天津市大学生数学竞赛辅导资料(一元函数微积分综合)

天津市大学生数学竞赛辅导资料(一元函数微积分综合)第一页，共111页。一元函数微积分综合第二页，共111页。关于竞赛学习流程的建议：

(1)课本例题、书后题完整做过一遍；尤其是每章的综合练习.

(2)加强练习，提高做题的速度和准确率；

(3)有一本辅导书，多做、多想、多总结，忌讳只看不算.第三页，共111页。考试日期：5月29日

考试时间：150分钟

共六大张，12小页，十二题

一、填空（5*3）；

二、选择（5*3）；

证明（4题微分、积分）

计算（6题）第四页，共111页。考试内容：

极限、函数、连续；

一元函数微积分；

多元函数微积分；24%51%25%第五页，共111页。一元函数微积分一元函数微分一元函数积分16%20%函数、极限、连续24%一元函数微积分的证明15%扎实基本概念、提高运算速度第六页，共111页。一、函数、极限、连续一、典型题型、典型思路典型题型1：求一元函数定义域，表达式，函数值问题.24%第七页，共111页。典型题型2：判别函数的奇偶性.偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数第八页，共111页。典型题型3：函数的连续性问题.注意：分段函数连续的定义和间断点的分类间断点可去无穷跳跃振荡第一类第二类第九页，共111页。第十页，共111页。第十一页，共111页。第十二页，共111页。第十三页，共111页。第十四页，共111页。第十五页，共111页。第十六页，共111页。第十七页，共111页。典型题型3：无穷小量阶的比较.熟练运用等价无穷小代换第十八页，共111页。第十九页，共111页。第二十页，共111页。第二十一页，共111页。典型题型4：求数列、函数的极限.

熟练运用极限的存在准则、洛必达法则、泰勒展示求极限（活用等价无穷小代换）常用的极限由慢到快第二十二页，共111页。第二十三页，共111页。第二十四页，共111页。第二十五页，共111页。第二十六页，共111页。第二十七页，共111页。第二十八页，共111页。第二十九页，共111页。第三十页，共111页。第三十一页，共111页。第三十二页，共111页。第三十三页，共111页。第三十四页，共111页。典型题型5：判断、证明根的存在性问题.

结合函数的单调性、极值;确定函数的根第三十五页，共111页。第三十六页，共111页。第三十七页，共111页。二、一元函数微分典型题型1：求导数16%

熟练运用导数定义；隐函数、参数方程求一、二阶导数法则；高阶导数（莱布尼兹法则）第三十八页，共111页。第三十九页，共111页。第四十页，共111页。第四十一页，共111页。第四十二页，共111页。第四十三页，共111页。第四十四页，共111页。第四十五页，共111页。第四十六页，共111页。第四十七页，共111页。第四十八页，共111页。第四十九页，共111页。第五十页，共111页。典型题型2：求渐近线第五十一页，共111页。第五十二页，共111页。典型题型3：求一元函数极值、最值、拐点问题

注意闭区间上连续函数的最值的求法.第五十三页，共111页。判断极值的充分条件（推广形式）第五十四页，共111页。第五十五页，共111页。第五十六页，共111页。第五十七页，共111页。第五十八页，共111页。第五十九页，共111页。第六十页，共111页。三、一元函数积分典型题型1：求不定积分20%

熟练掌握分部积分、分段函数的积分上限的函数求法.典型题型2：求定积分

特别注意定积分的定义，分部积分法，积分域为无穷的反常积分.第六十一页，共111页。第六十二页，共111页。第六十三页，共111页。第六十四页，共111页。第六十五页，共111页。第六十六页，共111页。第六十七页，共111页。第六十八页，共111页。第六十九页，共111页。第七十页，共111页。第七十一页，共111页。第七十二页，共111页。第七十三页，共111页。第七十四页，共111页。第七十五页，共111页。第七十六页，共111页。第七十七页，共111页。典型题型3：积分上限函数的导数

特别注意双变量出现时，先将积分换元.第七十八页，共111页。第七十九页，共111页。第八十页，共111页。典型题型4：求面积、旋转体体积问题熟练运用旋转体体积公式.第八十一页，共111页。第八十二页，共111页。第八十三页，共111页。第八十四页，共111页。第八十五页，共111页。第八十六页，共111页。第八十七页，共111页。第八十八页，共111页。四、一元函数微积分的证明

熟练掌握单调性证明不等式的方法，积分中值定理，微分中值定理，泰勒展开证明，柯西许瓦兹不等式.注意反证法第八十九页，共111页。第九十页，共111页。第九十一页，共111页。第九十二页，共111页。第九十三页，共111页。第九十四页，共111页。第九十五页，共111页。第九十六页，共111页。第九十七页，共111页。第九十八页，共111页。第九十九页，共111页。第一百页，共111页。第一百零一页，共111页。第一百零二页，共111页。第一百零三页，共111页。第一百零四页，共