2019版数学（文）高分计划一轮高分讲义：第3章三角函数、解三角形 3.6　正弦定理和余弦定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3．6正弦定理和余弦定理［知识梳理］1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3．三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2）ah（h表示边a上的高)．(2)S＝eq\f(1，2)bcsinA＝eq\f(1，2)acsinB＝eq\f（1,2)absinC。(3)S＝eq\f（1，2）r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．4．在△ABC中，常有的结论（1)∠A＋∠B＋∠C＝π.（2）在三角形中大边对大角,大角对大边．（3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[诊断自测]1．概念思辨（1)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(）(2)在△ABC中，eq\f(a，sinA）＝eq\f（a＋b－c，sinA＋sinB－sinC)。（）(3）若a，b，c是△ABC的三边，当b2＋c2－a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2〈0时，△ABC为钝角三角形．（）(4)在△ABC中，若sinAsinB〈cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．()答案（1)√（2)√（3）√(4）√2．教材衍化（1)（必修A5P10A组T4）在△ABC中，a＝4，b＝5,c＝6,则eq\f（sin2A，sinC）＝________。答案1解析由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f(25＋36－16，2×5×6）＝eq\f（3，4)，所以eq\f(sin2A，sinC）＝eq\f（2sinAcosA，sinC)＝2×eq\f(4,6)×eq\f(3，4)＝1.(2）（必修A5P20A组T11）若锐角△ABC的面积为10eq\r（3）,且AB＝5，AC＝8,则BC等于________．答案7解析因为△ABC的面积S△ABC＝eq\f（1,2）AB·ACsinA,所以10eq\r（3)＝eq\f(1,2)×5×8sinA,解得sinA＝eq\f（\r（3），2),因为角A为锐角，所以cosA＝eq\f(1,2).根据余弦定理，得BC2＝52＋82－2×5×8cosA＝52＋82－2×5×8×eq\f(1，2)＝49，所以BC＝7.3．小题热身（1)(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝eq\r(13），BC＝3,∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4答案A解析在△ABC中，设A,B，C所对的边分别为a，b,c,则由c2＝a2＋b2－2abcosC,得13＝9＋b2－2×3b×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2）)),即b2＋3b－4＝0,解得b＝1（负值舍去)，即AC＝1。故选A.(2）(2016·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c,若cosA＝eq\f(4,5）,cosC＝eq\f(5,13），a＝1，则b＝________.答案eq\f（21，13）解析由已知可得sinA＝eq\f（3，5)，sinC＝eq\f（12，13)，则sinB＝sin(A＋C)＝eq\f(3,5)×eq\f（5,13)＋eq\f（4,5）×eq\f（12，13)＝eq\f（63,65)，再由正弦定理可得eq\f（a,sinA）＝eq\f（b,sinB）⇒b＝eq\f（1×\f(63，65),\f（3，5)）＝eq\f（21,13).题型1利用正、余弦定理解三角形eq\o（\s\up7（),\s\do5（典例1)）（2018·郑州预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若eq\f(b,\r（3)cosB)＝eq\f(a,sinA)，则cosB＝(）A．－eq\f（1，2)B。eq\f(1,2)C．－eq\f(\r（3),2）D。eq\f（\r(3)，2)边角互化法．答案B解析由正弦定理知eq\f(sinB，\r(3)cosB)＝eq\f（sinA,sinA)＝1，即tanB＝eq\r（3），由B∈（0，π),所以B＝eq\f（π，3），所以cosB＝coseq\f（π,3)＝eq\f(1，2)。故选B.eq\o（\s\up7(），\s\do5（典例2）)（2018·重庆期末)在△ABC中，已知AB＝4eq\r（3),AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积是（)A．4eq\r（3）B．8eq\r(3）C．4eq\r（3）或8eq\r（3）D.eq\r(3)注意本题的多解性．答案C解析在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝42＝（4eq\r（3))2＋BC2－2×4eq\r(3)BCcos30°，解得BC＝4或BC＝8.当BC＝4时，AC＝BC，∠B＝∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，∠C＝120°,△ABC的面积为eq\f（1,2）AB·BCsinB＝eq\f（1,2)×4eq\r（3)×4×eq\f(1，2)＝4eq\r（3).当BC＝8时，△ABC的面积为eq\f(1，2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×4eq\r（3）×8×eq\f(1,2）＝8eq\r（3)。故选C.方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a＝2RsinA,b＝2RsinB,c＝2RsinC能够实现边角互化．见典例1。2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2。3．已知两角和一边，该三角形是确定的,其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2。冲关针对训练1．（2017·河西五市联考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c,且满足(b－a）sinA＝（b－c)·（sinB＋sinC)，则角C等于(）A。eq\f(π，3)B。eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f（2π，3）答案A解析由题意，得（b－a)a＝（b－c)(b＋c),∴ab＝a2＋b2－c2,∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab)＝eq\f（1,2），∴C＝eq\f(π，3)。故选A.2．（2018·山东师大附中模拟)在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a,b，c，已知cos2A＝－eq\f（1,3）,c＝eq\r（3）,sinA＝eq\r(6）sinC。(1)求a的值；(2)若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．解(1)在△ABC中,c＝eq\r（3),sinA＝eq\r(6）sinC，由正弦定理eq\f（a,sinA）＝eq\f（c,sinC),得a＝eq\r(6)c＝eq\r（6）×eq\r(3）＝3eq\r（2）。（2)由cos2A＝1－2sin2A＝－eq\f(1,3)得，sin2A＝eq\f(2，3），由0<A<eq\f（π,2），得sinA＝eq\f（\r(6)，3）,则cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(\r（3）,3).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，化简，得b2－2b－15＝0,解得b＝5（b＝－3舍去）．所以S△ABC＝eq\f（1,2）bcsinA＝eq\f（1，2）×5×eq\r（3)×eq\f（\r(6）,3）＝eq\f(5\r(2），2）.题型2利用正、余弦定理判断三角形的形状eq\o（\s\up7（),\s\do5(典例）)（2017·陕西模拟）设△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定用边角互化法．答案B解析∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A,∴sin(B＋C）＝sin2A，即sinA＝sin2A。又sinA〉0，∴sinA＝1,∴A＝eq\f（π，2）,故△ABC为直角三角形．故选B.[条件探究1]将本典例条件变为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是(）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案B解析解法一:由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π〈A－B<π，所以A＝B。故选B。解法二:由正弦定理得2acosB＝c，由余弦定理得2a·eq\f(a2＋c2－b2，2ac)＝c⇒a2＝b2⇒a＝b。故选B.［条件探究2]将本典例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC(A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案C解析在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故设a＝5k，b＝11k,c＝13k（k〉0),由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab）＝eq\f(25k2＋121k2－169k2，2×5×11k2)＝－eq\f(23，110)〈0，又∵C∈(0，π)，∴C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，2）,π）)，∴△ABC为钝角三角形．故选C.［条件探究3]将本典例条件变为“若bcosB＋ccosC＝acosA"，试判断三角形的形状．解由已知得b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋c·eq\f(a2＋b2－c2，2ab)＝a·eq\f（b2＋c2－a2，2bc），∴b2(a2＋c2－b2)＋c2（a2＋b2－c2）＝a2(b2＋c2－a2）．∴(a2＋c2－b2)(b2＋a2－c2)＝0。∴a2＋c2＝b2或b2＋a2＝c2，即B＝eq\f(π,2)或C＝eq\f(π，2)。∴△ABC为直角三角形．方法技巧判定三角形形状的两种常用途径提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角"后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．冲关针对训练在△ABC中，a，b,c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b－c)sinB＋（2c－b）sinC(1）求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝eq\r（3)，试判断△ABC的形状．解（1)由2asinA＝（2b－c）sinB＋（2c－b)sinC及正弦定理,得2a2＝(2b－c)b＋（2c－b即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc)＝eq\f（1，2），A∈(0,π）,∴A＝60°。（2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°。由sinB＋sinC＝eq\r(3)，得sinB＋sin（120°－B)＝eq\r（3）,∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝eq\r（3).∴eq\f(3,2)sinB＋eq\f（\r(3）,2)cosB＝eq\r(3），即sin(B＋30°)＝1。∵0°<B〈120°，∴30°〈B＋30°〈150°。∴B＋30°＝90°，即B＝60°。∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为等边三角形。题型3与三角形有关的最值角度1与三角形边长有关的最值eq\o（\s\up7(），\s\do5（典例）)(2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋eq\f（\r(3),3)csinB.（1)求B;(2）若b＝2，求ac的最大值．本题采用转化法．解（1)在△ABC中，∵a＝bcosC＋eq\f(\r（3）,3）csinB，∴sinA＝sinBcosC＋eq\f（\r(3),3)sinCsinB，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋eq\f(\r(3)，3)sinCsinB，化为cosBsinC＝eq\f(\r（3),3)sinCsinB，sinC≠0，可得tanB＝eq\r（3），B∈(0，π），∴B＝eq\f（π，3).（2）由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝2R＝eq\f(4，\r(3)），令y＝ac＝2RsinA·2RsinC＝eq\f(16,3)sinAsinC＝eq\f(16,3)sinAsineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2π，3)－A))＝eq\f(8，3)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2A－\f(π,6))）＋eq\f(4，3).∵0〈A<eq\f(π，2）,0<eq\f（2π,3)－A〈eq\f（π,2)，∴eq\f（π，6）〈A〈eq\f（π，2)。故eq\f（π,6)<2A－eq\f（π,6)〈eq\f（5π，6），∴sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2A－\f（π,6）））∈eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（1，2),1)),∴y∈eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(8，3)，4)）。∴ac的最大值为4。角度2与三角形内角有关的最值eq\o(\s\up7(）,\s\do5(典例)）（2017·庄河市期末）在△ABC中,a，b，c分别为角A，B，C的对边，设f（x)＝a2x2－（a2－b2)x－4c2.（1）若f(1)＝0，且B－C＝eq\f(π,3)，求角C的大小；（2）若f(2）＝0，求角C的取值范围．本题采用放缩法．解（1）由f(1)＝0，得a2－a2＋b2－4c2＝0∴b＝2c又由正弦定理，得sinB＝2sinC,∵B－C＝eq\f(π,3）,∴sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，3)＋C))＝2sinC，整理得eq\r（3）sinC＝cosC，∴tanC＝eq\f（\r(3）,3）。∵角C是三角形的内角，∴C＝eq\f（π,6).(2)∵f（2）＝0，∴4a2－2a2＋2b2－4c2即a2＋b2－2c2＝0由余弦定理,得cosC＝eq\f（a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f（a2＋b2,4ab）≥eq\f(2ab，4ab)＝eq\f（1，2)(当且仅当a＝b时取等号）．又∵余弦函数在eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f(π,2)))上递减，C是锐角，∴0<C≤eq\f（π，3）.方法技巧求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．冲关针对训练（2018·绵阳检测）已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（3）sin\f(x，4)，1)），n＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f（x，4)，cos2\f(x,4)))，记f(x）＝m·n.(1）若f(x)＝1，求coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)－x))的值；（2）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c,且满足（2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)解（1)f（x)＝m·n＝eq\r（3）sineq\f（x,4）coseq\f（x,4)＋cos2eq\f(x,4)＝eq\f(\r（3),2)sineq\f(x,2)＋eq\f（1,2）coseq\f(x,2)＋eq\f(1，2)＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x，2)＋\f（π，6)））＋eq\f（1，2）。因为f(x)＝1，所以sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(x,2）＋\f（π,6)))＝eq\f(1,2）,coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,3）)）＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x，2)＋\f（π，6）)）＝eq\f（1，2），coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π，3)－x）)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，3））)＝－eq\f（1，2）.（2）因为(2a－c）cosB＝bcosC由正弦定理得(2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC,所以2sinAcosB＝sin（B＋C），因为A＋B＋C＝π,所以sin(B＋C）＝sinA，且sinA≠0，所以cosB＝eq\f（1，2)，B＝eq\f(π,3)，所以0〈A〈eq\f(2π,3），所以eq\f(π，6)〈eq\f（A,2）＋eq\f(π，6)<eq\f（π，2)，eq\f(1,2）〈sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(A，2）＋\f（π,6）))〈1，又因为f(x）＝m·n＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x,2)＋\f（π，6）))＋eq\f(1，2),所以f（A)＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（A,2)＋\f（π,6）))＋eq\f(1,2），故函数f（A）的取值范围是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f（3，2））).1．(2017·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA（sinC－cosC）＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，则C＝（)A。eq\f（π，12)B.eq\f（π，6）C。eq\f（π,4）D.eq\f（π,3)答案B解析因为a＝2，c＝eq\r（2），所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA）＝eq\f(\r（2),sinC)，故sinA＝eq\r（2）sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC）＝sin（A＋C）＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈（0，π)，所以A＝eq\f(3π,4）.从而sinC＝eq\f（1,\r(2））sinA＝eq\f(\r（2）,2)×eq\f（\r(2)，2）＝eq\f（1，2）.由A＝eq\f(3π,4)知C为锐角，故C＝eq\f（π,6).故选B。2．(2018·南阳模拟)在△ABC中,内角A,B，C的对边分别为a,b，c。若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f（1,2)b，且a〉b，则B＝________。答案eq\f（π，6）解析由正弦定理，得sinB（sinAcosC＋sinCcosA）＝eq\f（1,2)sinB，即sinBsin(A＋C）＝eq\f（1,2）sinB，因为sinB≠0，所以sinB＝eq\f（1,2)，所以B＝eq\f（π，6)或eq\f（5π，6),又因为a〉b,故B＝eq\f（π,6）.3．（2018·沈阳模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b，c，且满足(a－b）(sinA＋sinB）＝（c－b)·sinC。若a＝eq\r(3)，则b2＋c2的取值范围是________．答案5<b2＋c2≤6解析由正弦定理可得，(a－b）·(a＋b)＝（c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2)))，∴A＝eq\f(π，3）.∵eq\f（b，sinB）＝eq\f(c，sinC)＝eq\f（\r（3），sin\f(π,3))＝2,∴b2＋c2＝4（sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2（A＋B)］＝4eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（1－cos2B，2)＋\f（1－cos2A＋B，2）)）＝eq\r（3）sin2B－cos2B＋4＝2sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2B－\f(π，6）））＋4。∵△ABC是锐角三角形，且A＝eq\f（π，3），∴B∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,6)，\f（π，2）））,即2B－eq\f（π，6)∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,6），\f(5π,6)））,∴eq\f（1,2）<sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2B－\f(π，6）））≤1，∴5<b2＋c2≤6。4．（2015·全国卷Ⅰ）已知a，b,c分别为△ABC内角A，B,C的对边，sin2B＝2sinAsinC。（1）若a＝b,求cosB;（2)设B＝90°，且a＝eq\r（2），求△ABC的面积．解(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac又a＝b，可得b＝2c，a＝2由余弦定理可得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac）＝eq\f(1，4)。(2)由(1)知b2＝2ac因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac,得c＝a＝eq\r(2)。所以△ABC的面积为1。[重点保分两级优选练］A级一、选择题1．（2017·长沙模拟)在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(13），b＝3,A＝60°，则边c＝（）A．1B．2C．4D．6答案C解析a2＝c2＋b2－2cbcosA⇒13＝c2＋9－6ccos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1（舍去）．故选2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b,c。若∠C＝120°，c＝eq\r(2)a,则()A．a〉bB．a〈bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案A解析据题意由余弦定理可得a2＋b2－2abcos120°＝c2＝（eq\r（2）a)2，化简整理得a2＝b2＋ab,变形得a2－b2＝(a＋b)（a－b）＝ab〉0，故有a－b>0，即a>b。故选A.3．（2017·湖南长郡中学六模）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b,则eq\f(a,b）等于（）A．2B．3C.eq\r（2）D.eq\r(3）答案A解析由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0,∴cosA＝eq\f（1,4)，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴eq\f（a，b）＝2.故选A.4．(2017·衡水中学调研)在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4,则eq\f（sinA－2sinB，sin2C)＝（）A．1B．2C．－2D。eq\f（1，2）答案B解析不妨设a＝2，b＝3,c＝4，故cosC＝eq\f（4＋9－16，2×2×3)＝－eq\f（1，4），故eq\f（sinA－2sinB，sin2C）＝eq\f（a－2b，2ccosC）＝eq\f（2－6,8×\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1,4）)))＝2。故选B.5．在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2＋c2＝a2＋bc.若sinBsinC＝eq\f（3，4），△ABC的形状(）A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形 D．直角三角形答案A解析在△ABC中，由余弦定理,可得cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc),由已知，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(1，2）。∵0〈A〈π，故A＝eq\f（π，3)。∵A＋B＋C＝π,A＝eq\f(π,3），∴C＝eq\f(2π,3）－B.由sinBsinC＝eq\f(3,4)，得sinBsineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2π，3)－B)）＝eq\f（3,4）.即sinBeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3）cosB－cos\f(2π，3）sinB）)＝eq\f(3,4)。eq\f(\r(3)，2)sinBcosB＋eq\f(1,2）sin2B＝eq\f(3,4)，eq\f（\r(3)，4)sin2B＋eq\f(1,4）（1－cos2B)＝eq\f(3，4),eq\f(\r(3)，2)sin2B－eq\f（1，2）cos2B＝1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f（π,6)）)＝1。又∵－eq\f(π，6)<2B－eq\f（π,6)<eq\f(7π，6），∴2B－eq\f（π，6）＝eq\f(π,2),即B＝eq\f(π,3）.∴C＝eq\f（π,3)，也就是△ABC为等边三角形．故选A.6．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b)2＋6,C＝eq\f(π，3)，则△ABC的面积是（）A．3B.eq\f（9\r(3）,2)C。eq\f(3\r(3),2）D．3eq\r(3)答案C解析c2＝(a－b）2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6。①∵C＝eq\f（π，3），∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab,②由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝eq\f（1，2)absinC＝eq\f（1,2）×6×eq\f(\r（3）,2)＝eq\f（3\r(3)，2).故选C.7．(2018·上海杨浦质量调研）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b,c,且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为(A．（eq\r(2)，eq\r（3))B．(1，eq\r(3）)C．(eq\r（2)，2)D．（0,2)答案A解析由eq\f（a，sinA）＝eq\f(b,sinB)＝eq\f（b，sin2A）,得b＝2cosA.eq\f(π，2）<A＋B＝3A<π，从而eq\f(π,6）<A〈eq\f(π,3）.又2A〈eq\f(π,2),所以A<eq\f（π,4），所以eq\f（π,6)<A<eq\f(π,4)，eq\f(\r(2）,2)〈cosA〈eq\f（\r（3),2)，所以eq\r（2）<b〈eq\r（3）.故选A.8．（2014·全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是eq\f（1，2），AB＝1，BC＝eq\r(2），则AC＝（)A．5B.eq\r（5)C．2D．1答案B解析S△ABC＝eq\f（1,2)AB·BCsinB＝eq\f（1，2）×1×eq\r（2)sinB＝eq\f（1，2），∴sinB＝eq\f（\r(2)，2），∴B＝45°或135°.若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意,因此B＝135°,由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1×eq\r（2)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(\r（2)，2)））＝5，∴AC＝eq\r(5）.故选B.9．(2018·辽宁五校第一次联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b，c，若直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是（)A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或者直角三角形答案C解析由两直线平行可得bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0,即eq\f(1，2）sin2A＝eq\f(1，2）sin2B,又A,B∈（0,π),且A＋B∈（0，π），所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2）.若A＝B,则a＝b，cosA＝cosB，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝eq\f（π,2），则△ABC是直角三角形．故选C.10．(2017·武昌调研）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c.若a＝2bsinC，则tanA＋tanB＋tanC的最小值是()A．4B．3eq\r（3)C．8D．6eq\r(3）答案C解析a＝2bsinC⇒sinA＝2sinBsinC⇒sin（B＋C)＝2sinBsinC⇒tanB＋tanC＝2tanBtanC,又根据三角形中的三角恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC(注：tanA＝tan(π－B－C）＝－tan（B＋C)＝－eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)，即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC）⇒tanBtanC＝eq\f（tanA,tanA－2），∴tanAtanBtanC＝tanA·eq\f（tanA,tanA－2）＝eq\f（m2，m－2）(tanA＝m)，令m－2＝t⇒eq\f(t＋22,t)＝t＋eq\f(4，t）＋4≥8,当且仅当t＝eq\f（4,t），即t＝2，tanA＝4时,取等号．故选C.二、填空题11．(2015·重庆高考)设△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，且a＝2,cosC＝－eq\f(1,4），3sinA＝2sinB,则c＝________.答案4解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝eq\f（3,2）a＝3。由余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab），得－eq\f（1,4)＝eq\f(22＋32－c2，2×2×3)，解得c＝4。12．(2018·河北唐山一模)在△ABC中，角A,B，C的对边a,b，c成等差数列,且A－C＝90°，则cosB＝________。答案eq\f（3，4）解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.∴2sinB＝sinA＋sinC。∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC.∴2sinB＝cosC＋sinC。∴2sinB＝eq\r（2)sin（C＋45°）．①∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°,∴C＝45°－eq\f(B，2），代入①式中，2sinB＝eq\r(2）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f（B，2））)。∴2sinB＝eq\r(2)coseq\f(B,2).∴4sineq\f（B，2)coseq\f（B，2)＝eq\r（2）coseq\f（B,2).∴sineq\f（B，2）＝eq\f(\r（2），4).∴cosB＝1－2sin2eq\f(B,2)＝1－eq\f（1,4)＝eq\f（3,4）。13．(2018·沈阳监测）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c）2，b＋c＝8,则S的最大值为________．答案8解析由题意得4×eq\f（1，2）bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA,代入上式得2bcsinA＝－2bccosA＋2bc,即sinA＋cosA＝1，eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（A＋\f（π，4）)）＝1,又0<A〈π，∴eq\f（π,4）<A＋eq\f（π，4）〈eq\f（5π,4)，∴A＋eq\f（π，4)＝eq\f(3π，4)，∴A＝eq\f（π，2），S＝eq\f（1，2）bcsinA＝eq\f(1，2）bc,又b＋c＝8≥2eq\r（bc），当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16，∴S的最大值为8。14．（2017·浙江高考）已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2。点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.答案eq\f(\r(15),2）eq\f(\r（10),4）解析依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则cos∠ABC＝eq\f(1,4),sin∠ABC＝eq\f（\r(15）,4）。所以S△BDC＝eq\f（1,2）BC·BD·sin∠DBC＝eq\f(1，2)×2×2×eq\f(\r(15），4）＝eq\f（\r(15),2)。因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－eq\f（1,4)＝eq\f(BD2＋BC2－CD2，2BD·BC)＝eq\f（8－CD2,8），所以CD＝eq\r（10）.由余弦定理,得cos∠BDC＝eq\f(4＋10－4,2×2×\r（10))＝eq\f（\r（10），4)。B级三、解答题15．（2018·郑州质检)已知△ABC的外接圆直径为eq\f（4\r（3），3)，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，C＝60°.(1)求eq\f(a＋b＋c，sinA＋sinB＋sinC）的值；（2）若a＋b＝ab，求△ABC的面积．解（1)因为eq\f（a,sinA）＝eq\f(b,sinB）＝eq\f(c,sinC)＝2R＝eq\f（4\r（3）,3），所以a＝eq\f（4\r（3),3）sinA，b＝eq\f（4\r（3）,3)sinB，c＝eq\f(4\r(3)，3）sinC。所以eq\f(a＋b＋c，sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(\f(4\r(3），3)sinA＋sinB＋sinC，sinA＋sinB＋sinC）＝eq\f(4\r(3),3)。（2)由c＝eq\f（4\r(3），3)sinC，得c＝eq\f（4\r(3）,3)×eq\f（\r(3），2）＝2，c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b）2－3ab，又a＋b＝ab，所以（ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去），所以S△ABC＝eq\f(1，2)absinC＝eq\f(1,2）×4×eq\f(\r（3）,2）＝eq\r（3).16．（2017·湖北四校联考)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,且满足sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝(1）求eq\f（a,b）的值；（2）若cosC＝eq\f(3,4)，求sinB的值．解(1)因为sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0，sinB≠0所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（sinA,sinB)）)2＋eq\f(sinA，sinB）－6＝0，得eq\f(sinA,sinB)＝2或eq\f（sinA，sinB)＝－3（舍去)．由正弦定理得eq\f(a，b)＝eq\f（sinA，sinB)＝2。(2)由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2