2019版数学（文）教师用书：第二章 第六节 指数与指数函数 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第六节指数与指数函数1．有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：a＝eq\r(n，am）(a>0,m，n∈N＊，且n>1)．②负分数指数幂：a－＝eq\f(1，a）＝eq\f（1,\r（n,am））(a〉0，m，n∈N*,且n〉1)．③0的正分数指数幂等于eq\a\vs4\al(0），0的负分数指数幂没有意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q);②（ar）s＝ars(a〉0，r，s∈Q）;③(ab）r＝arbr（a〉0，b〉0,r∈Q）．2．指数函数的图象与性质函数y＝ax（a>0,且a≠1）图象a〉10〈a〈1图象特征在x轴上方,过定点（0,1)当x逐渐增大时，图象逐渐上升当x逐渐增大时,图象逐渐下降性质定义域eq\a\vs4\al(R)值域(0，＋∞）单调性单调递增单调递减函数值变化规律当x＝0时，y＝1当x〈0时，0〈y〈1；当x〉0时,y>1当x<0时，y〉1；当x>0时，0<y〈11．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)(1）eq\r（n,an）与（eq\r(n,a））n都等于a(n∈N*)．(）(2)2a·2b＝2ab。（（3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．（)(4)若am〈an(a>0,且a≠1），则m<n.（）答案:(1)×(2）×(3）√（4)×2．化简eq\r（4，16x8y4)（x〈0,y<0)得（）A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y解析:选D因为x<0,y<0，所以eq\r（4，16x8y4)＝（16x8·y4)＝（16）·(x8)·（y4）＝2x2｜y|＝－2x2y。3．函数f（x)＝ax－2＋1(a〉0，且a≠1)的图象必经过点（)A．（0,1) B．（1，1）C．(2，0） D．(2，2)解析：选D由f(2)＝a0＋1＝2，知f（x)的图象必过点（2,2)．4．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是()答案:C5．函数y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）））的定义域是________．解析:要使该函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x≠0，,1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)））≥0，)）解得x>0，所以定义域为（0，＋∞）．答案:（0,＋∞）6．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵f（x)＝(a－2）x为减函数，∴0〈a－2<1，即2<a<3。答案：(2，3）eq\a\vs4\al(考点一指数幂的化简与求值)eq\a\vs4\al(基础送分型考点—-自主练透）［考什么·怎么考]指数幂的化简与求值在高考中单独考查较少,常与对数式运算结合命题，一般难度较小。1．若实数a>0，则下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq\f（1，2a3)C．(－2）0＝－1 D．(a)4＝eq\f(1,a）解析：选D对于A，（－2）－2＝eq\f（1,4）,故A错误；对于B,2a－3＝eq\f(2,a3)，故B错误；对于C,(－2)0＝1，故C错误;对于D，(a)4＝eq\f(1，a），故D正确．2．化简：eq\f(a·b－1·a·b,\r(6,a·b5)）＝________.解析：原式＝eq\f(a·b·a·b,a·b)＝a·b＝eq\f(1，a）。答案：eq\f（1,a)3．化简：eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2\f（3，5）））0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2\f（1,4))）－（0.01）0.5＝________.解析:原式＝1＋eq\f（1,4）×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(4,9)））－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，100)））＝1＋eq\f（1,4）×eq\f(2,3）－eq\f(1,10）＝1＋eq\f(1，6)－eq\f(1,10)＝eq\f（16，15).答案:eq\f(16,15)[怎样快解·准解]1．指数幂运算的一般原则(1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．（2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数．（3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．2．易错提醒（1）分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将aeq\f（2,4)写成aeq\f（1，2)时必须认真考查a的取值才能决定，如（－1）eq\f（2，4）＝eq\r(4，－12)＝1，而(－1)eq\f(1，2）＝eq\r(－1)无意义．（2)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂,形式力求统一．eq\a\vs4\al(考点二指数函数的图象及应用)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)指数函数的图象是指数函数的基础，研究指数函数的关键是研究其图象.高考以考查其图象辨析及应用为主，以选择题、填空题的形式考查,属于基础题.[典题领悟］1。函数f(x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(）A．a>1，b<0B．a>1，b〉0C．0<a<1,b>0D．0〈a〈1，b<0解析:选D由f（x)＝ax－b的图象可以观察出,函数f（x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0〈a〈1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b〈0.2．已知函数y＝2｜x＋a｜的图象关于y轴对称，则实数a的值是________．解析：法一:由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数,所以2｜x＋a｜＝2｜－x＋a|.根据指数函数的单调性可知，|x＋a|＝|－x＋a|，只有当a＝0时，等式恒成立．故a＝0。法二：根据函数图象的变化规律可知,函数y＝2|x＋a|由函数y＝2x进行变换得到,先将函数y＝2x关于y轴进行翻折,得到函数y＝2|x|，此时函数关于y轴对称，再将图象向左平移a个单位得到y＝2|x＋a｜，此时函数关于x＝－a对称，根据题目条件可知对称轴为y轴，故x＝－a＝0，即a＝0.答案:0［解题师说］1．常考题型及技法（1）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．（2）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．（3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解．(4）判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．常用的结论与性质（1）任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1），底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．(2）当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0〈a<1时,指数函数的图象呈下降趋势．(3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d〈1<a<b,在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．［冲关演练］1．函数f(x）＝1－e|x｜的图象大致是（）解析:选A因为函数f（x)＝1－e｜x｜是偶函数，且值域是（－∞，0],只有A满足上述两个性质．故选A。2．若函数y＝｜3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．解析：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞,0]．答案：(－∞，0]eq\a\vs4\al（考点三指数函数的性质及应用）eq\a\vs4\al(题点多变型考点——追根溯源）高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用,难度偏小，属中低档题.，常见的命题角度有：1比较指数式的大小；2简单指数方程或不等式的应用；3探究指数型函数的性质。［题点全练]角度（一）比较指数式的大小1．（2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4,c＝25，则（）A．b〈a<c B．a<b〈cC．b<c〈a D．c〈a〈b解析：选A因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a;又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在（0，＋∞）上为增函数知，a<c。综上得b〈a<c.故选A.角度(二）简单指数方程或不等式的应用2．（2018·福州模拟)已知实数a≠1,函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4x，x≥0,,2a－x,x<0，)）若f（1－a)＝f(a－1）,则a的值为________．解析：当a<1时，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；当a>1时,代入不成立．故a的值为eq\f(1，2).答案：eq\f(1,2)3．若偶函数f(x)满足f（x）＝2x－4(x≥0），则不等式f(x－2)〉0的解集为________．解析：∵f(x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－4,x≥0,，2－x－4，x＜0，))当f（x－2）＞0时，有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,2x－2－4＞0）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2＜0，,2－x＋2－4＞0,））解得x＞4或x＜0。∴不等式的解集为{x|x>4或x<0｝．答案:｛x|x〉4或x〈0｝角度(三）探究指数型函数的性质4．已知函数f(x）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))。（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间;（2)若f（x)有最大值3，求a的值．解：(1)当a＝－1时,f（x)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3））)－，令g(x）＝－x2－4x＋3，由于g(x）在(－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,3）））t在R上单调递减，所以f(x）在（－∞，－2）上单调递减，在(－2，＋∞）上单调递增，即函数f(x）的单调递增区间是（－2，＋∞）,单调递减区间是(－∞，－2）．(2）令g(x）＝ax2－4x＋3,则f(x）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3）))g（x），由于f(x)有最大值3，所以g(x）应有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，，g\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,a）））＝\f（3a－4，a）＝－1，））解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.[题“根"探求］看个性角度(一)是利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数,能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1"等中间量比较大小；角度(二）是利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式,其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解；角度（三)是指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解找共性以上问题都是指数型函数问题,关键应判断其单调性，对于形如y＝af(x）的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：(1）若a>1，函数f(x）的单调增（减）区间即函数y＝af（x）的单调增(减）区间；（2)若0<a<1，函数f(x)的单调增（减）区间即函数y＝af(x）的单调减（增)区间[冲关演练]1．设a＝0。60.6，b＝0。61。5，c＝1.50。6，则a,b，c的大小关系是(A．a<b<c B．a<c<bC．b〈a<c D．b<c〈a解析：选C因为函数y＝0。6x在R上单调递减,所以b＝0。61。5〈a＝0。60。6〈1。又c＝1.50.6>1,所以b〈a〈c2．当0<x≤eq\f(1，2）时,4x〈logax，则a的取值范围是（）A。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(\r(2),2）)） B。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（2）,2)，1））C．(1，eq\r(2）) D．（eq\r（2），2）解析：选B构造函数f（x）＝4x和g（x)＝logax,画出两个函数在eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,2))）上的草图(图略)，可知，若g(x)经过点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，2）)，则a＝eq\f(\r(2)，2），所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2),2)，1))。3．函数y＝2x2－x的值域为________．解析：因为t＝x2－x＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（1,2)））2－eq\f(1,4）≥－eq\f(1,4)，又函数y＝2x在R上为增函数,所以y＝2t≥2，所以值域为［2，＋∞）．答案:［2，＋∞)(一）普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．函数f（x)＝2|x－1｜的图象是()解析：选B由题意知f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－1，x≥1，,\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）))x－1，x＜1，)）结合图象知选B。2．化简4a·b÷eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（2，3）ab））的结果为(）A．－eq\f（2a，3b） B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f（6a，b) D．－6ab解析：选C原式＝4÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（2,3）））ab＝－6ab－1＝－eq\f（6a，b)，故选C。3．已知f(x）＝3x－b(2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），则f（x）的值域为(）A．[9，81］ B．［3，9］C．[1,9] D．［1，＋∞)解析:选C由f（x)过定点（2,1）可知b＝2,因为f(x)＝3x－2在［2，4］上是增函数，所以f(x）min＝f(2)＝1，f（x）max＝f(4）＝9。故f（x）的值域为[1，9］．4．已知a＝20.2,b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a,b，c的大小关系是(A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：选A由0.2＜0。6,0。4＜1,并结合指数函数的图象可知0.40。2＞0。40。6,即b＞c；因为a＝20.2＞1,b＝0。40。2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c5．函数y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)）)的值域是(）A．（－∞,4） B．（0,＋∞)C．（0，4] D．［4，＋∞）解析：选C设t＝x2＋2x－1，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)））t.因为0＜eq\f（1,2)＜1，所以y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)）)t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1）2－2≥－2，所以0＜y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））t≤eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）))－2＝4，故所求函数的值域为(0,4］．6．已知函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－2－x，x≥0，，2x－1，x<0,）)则函数f（x）是（)A．偶函数,在［0，＋∞）单调递增B．偶函数，在［0,＋∞）单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数,且单调递减解析：选C易知f（0)＝0，当x〉0时,f(x）＝1－2－x,－f(x)＝2－x－1，此时－x〈0,则f(－x）＝2－x－1＝－f(x)；当x〈0时，f（x)＝2x－1，－f（x)＝1－2x，此时－x〉0，则f（－x)＝1－2－（－x)＝1－2x＝－f（x）．即函数f(x）是奇函数,且单调递增，故选C。7．若函数f（x)＝ax(a＞0，且a≠1）的图象经过点Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(1,3））），则f（－1)＝________。解析:依题意可知a2＝eq\f(1，3),解得a＝eq\f（\r(3)，3），所以f(x）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3)，3））)x，所以f(－1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)，3)))－1＝eq\r（3）.答案：eq\r（3）8．若函数f（x）＝ax－1（a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是［0，2],则实数a＝________.解析:当a＞1时，f（x)＝ax－1在［0,2］上为增函数，则a2－1＝2，所以a＝±eq\r(3)。又因为a＞1，所以a＝eq\r（3）.当0＜a＜1时，f（x)＝ax－1在[0,2]上为减函数,又因为f(0)＝0≠2，所以0＜a＜1不成立．综上可知，a＝eq\r(3)。答案：eq\r(3)9．不等式2>eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)))x＋4的解集为________．解析：不等式2〉eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）x＋4可化为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2))）>eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）))x＋4，等价于x2－2x<x＋4,即x2－3x－4<0，解得－1<x〈4.答案：｛x｜－1〈x〈4}10．已知函数f(x)＝a|x＋1|（a＞0,且a≠1)的值域为［1，＋∞),则f(－4）与f(1）的大小关系是________．解析：因为|x＋1|≥0，函数f（x)＝a｜x＋1|（a＞0，且a≠1)的值域为［1，＋∞)，所以a＞1。由于函数f(x)＝a|x＋1｜在(－1,＋∞）上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称,则函数f(x）在（－∞,－1）上是减函数，故f（1）＝f(－3),f（－4)＞f（1）．答案：f(－4)＞f(1)B级——中档题目练通抓牢1．若函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为（）A．（1，＋∞） B．（0，＋∞）C．(0，1) D．无法确定解析：选C因为函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在y轴负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0＜a＜1，,1－b＜0。）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，，b＞1.）)故ab∈(0，1），故选C.2．（2018·河南南阳、信阳等六市一模)已知a，b∈(0，1）∪(1，＋∞)，当x＞0时，1＜bx＜ax，则()A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜a D．1＜a＜b解析：选C∵x＞0时，1＜bx，∴b＞1。∵x＞0时，bx＜ax，∴x＞0时，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a,b））)x＞1。∴eq\f(a，b)＞1，∴a＞b，∴1＜b＜a，故选C.3．函数y＝2|x|的定义域为［a,b］，值域为[1,16］,当a变动时,函数b＝g(a）的图象可以是（)解析：选B作出y＝2｜x|的图象如图，结合选项知a≤0，∵当a变动时，函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，∴－4≤a≤0，∴2|b｜＝16.即b＝4,∴－4≤a≤0，且b＝4，故选B.4．(2018·西安八校联考)已知函数f（x)＝(a－2)ax(a＞0，且a≠1）,若对任意x1,x2∈R，eq\f（fx1－fx2，x1－x2)＞0，则a的取值范围是________．解析:由题意知f(x)在R上是单调增函数，当0＜a＜1时，a－2＜0，y＝ax单调递减,所以f（x)单调递增；当1＜a＜2时，a－2＜0，y＝ax单调递增，所以f(x)单调递减；当a＝2时,f（x)＝0；当a＞2时，a－2＞0，y＝ax单调递增,所以f（x）单调递增．故a的取值范围是（0，1）∪（2,＋∞）．答案:(0，1）∪(2，＋∞)5．已知a〉0，且a≠1，若函数y＝|ax－2｜与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________解析：①当0<a〈1时，作出函数y＝｜ax－2｜的图象如图（1）．若直线y＝3a与函数y＝|ax－2｜(0〈a〈1)的图象有两个交点,则由图象可知0〈3a<2，所以0〈a〈eq\f(2,3)。②当a〉1时，作出函数y＝｜ax－2|的图象如图（2），若直线y＝3a与函数y＝｜ax－2|（a〉1）的图象有两个交点，则由图象可知0<3a所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（2，3）))。答案：eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3）））6．已知函数f(x）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，3）））｜x｜－a.（1)求f（x）的单调区间；（2)若f(x）的最大值是eq\f(9,4），求a的值．解：（1）令t＝|x｜－a，则f(x）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2,3）)）t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0,＋∞)上单调递增，又y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，3))）t是单调递减的,所以f（x）的单调递增区间是(－∞，0］，单调递减区间是［0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是eq\f（9，4），且eq\f(9,4)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2，3))）－2,所以g（x）＝|x｜－a应该有最小值－2，从而a＝2。7．已知函数f（x）＝b·ax（其中a，b为常数且a>0，a≠1）的图象经过点A（1，6)，B(3,24)．(1)求f(x）的解析式；（2）若不等式eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,a)))x＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,b))）x－m≥0在x∈（－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．解:（1)∵f(x）＝b·ax的图象过点A（1,6),B(3,24)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b·a＝6，①,b·a3＝24,②）)②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，∴a＝2，b＝3，∴f（x）＝3·2x.(2)由（1）知eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,a)）)x＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,b）)）x－m≥0在(－∞，1］上恒成立可转化为m≤eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)x＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，3）))x在（－∞，1]上恒成立．令g（x）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）））x＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,3)））x，则g(x）在(－∞，1］上单调递减，∴m≤g（x)min＝g（1）＝eq\f（1，2）＋eq\f（1,3)＝eq\f（5，6），故所求实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5，6））)。C级——重难题目自主选做1．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数,且2x＝3y＝5z，则（）A．2x〈3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z〈2x D．3y〈2x〈5z解析：选D设2x＝3y＝5z＝k>1,∴x＝log2k,y＝log3k，z＝log5k。∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝eq\f（2,logk2)－eq\f（3,logk3）＝eq\f（2logk3－3logk2，logk2·logk3）＝eq\f(logk32－logk23,logk2·logk3)＝eq\f(logk\f（9，8）,logk2·logk3）〉0,∴2x〉3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝eq\f(3，logk3)－eq\f（5，logk5)＝eq\f(3logk5－5logk3,logk3·logk5）＝eq\f（logk53－logk35,logk3·logk5)＝eq\f(logk\f(125，243),logk3·logk5)<0，∴3y〈5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝eq\f(2,logk2）－eq\f(5，logk5)＝eq\f(2logk5－5logk2，logk2·logk5）＝eq\f(logk52－logk25，logk2·logk5）＝eq\f(logk\f(25，32),logk2·logk5）〈0,∴5z>2x。∴5z〉2x〉3y.2．若函数f(x）＝2｜x＋a｜(a∈R)满足f（1－x)＝f（1＋x)，f（x)在区间［m,n]上的最大值记为f(x）max，最小值记为f(x)min，若f（x）max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝2|x＋a｜(a∈R）满足f(1－x)＝f（1＋x)，所以f（x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1,所以f(x）＝2｜x－1|.作出函数y＝f（x)的图象如图所示．当m＜n≤1或1≤m＜n时，离对称轴越远，m与n差越小，由y＝2x－1与y＝21－x的性质知极限值为0。当m＜1＜n时，函数f(x)在区间［m，n]上的最大值与最小值的差为f（x)max－f（x）min＝2｜±2｜－20＝3,则n－m取得最大值是2－(－2）＝4，所以n－m的取值范围是（0,4］．答案：(0，4](二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．化简4a·b÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（2,3)ab））的结果为(）A．－eq\f(2a,3b） B．－eq\f(8a,b）C．－eq\f（6a，b) D．－6ab解析:选C原式＝4÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))ab＝－6ab－1＝－eq\f（6a，b），故选C。2。函数y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2））)的值域是()A．(－∞，4) B．(0，＋∞)C．（0，4］ D．［4，＋∞）解析：选C设t＝x2＋2x－1，则y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)））t。因为0＜eq\f(1,2）＜1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2,所以0＜y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)t≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）－2＝4，故所求函数的值域为（0,4］．3.若函数f(x)＝2x＋b－1(b∈R)的图象不经过第二象限,则b的取值范围为（)A．[1，＋∞) B．(－∞，1］C．［0，＋∞) D．（－∞，0］解析：选D因为当x〈0时,y＝2x∈(0，1）．又函数f（x）＝2x＋b－1（b∈R)的图象不经过第二象限，则有b－1≤－1，解得b≤0。故选D.4。（2018·湖北四市联考)已知函数f（x）＝2x－2，则函数y＝|f（x)｜的图象可能是(）解析：选By＝｜f（x）｜＝|2x－2|＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－2，x≥1，,2－2x，x＜1，))易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点（1，0），(0，1)，｜f(x）｜≥0。又｜f（x)|在（－∞,1)上单调递减，故选B。5．已知函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））x，a≤x＜0，，－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8，1],则实数a的取值范围是（）A．（－∞，－3] B．[－3,0）C．［－3，－1] D．｛－3｝解析：选B当0≤x≤4时，f（x）∈［－8，1］，当a≤x＜0时，f(x）∈eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2a）,－1))，所以－eq\f（1,2a），－1[－8，1］,即－8≤－eq\f（1,2a）＜－1，即－3≤a＜0。所以实数a的取值范围是［－3,0)．6。不等式2>eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)）)x＋4的解集为________．解析：不等式2>eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））x＋4可化为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）))〉eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)x＋4，等价于x2－2x〈x＋4，即x2－3x－4〈0,解得－1<x〈4。答案：｛x|－1<x〈4｝7.已知函数f(x)＝a－x（a＞0,且a≠1），且f（－2）＞f（－3），则a的取值范围是________．解析:因为f(x）＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，a)）)x，且f（－2)＞f(－3),所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以eq\f（1,a）＞1，解得0＜a＜1。答案:（0，1）8。已知函数f（x)是奇函数，g（x)＝f(x）＋eq\f(2,1＋2x）,x∈（－1,1)，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）））＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2）)）的值为________．解析：因为f（x）为奇函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2））)＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)）)＝0。令h(x）＝eq\f（2,1＋2x),则heq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）)＋heq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)））＝eq\f(2，1＋\r(2)）＋eq\f（2,1＋\f（1,\r(2)）)＝2，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2))）＋geq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2））)＝2.答案:29。化简下列各式：（1)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2\f（7，9)））0.5＋0.1－2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2\f（10,27）))－3π0＋eq\f(37，48）；(2)eq\r（3，a·\r(a－3））÷eq\r（3，\r(a－3)·\r(a－1））。解：（1)原式＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(25,9）))＋eq\f（1,0.12）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（64，27）))－3＋eq\f(37,48)＝eq\f（5,3)＋100＋eq\f（9,16)－3＋eq\f（37,48)＝100.（2)原式＝eq\r（3，a·a）÷eq\r（3,a·a）＝eq\r(3,a）÷eq\r（3,a）＝a÷a＝a＝a。10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2,3）))｜x｜－a。(1)求f(x）的单调区间；（2)若f（x)的最大值是eq\f(9,4)，求a的值．解：（1）令t＝|x｜－a,则f（x)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3))）t，不论a取何值，t在（－∞，0］上单调递减，在［0，＋∞)上单调递增，又y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2,3）））t是单调递减的，所以f（x）的单调递增区间是（－∞，0]，单调递减区间是［0，＋∞）．(2）由于f(x）的最大值是eq\f(9，4），且eq\f(9,4）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，3)）)－2，所以g（x）＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.B级——拔高题目稳做准做1．函数y＝2｜x｜的定义域为［a，b],值域为［1，16］，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是()解析：选B作出y＝2｜x|的图象，如图，结合选项知a≤0，∵当a变动时，函数y＝2|x｜的定义域为[a，b］，值域为［1，16］，∴－4≤a≤0，∴2|b｜＝16.即b＝4，故－4≤a≤0,且＝4，故选B.2.(2018·成都诊断)已知函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1）的反函数的图象经过点eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r(2）,2)，\f(1，2））).若函数g(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时,有g(x）＝f(x），且函数g（x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(）A．g(π）＜g（3)＜g(eq\r(2）) B．g(π）＜g（eq\r（2））＜g(3)C．g（eq\r（2）)＜g(3）＜g(π) D．g（eq\r(2）)＜g（π)＜g(3）解析：选C因为函数f（x)的反函数的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2）,2)，\f（1,2)))，所以函数f(x)的图象经过点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2),\f（\r（2）,2)）)，所以aeq\f（1,2）＝eq\f（\r(2）,2），即a＝eq\f（1，2）,所以函数f（x)在R上单调递减．∵g(x＋2)为偶函数，∴g(－x＋2）＝g(x＋2），∴g(3）＝g(1），g(π)＝g(4－π），∵4－π<1<eq\r（2）,当x∈［－2，2］时，g（x）＝f(x）单调递减，∴g(eq\r(2）)<g（1)<g（4－π），即g(eq\r(2)）〈g(3）<g(π）．3.（2018·濮阳二检）若“m＞a”是函数“f（x)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3））)