2019版数学（文）大一轮优选讲义：第40讲　直线、平面垂直的判定及其性质 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第40讲直线、平面垂直的判定及其性质考纲要求考情分析命题趋势1。能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.2017·全国卷Ⅰ，182017·全国卷Ⅲ,192017·江苏卷，152017·浙江卷，19与直线、平面垂直有关的命题判断;线线、线面、面面垂直的证明；直线与平面所成的角的计算；由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.分值：5~6分1．直线与平面垂直（1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的！!！！__任意一条__＃＃＃＃直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2）判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的！！!！__两条相交直线__##＃#都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(！！！！__a，b⊂α__##＃＃,!！！！__a∩b＝O__＃###，！！！!__l⊥a__#＃＃＃,！！!!__l⊥b__#＃#＃））⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线！！！！__平行__#＃##eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（！！！！__a⊥α__＃###，！！！！__b⊥α__＃#＃＃))⇒a∥b2．平面与平面垂直（1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是！！！！__直二面角__＃#＃＃，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条！！！！__垂线__＃##＃，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（！！！！__l⊂β__＃＃＃#，！！！！__l⊥α__##＃＃））⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于！！!！__交线__#＃##的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(！！！！__α⊥β__#＃＃＃，!！！！__l⊂β__＃#＃#，！！！！__α∩β＝a__＃#＃＃,！！！！__l⊥a__#＃＃＃）)⇒l⊥α1．思维辨析(在括号内打“√”或“")．(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.（×)(2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个．（√）(3）若两条直线垂直，则这两条直线相交．(×)(4）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面．（×)（5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×）解析（1)错误．直线l与α内两条相交直线都垂直才有l⊥α。（2）正确．过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线,而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直．（3)错误．两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面．（4）错误．两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面,而不是任意一条直线．(5)错误．α内的一条直线如果与β内的两条相交直线都垂直才能线面垂直,从而面面垂直．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β"是“a⊥b”的(A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的性质定理可知，当α⊥β时，b⊥α。又因为a⊂α，则a⊥b,如果a∥m，a⊥b，不能得到α⊥β，故“α⊥β"是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A．3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（C）A．α⊥β，且m⊂α B．α⊥β，且m∥αC．m∥n，且n⊥β D．m⊥n，n⊂α,且α∥β解析α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故A项不成立．α⊥β，且m∥α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交,故B项不成立．m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故C项成立．m⊥n,n⊂α，且α∥βeq\o(⇒,/)m⊥β，故D项不成立．故选C．4．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC,BD，则一定互相垂直的平面有!!!！__7__#＃＃#对．解析平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD,平面PCD⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD，共有7对．5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC,则点O是△ABC的！！!!__外__####心；（2)若PA⊥PB,PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的！!！！__垂__＃＃##心．解析(1）若PA＝PB＝PC,由勾股定理易得OA＝OB＝OC，故O是△ABC的外心．（2）由PA⊥PB，PC⊥PA，得PA⊥平面PBC，则PA⊥BC.又由PO⊥平面ABC知PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，则AO⊥BC，同理得BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心．一直线与平面垂直的判定与性质(1）证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理;②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质（a⊥α,α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．（2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．（3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直．【例1】(2017·天津卷）如图，在四棱锥P－ABCD中,AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3,CD＝4，PD＝2。（1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2）求证：PD⊥平面PBC;（3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解析（1）如图,由已知AD∥BC,可知∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得AP＝eq\r(AD2＋PD2)＝eq\r(5),故cos∠DAP＝eq\f（AD,AP）＝eq\f（\r(5）,5).所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为eq\f(\r（5),5）。（2）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC，PB⊂平面PBC，所以PD⊥平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC,DF∥AB，故BF＝AD＝1,由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC,故BC⊥DC，在Rt△DCF中,可得DF＝eq\r（CD2＋CF2)＝2eq\r（5)，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝eq\f(PD，DF)＝eq\f（\r(5），5)。所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为eq\f（\r（5），5)。二平面与平面垂直的判定与性质(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（a⊥β,a⊂α⇒α⊥β）．(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【例2】(2017·全国卷Ⅰ）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,且四棱锥P－ABCD的体积为eq\f(8,3)，求该四棱锥的侧面积．解析(1)证明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD。又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如图所示，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E。由（1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD。设AB＝x，则由已知可得AD＝eq\r（2)x，PE＝eq\f(\r（2)，2)x。故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝eq\f（1，3)AB·AD·PE＝eq\f(1，3）x3。由题设得eq\f（1，3)x3＝eq\f（8,3）,故x＝2.从而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2eq\r（2)，PB＝PC＝2eq\r（2）。可得四棱锥P－ABCD的侧面积为eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f（1,2）PA·AB＋eq\f（1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r（3）。三垂直关系中的探索性问题解决垂直关系中的探索性问题的方法同“平行关系中的探索性问题"的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明．【例3】如图,在三棱台ABC－DEF中,CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1）设平面ACE∩平面DEF＝a,求证：DF∥a；（2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在,请确定点G的位置;若不存在，请说明理由．解析(1)证明:在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF,AC⊂平面ACE,DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a。(2)线段BE上存在点G，且BG＝eq\f（1,3)BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下:取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD。∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC，∴DE⊥EF。由CF⊥平面DEF,得CF⊥DE。又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF,∴DE⊥GF。由GF⊥CE，GF⊥DE，CE∩DE＝E，可得GF⊥平面CDE.又GF⊂平面DFG,∴平面DFG⊥平面CDE.此时，如平面图所示,∵O为CE的中点,EF＝CF＝2BC，由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，∴HB＝BC＝eq\f(1，2)EF.由△HGB∽△FGE,可知eq\f（BG，GE)＝eq\f（1，2),即BG＝eq\f(1,3)BE。1．设m，n是两条不同的直线,α，β是两个不同的平面（C)A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α,则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析对于A，B，D项,均能举出m∥α的反例；对于C项，若m⊥β，n⊥β,则m∥n，又n⊥α，∴m⊥α.故选C．2．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC。其中正确的是(B）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④解析由题意知,BD⊥平面ADC，故BD⊥AC,①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形,②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确;由①知④错误．故选B．3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE。证明（1)在四棱锥P－ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD。∵AC⊥CD，PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.（2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC。由(1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD。而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD。∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD。又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE。4．如图,在四棱锥S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点,Q为SB的中点．(1）求证：CD⊥平面SAD；(2)求证：PQ∥平面SCD；(3）若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．解析(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD。又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.(2）证明:取SC的中点R，连接QR，DR.由题意知，PD∥BC且PD＝eq\f(1,2)BC.在△SBC中,Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QR∥BC且QR＝eq\f（1，2)BC.所以QR∥PD且QR＝PD，则四边形PDRQ为平行四边形,所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD,所以PQ∥平面SCD。(3）存在点N为SC的中点,使得平面DMN⊥平面ABCD.连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND,NO。因为PD∥CM，且PD＝CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.又因为N为SC的中点,所以NO∥SP。易知SP⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD。易错点使用线面垂直的性质进行判定时犯错错因分析:当已知中给出了线面垂直，求证的是线线平行时，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手,从而造成解题困难．【例1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在BD，B1C上,且MN⊥BD，MN⊥B1C，求证：MN∥证明连接A1D,A1B，AC。∵MN⊥B1C，B1C∥A1D，∴MN⊥A1又∵MN⊥BD,BD∩A1D＝D，∴MN⊥平面A1BD。∵CC1⊥底面ABCD，∴CC1⊥BD。又∵BD⊥AC，AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1。∴BD⊥AC1.同理AC1⊥A1B.又A1B∩BD＝B,∴AC1⊥平面A1BD。又∵MN⊥平面A1BD,∴MN∥AC1.【跟踪训练1】(2016·全国卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形,PA＝6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G。(1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．解析（1）证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD。因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，从而G是AB的中点．(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA,EF⊥PC，又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1）知，G是AB的中点,所以D在CG上，故CD＝eq\f（2,3）CG.由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB,所以DE∥PC，因此PE＝eq\f(2，3）PG，DE＝eq\f（1,3)PC。由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2eq\r（2)，在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝eq\f（1，3)×eq\f(1，2）×2×2×2＝eq\f(4,3).课时达标第40讲[解密考纲]对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．若α，β表示两个不同的平面，直线m⊂α，则“α⊥β”是“m⊥β”的（B）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直判定定理，得m⊥β⇒α⊥β，而α⊥β时，α内任意直线不可能都垂直于β，因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．2．已知平面α⊥平面β,α∩β＝l，点A∈α,A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（D)A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立．故选D．3．在空间中，l,m，n,a，b表示直线,α表示平面，则下列命题正确的是（D）A．若l∥α，m⊥l，则m⊥α B．若l⊥m，m⊥n，则l∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥α D．若l⊥α,l∥a，则a⊥α解析对于A项，m与α位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b⊂α，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确．4．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC＝90°，BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在（AA．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部解析∵AC⊥AB，AC⊥BC1,∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC。∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．5．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中,下列命题正确的是(D）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC,所以平面ABC⊥平面ADC。6．如图所示,AB是⊙O的直径,VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A,B的任意一点，M，N分别为VA,VC的中点，则下列结论正确的是(D)A．MN∥AB B．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC解析对于A项，MN与AB异面，故A项错;对于B项，可证BC⊥平面VAC，故BC⊥MN，所以所成的角为90°,因此B项错；对于C项，OC与AC不垂直，所以OC不可能垂直平面VAC，故C项错;对于D项,由于BC⊥AC，VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC，故D项正确．二、填空题7．已知不同直线m,n与不同平面α,β,给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α,则m∥n；②若m∥α,n⊥α,则n⊥m；③若m⊥α,m∥β，则α⊥β。其中真命题的个数是！！！!__2__####。解析①平行于同一平面的两直线不一定平行,所以①错误．②根据线面垂直的性质可知②正确．③根据面面垂直的性质和判定定理可知③正确，所以真命题的个数是2。8．如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC,N，M分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是！！！！__①②__＃＃＃＃(填上所有正确说法的序号)．①不论D折至何位置（不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.解析①如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ，又PQ⊂平面DEC，故MN∥平面DEC.①正确．②取AE的中点O,易证NO⊥AE，MO⊥AE。故AE⊥平面MNO,又MN⊂平面MNO，则AE⊥MN.②正确．③∵D∉平面ABC,∴N∉平面ABC，又A，B,M∈平面ABC.∴MN与AB异面．③错误．9．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,∠ADC＝90°,且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝！！！！2eq\r(2）##＃＃。解析∵DA＝DC＝AA1＝DD1，且DA，DC,DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M⊥平面A1C1D,∴DM＝2eq\r（2)。三、解答题10．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D（1）求证：DD1⊥平面ABCD；（2)求证:平面A1BE⊥平面ADD1A1(3)若CF∥平面A1BE，求棱BC的长度．解析(1）证明：因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.因为AD∩CD＝D，所以DD1⊥平面（2）证明：因为△ABD是正三角形，且E为AD中点,所以BE⊥AD，因为DD1⊥平面ABCD，而BE⊂平面ABCD，所以BE⊥DD1.因为AD∩DD1＝D,所以BE⊥平面ADD1A1,又因为BE⊂平面A1BE,所以平面A1BE⊥平面ADD1A(3）因为BC∥AD，而F为A1D1的中点，所以BC∥A1F,所以B，C，F，A1