＋f(logx）≤2f（1），则x的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1，5），1)) B．［1，5]C。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1，5)，5)） D.eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（－∞，\f（1，5））)∪[5,＋∞）解析：选C∵f(x）＝（ex－e－x）x，∴f(－x)＝－x(e－x－ex）＝（ex－e－x）x＝f(x)，∴函数f（x)是偶函数．∵f′（x)＝（ex－e－x）＋x(ex＋e－x)＞0在(0,＋∞）上恒成立．∴函数f（x)在(0，＋∞)上单调递增．∵f(log5x)＋f(logx)≤2f（1)，∴2f(log5x)≤2f(1），即f（log5x）≤f∴｜log5x｜≤1，∴eq\f(1,5)≤x≤5。故选C。2．（2018·沈阳质检）已知函数f（x)＝|log3x｜，实数m，n满足0＜m＜n,且f(m)＝f(n)，若f(x)在［m2，n］上的最大值为2，则eq\f(n，m)＝________。解析:f（x）＝|log3x｜＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－log3x，0＜x＜1,,log3x，x≥1,))所以f（x）在(0,1)上单调递减，在(1,＋∞）上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n），可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜1，，n＞1，,log3n＝－log3m，）)则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜1，，n＞1,,mn＝1，))所以0＜m2＜m＜1,则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1,n]上单调递增，所以f（m2)＞f(m)＝f（n)，则f(x）在[m2，n]上的最大值为f（m2）＝－log3m2＝2,解得m＝eq\f（1，3），则n＝3，所以eq\f(n,m）＝9.答案：9(二）重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．若函数y＝f（x）是函数y＝ax(a〉0，且a≠1）的反函数,且f(2)＝1,则f(x）＝(）A．log2x B。eq\f(1,2x)C．logx D．2x－2解析:选A由题意知f（x)＝logax(a>0，且a≠1),∵f（2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2。∴f（x)＝log2x.2.若函数f（x）＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞,1］上递减，则a的取值范围为（）A．[1,2） B．[1,2］C．[1,＋∞) D．［2，＋∞）解析：选A令函数g（x）＝x2－2ax＋1＋a＝（x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在（－∞，1］上递减，则有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(g1〉0，,a≥1，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a〉0，,a≥1,)）解得1≤a〈2，即a∈［1,2）．3。（2018·广东韶关南雄模拟）函数f（x）＝xa满足f(2）＝4,那么函数g（x）＝|loga（x＋1）｜的图象大致为（)解析：选C∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g（x）＝｜log2(x＋1）｜＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（log2x＋1，x≥0,，－log2x＋1，－1<x〈0,）)∴当x≥0时，函数g（x)单调递增，且g（0)＝0；当－1〈x<0时,函数g(x)单调递减．故选C。4．已知a＝log23＋log2eq\r(3），b＝log227－log23eq\r（3)，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(）A．a＝b＜c B．a＝b＞cC．a＜b＜c D．a＞b＞c解析：选B因为a＝log23＋log2eq\r（3)＝log23eq\r（3)＝eq\f(3,2）log23＞1，b＝log227－log23eq\r(3）＝log23eq\r（3）＝a，c＝log32＜log33＝1,所以a＝b>c.5。已知函数f（x）＝loga(2x－a）在区间eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1,2），\f(2,3）））上恒有f(x）>0，则实数a的取值范围是（)A.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）,1)) B。eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,3),1））C。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2,3），1）) D.eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2，3），1))解析：选A当0〈a<1时,函数f(x)在区间eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)，\f(2,3）)）上是减函数，所以logaeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(4,3)－a））〉0,即0<eq\f（4，3)－a〈1，解得eq\f(1，3)〈a<eq\f(4,3)，故eq\f(1,3)<a〈1；当a〉1时,函数f（x）在区间eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(1，2），\f(2,3））)上是增函数,所以loga(1－a)〉0，即1－a>1，解得a<0,此时无解．综上所述,实数a的取值范围是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，3)，1)）.6．已知函数f（x）＝loga（x＋b)（a＞0，且a≠1)的图象过两点（－1,0）和（0,1），则logba＝________.解析：f（x）的图象过两点(－1,0）和(0，1)．则f(－1）＝loga(－1＋b)＝0,且f（0）＝loga（0＋b）＝1，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(b－1＝1，，b＝a,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝2，,a＝2.））所以logba＝1.答案：17.函数f（x)＝log2eq\r（x）·logeq\r（2)(2x)的最小值为________．解析：依题意得f（x）＝eq\f(1,2）log2x·(2＋2log2x)＝(log2x）2＋log2x＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（log2x＋\f(1,2)))2－eq\f（1，4）≥－eq\f(1，4),当且仅当log2x＝－eq\f(1,2），即x＝eq\f（\r(2),2）时等号成立，因此函数f（x)的最小值为－eq\f(1,4)。答案：－eq\f(1，4)8．设函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0,，log－x，x＜0，））若f(a)＞f（－a）,则实数a的取值范围是________________．解析：由f(a）＞f(－a）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＞0，，log2a＞loga））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0,,log－a＞log2－a，)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＞0，,log2a＞－log2a))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＜0，,－log2－a＞log2－a.)）解得a＞1或－1＜a＜0.答案：（－1,0）∪(1，＋∞)9.已知函数f（x）＝log2eq\f（1＋ax,x－1)(a为常数)是奇函数．(1）求a的值与函数f(x)的定义域；（2）若当x∈（1,＋∞）时，f(x）＋log2(x－1）〉m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）∵函数f（x)＝log2eq\f(1＋ax,x－1）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）,∴log2eq\f(1－ax，－x－1)＝－log2eq\f(1＋ax,x－1），即log2eq\f(ax－1，x＋1)＝log2eq\f(x－1，1＋ax),∴a＝1，f(x）＝log2eq\f(1＋x，x－1).令eq\f（1＋x，x－1）>0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,x－1>0,）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1＋x<0，,x－1〈0，）)解得x〈－1或x〉1。∴函数f（x）的定义域为{x|x〈－1或x>1}．（2)∵f（x）＋log2(x－1)＝log2（1＋x），当x〉1时，x＋1>2,∴log2（1＋x)>log22＝1。∵当x∈（1,＋∞)时，f(x)＋log2（x－1)〉m恒成立，∴m≤1。∴m的取值范围是（－∞，1］．10。已知函数f（x)是定义在R上的偶函数，f(0）＝0，当x〉0时，f（x）＝logeq\f（1,2)x。(1）求函数f（x）的解析式；（2)解不等式f(x2－1）>－2.解：（1)当x〈0时，－x〉0，则f(－x)＝logeq\f(1，2）(－x）．因为函数f（x)是偶函数，所以f（－x）＝f（x）．所以函数f(x)的解析式为f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（logx，x〉0，，0，x＝0，，log－x,x<0.））（2）因为f（4）＝logeq\f（1,2)4＝－2，f（x)是偶函数,所以不等式f(x2－1）>－2可化为f（｜x2－1｜）〉f(4)．又因为函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以｜x2－1｜<4，解得－eq\r(5)〈x〈eq\r(5),即不等式的解集为{x|－eq\r(5)〈x<eq\r（5)}．B级——拔高题目稳做准做1．若函数f(x）＝logaeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x2＋\f（3,2)x）)（a＞0，且a≠1)在区间eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2），＋∞）)内恒有f（x)＞0，则f（x)的单调递增区间为（）A．(0，＋∞) B．(2，＋∞）C．（1，＋∞） D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，＋∞））解析：选A令M＝x2＋eq\f（3,2）x,则M>0，所以x＞0或x＜－eq\f（3,2)。当x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）,＋∞））时，M∈(1，＋∞），f(x)＞0，所以a＞1,又M＝x2＋eq\f（3，2）x图象的对称轴为x＝－eq\f(3,4)，且开口向上，故由复合函数的单调性知,函数f(x）的单调递增区间为(0，＋∞)．2.设方程10x＝|lg(－x）｜的两个根分别为x1,x2，则（)A．x1x2＜0 B．x1x2＝0C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1解析：选D作出y＝10x与y＝｜lg（－x)｜的大致图象如图所示．显然x1＜0，x2＜0。不妨设x1＜x2，则x1＜－1,－1＜x2＜0,所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg（－x2），此时10x1＜10x2，即lg(－x1）＜－lg（－x2），由此得lg（x1x2）＜0,所以0＜x1x2＜1.3．设2a＝5b＝m，且eq\f(1，a)＋eq\f（1,b）＝2,则m＝________.解析:因为2a＝5b＝m所以a＝log2m，b＝log5所以eq\f（1,a)＋eq\f（1,b)＝eq\f(1,log2m）＋eq\f（1，log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝eq\r(10)。答案：eq\r(10）4．（2018·沈阳质检)已知函数f(x）＝｜log3x|，实数m，n满