数值分析试卷及答案

模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分，共30分)1.次的.2.「15—21.次的.2.「15—2-f3)—210，x=—4_1—42有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是已知R(x)的均差(差商)f[x0,X1,x2]=，则||A83.?,f[x,x,x]=履,f[x,x,x]=91,3123323415一一8一一f[x,x,x]=二,那么均差f[x,x,x]=02334234.5.6.7162…已知n=4时Newton—Cotes求积公式的系数分别是：C0(4)=昴,C1(4)=&,C；4.5.6.C(4)=3W=f(x,y)阶方法;解初始值问题＜,、的改进的Euler方法是〔y(x)=yV005x—3x—0.1x=3123求解线性代数方程组]-2x1+6x2+0.7x3=2的高斯一塞德尔迭代公式为x+2x+3.5x=1TOC\o"1-5"\h\z123阶方法;rr若取x(0)=(1,—1,1),则x⑴=求方程x=f(x)根的牛顿迭代格式是—.l(x),l(x),L,l(x)是以整数点x,x,L,x,为节点的Lagrange插值基函数，则01n01n完xl(x)=.kjkk=0解方程组Ax=b的简单迭代格式x(k+1)=Bx(k)+g收敛的充要条件.10.设f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,f(2)=5，则f(x)的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为.二、综合题(每题10分，共60分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：p(1)=15，p(1)=20，p〃⑴=30p(2)=57，p'(2)=72.

其代数精度.用Newton法求方程x-lnx=2在区间(2,8)内的根，要求―V10-8.用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式拟合以下数据：x.19253038yi5.用矩阵的直接三角分解法解方程组「1020-「x1[「5一0101x2—=31243x3170103x,L4」7[y'=f(x,y)6试用数值积分法建立求解初值问题<的如下数值求解公式[y(0)=y0h七+i=七J3(fJ1.差商表:f+f-1)1.差商表:其中f.=f(x,y.),i=n-1,n,n+1.三、证明题(10分)设对任意的x,函数f(x)的导数f'(x)都存在且0Vm<f(x)<M,对于满足0*v0*vM的任意意迭代格式气+1=Lf*)均收敛于f(x)=0的根x1***.参考答案一、填空题1.6.1645911?x(k+1)=(3+3x(k)+0.1x(k))/5123x(k+1)=(2+2x(k+1)-0.7x：k))/6,x(k+1)=(1-x(k+1)-2x(k+1))*2/73125；2.8,9;3.4.5.7.7.8.x.；9.P(B)V1；10.10.Lx3+x2一一x,611122151515575720204272152230781p(x)=15+20(x-1)+15(x-1)2+7(x-1)3+(x-1)3(x-2)=5+4x+3x2+2x3+x4其他方法:设p(x)=15+20(x-1)+15(x-1)2+7(x-1)3+(x-1)3(ax+b)令p(2)=57,p'(2)=72，求出a和b.2.取f(x)=1,x，令公式准确成立，得:A+A=11A+A=1A=1A5公式右=一24012，2013，035公式右=一24f(x)=x2时，公式左右=—；f(x)=x3时，公式左=—45・.・公式的代数精度=2.3.此方程在区间(2,8)内只有一个根s，而且在区间(2，4)内。设f(x)=x-lnx一2则f'(x)=1则f'(x)=1-1，xf"(x)=—x2，Newton法迭代公式为xk+1=xkxk-Inxk-2=xk(1+Inxk)1-1/h一xkk=0,1,2,A取x°=3，得s机x4=3.146193221。4.O=span{1,x2}，At=4.O=span{1,x2}，At=11192252302382yT=19.032.349.073.3.解方程组AtAC=Aty，其中Ata=333033303416082J解得：C=1.416650.0504305所以a=0.9255577，b=0.0501025.5.解设1024102131l3241l42l4311024102131l3241l42l431"33U2320243444由矩阵乘法可求出u和l/《J121131-l41l32l421l431020-22u23U24U33u34U44-11u101121010「1021021011「1「y11「5i01y2一3121y3=170101Ly4」7解下三角方程组有y1=5，y2=3，「10201「x11「51101x2—=321x3362」Lx」44再解上三角方程组x2y3=6，y4=4-=1,人3=2,x4=2得原方程组的解为x1=1，6解初值问题等价于如下形式y⑴=竺/+「f(x,y(x))dx,Xn—1取x=x，有y(x)=y(x)有y1=5，y2=3，「10201「x11「51101x2—=321x3362」Lx」44再解上三角方程组x2y3=6，y4=4-=1,人3=2,x4=2得原方程组的解为x1=1，6解初值问题等价于如下形式y⑴=竺/+「f(x,y(x))dx,Xn—1取x=x，有y(x)=y(x)+L+1f(x,y(x))dx,n+1n+1n—1Xn—1h利用辛卜森求积公式可得yry+：(f+4f+f).n+1n—13n+1nn—1「10-2-「-「设A=110，x=33-8212.则||A1=，诉3.对于方程组^2%—[*2—1,Jacobi迭代法的迭代矩阵是G=[10x1-4x2=3J4.设/（x）=x3+x—1,则差商/10，1,2,3】=,f[。，1,2,3,4]=TOC\o"1-5"\h\z,12…、5.已知A=01'则条件数*七⑷为使两点的数值求积公式j1f(x)dx=f(x)+f(x)具有最高的代数精确度，则其求积—101基点应为x0=,x1=［y'=f(x,y)解初始值问题—(x)=)近似解的梯形公式是七十1牝I0%求方程f(x)=0根的弦截法迭代公式—计算积分j1^~dx，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值,用辛卜生公式计算的结果任一非奇异矩阵A的条件数Cond(A)=，其Cond(A)一定大于等于二、综合题(每题10分，共60分)1证明方程1-x=sinx在区间［0,1］有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过1X10-4近似解，问要迭代多少次2已知常微分方程的初值问题：dyx、-——=—,1<x<1.2<dxy,^y(1)=2试用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长h=0.2.用矩阵的以,分解法解方程组35595「x用矩阵的以,分解法解方程组35595「x]19x217x—1-3」101630a+bxxyx+0.4y+0.4z=15设方程组<0.4x+y+0.8z=2，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯一赛德尔迭代0.4x+0.8y+z=3法的收敛性。4-11的按模最大特征值的近似值，取初始向量按幂法求矩阵A=-13-21-23的按模最大特征值的近似值，取初始向量X（0）=（1,0,0）T，迭代两步求得近似值人⑵即可.三、证明题（10分）已知求*a（a>0）的迭代公式为：1a„_xk1=2（xk+—）x0>0k=0,1,2Ak_证明：对一切k=1,2,L,xk><a，且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛.参考答案一、填空题L02.51L02.51.6，7；2.9,折；3.250.h““y+=[/(x,y)+/(x,y)]；k2kkk+1k+1x=xf(x)(x-x):k+1kf(x)-f(x)kk-1:kk-1二、综合题1解令f(x)=1-x-sinx，则f(0)=1>0，114.1,0；5.9;6.-万~3；9.,；10.A-1||A||,1f(1)=-sin1<0，且f'(x)=-1-cosx<0故1-x=sinx在区间［0,1］内仅有一个根x*.利用二分法求它的误差不超过2X10-4的近似解，则I气+1-x*!<土<2X10-4解此不等式可得k>4ln10=13.2877ln2所以迭代14次即可.解：2、=f(x0,y0)=0.5,h=y0+2(k+k)=2+0.1X(0.5+0.571429)=2.1071429k=f(x,y+hk)=0.571429,2101「335-3解设359=591712利用矩阵乘法可求得141l1-31解方程组再解方程组1l32l211l31l32110l21l31，132=21630rnx1%=x321d-11得y1=10,y2=6,10_4=3d-12d-13则Y=a+bx容易得出正规方程组r59、「a]-16.971一^917.8?b=_35.3902_14解令Y=—，y得％=1,x=-1,x，解得a=-2.0535,b=3.0265.故所求经验公式为y=-2.0535+3.0265x入0.40.40.4入0.80.40.8入=X3-0.96人+0.256⑴由于fg=f(-1)=-1+0.98+0.256>0，f(-2)=-8+1.96+0.256<02.所以f(X)=0在(-2,-1)内有根gI「>1,故利用雅可比迭代法不收敛.(2)由于f((2)由于f(X)=X0.4X0.4X0.40.4X0.8=X(X2-0.832X+0.128)0.8XX所以p(G)v0.832，故利用高斯一赛德尔迭代法收敛.6解因为X(0)=[1,0,0]了，故PX(。)p=1,且y(1)=Ax(0)=【4,一1,仆,X(1)=max(y⑴)=4.从而得x⑴=y⑴/Py⑴P=[1,-1,1]t,y⑵=Ax⑴=[9,-9,9]t,X(2)=max(y⑵)=9.，，.442442三、证明题1,a、—--一■一证明：由于气1=2(气+—)2J^,k=0，1，若用二分法求方程f(x)=0在区间［1,2］内的根，要求精确到第3位小数，则需要对，Lk故对一切k,x>\；a，又一^=—(1+一)<—(1+D=1kx2x22所以若用二分法求方程f(x)=0在区间［1,2］内的根，要求精确到第3位小数，则需要对模拟试卷(三)模拟试卷(三)一、填空题(每小题3分，共30分)1.设1.设a=2.40315是真值x=2.40194的近似值则a有—位有效位数，相对误差限2.3..次。有n个节点的高斯求积公式的代数精度为4.设收=x+a(x2-5)，要使迭代格式气+1="气)局部收敛到x*=J5，则a的取值5.范围是设线性方程组Ax=b有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的孤扰动相对误差llbll，就一定能保证解的相对误差7.8.9.10.设A=21012a0a2，为使A可分解为A=LL，其中L是对角线元素为正的下三角6.给定线性方程组「气-*2=\，则解此线性方程组的Jacobi迭代公式Ix一5x=-4V12，Gauss-Seidel迭代公式插值型求积公式Xaf(x)«fbf(x)dx的求积系数之和是.kk7.8.9.10.设A=21012a0a2，为使A可分解为A=LL，其中L是对角线元素为正的下三角项式，那么插值多项式x2的系数是.矩阵，则。的取值范围是。二、综合题(每题10分，共60分)1.用Newton1.用Newton法求方程x-lnx=2在区间(2,8)内的根，要求七―七-1<10-8.「10-「「1/2[「1/2]2.设有方程组Ax=b，其中A=221，b=U3，已知它有解x=-1/3022-2/30，如果右端有小扰动|”句|=1x10-6，试估计由此引起的解的相对误差。试用Simpson公式计算积分Fe'1xdx的近似值，并估计截断误差.14.设函数f(x)在区间［0,3］上具有四阶连续导数，试用埃尔米特插值法求一个次数不高于32-10-12-10-12，5.A=使其满足*=0,［⑴=1，匕⑴=3,*=，5.A=，给出用古典Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代运算。n，并证明当h—0时，Iy'+y=06.用梯形方法解初值问题｛，证明其近似解为y=Iy(0)=1n它收敛于原初值问题的准确解yn，并证明当h—0时，若f(x)=Yaxi有n个不同的实根，证明ii=1i=1乙+——=<广气)参考答案一、填空题0,0<k<n-21心1—,k=n一1anx(k+1)=(8+X2k))/9X(k+1)=(4x(k+1)=(8+X2k))/9X(k+1)=(4+X(k+1))/5I211.3,0.5x10-3；2.10；X(k+1)=(8+X2k))/9X(k+1)=(4+X(k))/5'217.b—a；8.O(h5)；9.一

10.—。3vav\：3、综合题1.此方程在区间(2,8)内只有一个根S，而且在区间(2，4)内。设f(X)=X—lnX—2则f'(x)=1—1,f"(x)=—,Newton法迭代公式为XX2xk+1=xkXk—lnXk—2=圣些卫，k=0,1,2,A1—1/xkxk—1取X0=3，得s牝X4=3.146193221。—12.解A-1=2—211—11.5，Cond(A)=22.5，—1由公式悴＜Cond(A)券，有科3.4.IM81X10—6<22.5x2=1.6875x10-52322—11123624、J2e1/xdx牝(e+4e1/1.5+e1/2)=2.0263,f⑷=(+++)e1/x16X8X7X6X5max|f(4)(x)|=f(4)(1)=198.43，1<x<2截断误差为席21<M一祟max|f⑷(x)|=0.06890228801<x<2一、…、5_7由所给条件可用插值法确定多项式P(x)，P(x)=—^x3+7x2—x(由题意可设R(x)=f(x)-P(x)=k(x)x(x-1)2(x-2)为确定待定函数k(x)，作辅助函3数：g(t)=f(t)-P(t)-k(x)t(t-1)-hlimy=lim(~-)hT0(t-2)测-hlimy=lim(~-)hT0上至少有5个零点t=尤，t=0,1,2（t=0为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点次（0,3），使g（4）（提=0，从而得3=41!f（4）（提。故误差估计式为R⑴=寸f«）心-1）心-2），”。5.首先取i=1,5.首先取i=1,j=2因cot2p=0于是cos中=sin中=」2V(0)=V(中)=12117201克1/0「11101]善0「2-10]F0「1111竟11F/0-102-1-120=03很001—1001112「72FA（i）=V（0）A（0）V（0）t6.梯形公由nn:,y)]，n+1n+1n+1nh式为y_=y+-[f(x,y)+f(xyn+1所以yn+1h=yn+2(L+1'，2-h2-h=(2+h”〃=(2+hAyn-1=L=(话)n+1y=(W)n+1

2+h02+h用上述梯形公式以步长h经n步计算得到y，所以有hn=xn所以n2+hhT0=lim(2—^)n2+hhT0hT02+h证明题于f（x）=才axi有n个不同的实根，故ii=1f(x)=a(x-x)(x-x)L(x-x)@aw(x)，于是

n12nnn

g(x)=xk,gi=g(x)=xk,gi=1Xkj——r(x)jXk

jxkj——气=wn(xj)gxk1gg(x)1则g和=云g出=7g[xi'x2'Li=1jni=1njn再由差商与导数的关系知gi=1二J广气）0'、填空题（每小题3分，共30分）为了减少运算次数，应将算式y=为了减少运算次数，应将算式y=1+248—+2x—3(2x—3)2(2x—3)3改写为，为减少舍入误差的影响，应将算式9-<80改写为TOC\o"1-5"\h\z—111^=211，||4|=，间|=。18—3—2—1设在x=g(x)的根x*附近有连续的二阶导数，且g'(x*)V1，则当时迭代过程）1=g（气）是线性收敛的，则当时迭代过程>1=g（气）是平方收敛的。4.a104.a10一01，则当a满足时，有limAk=0ks5.用列主元消去法解线性方程组Ax=b时，在第k-1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元an—1）5.主元an—1），使得a(k—1)=

rk6.已知函数f(0)=1'f(1)=3'f(2)=7，则f[0'1]=，f[0'1'2]=，f(x)的二次牛顿插值多项7.求解方程f（x）=0,若f（x）=0可以表成x=p（x），则用简单迭代法求根，那么中（x）满足，近似根序列x'x'L'x'L一定收敛。12n8.n+1点插值型数值积分公式gAJ（气）』f（"的代数精度至少一次，最高k=0不超过次。，2xy—y——写出初值问题］y在［0,1］上欧拉计算格式、y(0)=1［y，=f(x,y)解初始值问题｛，:的梯形方法是阶方法〔y(x)=y、00二、综合题(每题10分，共60分)证明方程x3-x-1=0在区间［1，2］内有唯一根x*,用牛顿迭代法求x*(精确至3位小数)。x+x+x=3用列主元消去法解线性方程组，xi+3x2-2x3=2；2x一2x+x=1V123给定数据x=0,1,2,3,对应函数值分别为y=1,3,2,4,求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。'2-10、设有矩阵A=-12-1用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特、0-12/征向量(注：求迭代4次即可)用改进的Euler方法求初值问题f=',(0<x<1,取步长龙=0.1).〔y(0)=1给定数据f(0.1)=5.1234,f(0.2)=5.3053,f(0.3)=5.5684，求一次最小二乘拟合多项式。三、证明题(10分)(ax+ax=b设线性方程组为<11112271,aa。0lax+ax=b11222112222证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；当同时收敛时，比较它们的收敛速度。参考答案、填空题二"=上,y=((8^-4)"+2)"+1^KB;2."3.g'(x*)丰0,g'(x*)=0,g"(x*)丰0；4.a<1；5.maxa(D；6.5.maxa(D；6.2,1,x2+x+1；k<i<niikik7.|中'(x)|<L<1；8.9.y=y+h(y—n+1nny=1V0、综合题1.令f(x)=x3—x—1,f'(x)=3x2—1>0,f(x)在(12)严格单增又f(1)=—1,(2)=5,「・f(x)在(12)上有唯一根;由牛顿迭代公式x=x-壬_x^—1,k+1k3x2—1k取x0=,得{1.2,1.34217,1.325,1.32472,1.32472,1.32472}或取x0=1.0,{1.,1.5,1.34783,1.3252,1.32472,1.32472},所以x*=1.32472.2r1113)r2—211)r2—211)(A,b)=13—22-13—22-04—2.51.5〔2—211J〔1113QJ〔020.52.5/r2—211]-04—2.51.5，故x1=x2=x3=1-〔005/45/4?N3(x)=1+2x—3/2x(x—1)+x(x—1)(x—2)=x3—4.5x2—5.5x+1或L(x)=x3-4.5x2-5.5x+1取％=(1,1,1牙，由乘幂法得，V1=Au。=(1,0,1》,u=(1,0,1V,V2=Au1=(2,-2,2)t,u2=(1,—1,1)rV=Au=(3,-4,3)t,u=(—0.75,1,—0.75)t人牝3.4142x-(—0.7071,1,—0.7071)r32311改进的Euler方法f(x,y)=y2,y=y+h/2[f(x,y)+f(x+h,y+hf(x,y))]nnnn+1nnnnnnnh=0.1,取x0=0.0,经计算得：y0=1.0；x1=0.1,经计算得:y1=1.1105

气=0.2，经计算得：七T.24828